1、1. 求一个次数不高于 4 次的多项式 ，使它满足解法一（待定参数法） 满足 的 Hermite 插值多项式为设 ，令 得于是解法二（带重节点的 Newton 插值法） 建立如下差商表这样可以写出 Newton 插值公式3. 设 ，在 上取 ，按等距节点求分段线性插值函数 ，计算各节点间中点处 与 的值，并估计误差解 步长 ， 在区间 上的线性插值函数分段线性插值函数定义如下， 各区间中点的函数值及插值函数值如表所示估计误差：在区间 上而令 得 的驻点 ，于是故有结论， 右端与 无关，于是有， 4. 设 且 求证：证明 以 和 为插值节点建立 的不超过一次的插值多项式应用插值余项公式有8. 求
2、函数 在指定区间上关于 的最佳平方逼近多项式解 对 做线性变换 ，即利用勒让德正交多项式 为基建立 的一次最佳平方逼近多项式的最佳平方逼近为10. 计算积分 ，若复化梯形公式，问区间 应分多少等份才能使截断误差不超过 ？若改用复化辛普森公式，要达到同样精确度，区间应分多少等份？解 由于 ，故对复化梯形公式，要求即 。取 ，即将区间 分为 213 等份时，用复化梯形公式计算，截断误差不超过 。用复化辛普森公式，要求即 。取 ，即将区间等分为 8 等份时，复化辛普森公式可达精度 。12. 已知 。（1）推导以这 3 个点作为求积节点在 上的插值型求积公式；（2）指明求积公式所具有的代数精确度；（3
3、）用所求公式计算 。解 （1）过这 3 个点的插值多项式故其中故所求的插值型求积公式为（2）上述求积公式是由二次插值函数积分而来，故至少具有 2 次代数精确度。再将代入上述求积公式，有故上述求积公式具有 3 次代数精确度。（3）由于该求积公式具有 3 次代数精确度，从而 为 的精确度。13. 确定 中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度。解 令 ，代入公式两端并令其相等，得解得 令 ，得令 ，得 故求积公式具有 3 次代数精确度。17. 用追赶法求解如下的三对角方程组解 设有分解由公式其中 分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素，故有从而有故 ，
4、 ， ，故 ， ， ，18. 设 ，求解方程组 ，求雅可比迭代法与高斯 -赛德尔迭代法收敛的充要条件。解 雅可比法的迭代矩阵，故雅可比法收敛的充要条件是 。高斯-赛德尔法的迭代矩阵，故高斯-赛德尔法收敛的充要条件是 。19. 设求解方程组 的雅可比迭代格式为 ，其中 ，求证：若 ，则相应的高斯-赛德尔法收敛。证明 由于 是雅可比法的迭代矩阵，故又 ，故 ，即 ，故 故系数矩阵 A 按行严格对角占优，从而高斯-赛德尔法收敛。23. 对于迭代函数 ，试讨论：（1 ） 当 为何值时， 产生的序列 收敛于 ；（2 ） 取何值时收敛最快？（3 ） 分别取 计算 的不动点 ，要求解 （1） ，根据定理 7.3，当 ，亦即 时迭代收敛。（2 ）由定理 7.4 知，当 ，即 时迭代至少是二阶收敛的，收敛最快。（3 ）分别取 ，并取 ，迭代计算结果如表 7-4 所示。01612131.21.481.4133695861.4142093031.414215327012341.21.3979898991.4141205051.4142135591.414213562此时都达到 。事实上，24. 设 ，试确定函数 和 ，使求解 且以 为迭代函数的迭代法至少三阶收敛。解 要求 三阶收敛到 的根 ，根据定理 7.4，应有于是由得故取即迭代至少三阶收敛。
