1、数学 文化与数学史 复习Lecture 0 为 什 么要开设数学史1. 介 绍文 艺复 兴时 期意 大 利艺术 大师 达 芬奇 （L . Da Vinci, 1452 1519） 和 19 世纪 英国 业 余数学 家伯 里加 尔（ H. Perigal, 18011898 ）证 明勾 股定理 的方 法。达 芬奇H. Perigal的水车翼轮法2. 谈 谈你 对数 学史 教育 价 值的认 识 。一门学科 一座桥梁一条进路一种资源 一组专题对学生来讲，通过对数学史的学习，有利于学生对数学知识的掌握和数学能力的提高,它不仅使学生获得了一种历史感，而且，通过从新的角度看数学学科，他们将对数学产生更敏锐
2、的理解力和鉴赏力，有利于学生对数学的思考, 促进学生的数学理解，启发学生的人格成长，有利于激发学生的情感、兴趣和良好的学习态度,有利于辩证唯物主义世界观的形成, 有利于学生了解数学的应用价值和文化价值。对于教师来讲，要使个体知识的发生遵循人类知识的发生过程，那么数学史就成为了数学教学的有效工具。将数学史作为一种资源运用到教学中，给教学提供一种新的视角，发挥其启发和借鉴的作用，并丰富课堂教学，使教学活动变得自然而有趣。这对数学教育改革也具有极其重要的意义。Lecture 2 古 代 数学（I：埃及3. Rhind 纸 草书 问题 79 是 一个等 比数 列求 和问 题， 介绍其 中蕴 涵的 等比
3、 数数 列求和 方法 。1247493432401168071960728015602112041960757493201687 18 9607S 2121 nnnnSaqaqaqS 4. “埃及 几何 学中 的珍 宝 ”是什 么？正四棱台体积公式： Lecture 3 古 代 数学（II：美索不达米亚3. 研 究古 巴比 伦时 期的 泥 版 BM 15285。 设想 你是 一 位祭司 ，你 会提 出什 么数 学问题 ？5 古 代巴 比伦 人是 如何 求 平方根 近似 值的 ？12132:,aaa 求设 第 一 个 近 似 值 为则 第 二 个 近 似 值 为 ；第 三 个 近 似 值 为 ；
4、 232:12;30;51;4,10.6求设 第 一 个 近 似 值 为 ，则 第 二 个 近 似 值 为 ；第 三 个 近 似 值 为 ；第 四 个 近 似 值 为 。化 为 十 进 制 为 ：7. 美 国哥 伦比 亚大 学收 藏 的 Plimpton 322 号 巴比 伦 泥版 的 内容 是什 么？泥版上有 15 行、4 列数字，原来人们还以为是一份帐目。但是，奥地利著名数学史家诺伊格鲍尔（O. Neugebauer, 18991990）经过研究惊奇地发现： 第 3 列数与第 2 列数的平方差竟都是平方数（少数行不满足这一规律，但显然是抄写错误所致）！例如（见下表，表中数字均为 60 进制
5、 ）：表 高 两 表 间 距日 高 表 高 影 长 之 差222 1091659,4, ， 22222 345674857,56, ，等等这就表明，它是一张勾股数表。英国著名数学家齐曼（C. Zeeman, 1925）指出，如果巴比伦人使用了勾股数一般公式2qpa， pb， 2qc那么，满足 60q， 453A且 （ A是勾 a所对的角）为有限小数的勾2otb股数只有16组。而Plimpton 322号泥版给出了其中的15组！其水平之高，令人惊叹不已。6 古巴比伦时期的泥版 Str.362 上记载了如下问题：“十兄弟分银 迈纳，每个兄弟均321比相邻的弟弟多得若干，已知老八分得 6 斤（1 迈
6、纳60 斤）。问：各兄弟比相邻的弟弟多得 几何？”泥版上给出的解法是：“取十兄弟所得平均数 10 斤，倍之，得 20 斤；减去老八所得的两倍即 12 斤，得 8 斤。于是，公差为8/5斤。”用我们今天的代数符号来表达这一解法，并写出一般公式。Lecture 4 古 代 数学（III：中国14 用 出入 相补 原理 证明 勾股定 理。16 介绍 西汉 时期 的“ 日 高公式 ”。 南宋 数学 家杨 辉 是如何 推导 这个 公式 的？日高公式： 21adHs杨辉推导日高公式：as2s1dH根据上面的原理我们可得：（其中 d 为两个杆子的距离）19 试 述刘 徽和 祖暅 的球 体积工 作。如图所示，
7、图中两个黄色的面积是相等的。为了证明公式 不正确，刘徽在立方体内作两个相互垂直的内3169DV球切圆柱，并把公共部分立体称作“牟合方盖”。如下图 两个圆柱面的公共部分（牟合方盖）正好把半径为 R的球体包含在内。刘徽想若用一个与底面平行的平面去截它们，那么球的截面肯定是圆，而牟合方盖的截面刚好是一个正方形 。如右图正方形与其内切圆的面积之比都是：由“截面原理”可得：于是我们只要求出牟合方盖的体积即可求出球的体积。刘徽：提出从立方体割出牟合方盖之后所余的“外棋”着手。但是外棋的复杂难倒了刘徽。祖暅：对边长为D的正方体及其内 牟合方盖的八分之一进行考察如右图并将其分解为一个内棋和三个外棋祖暅公理：用
8、平行于底面的平面去截两个等高的立体，如果所得的两个截面面积处处相等，则这两个立体的体积就相等。 31RV 阳 马外 棋13. 在 直角 三角 形中 ，勾 、股、 弦分 别 为 a、b 、c ，已知勾弦差（c-a ）和股弦差（c-b ），试用中国古代的方法来证明下面一组公式：，ca2，abbbcc则有：32内 棋 328VD合 盖 内 棋 316V球 牟 合 方 盖球 V4:4内棋外棋 外棋 外棋22()()()IIabcacbcabbcac b此图是将边长分别为 a，b，c 的三个正方形合在一起的14. 简 要介 绍刘 徽的 割圆 术（ 要求 写出 相关 公式 ）圆内接正多边形边长递推公式：L
9、ecture 5 古希腊数学21 描 述希 皮亚 斯（ Hippias, 公元 前 5 世纪 ）的 割圆 曲线， 并用 利用 它来 三等 分角。17. 用 欧几 里得 的方 法证 明勾股 定理 。A BCD EFGHKL23. 用 欧几 里得 的方 法证 明命题 “素数 无限 多” 。答：假设素数个数有限，则必有一个最大的设最大的素数是P令n=2*3*5*7*P+1，即把所有的素数相乘并加上1，显然nP若因为 P 是最大素数，所以 n 是合数，则 n 能被 2，3，P 中至少一个素数整除，但用这些数去除 n，都有余数 1，即都不能整除这就有两种可能(1)n 是素数 (2)n 是合数，但他只能被
10、大于 P 的素数整除这两种情况都和 P 是最大素数矛盾。所以假设错误，所以素数是无限27. 如 图所 示 ， ADBC 是 球 O 被纸 面所 截得 的大 圆 ，A B 和 CD 是其 相互 垂直 的两条 直径 。 XVWY 是 球 O 的 外切 圆柱 （以 AB 为 轴 ） 的 相应 截面 。 阿 基米 德通 过力 学方 法 发现 ： 球 O 的 体积等 于直 径为 CD 且 垂 直于纸 面的 大圆 为底 、以 B 为顶 点的 圆锥 BCD 的体 积的 4 倍。 试 介绍阿 基米 德的 方法 。OB DACV XYWE FHL GM NP QR ST2ABFDCABFL正 方 形矩 形LK正
11、 方 形 矩 形正 方 形 矩 形CFAE正 方 形 正 方 形 正 方 形得证A BCDOX YV W20. 利 用托 勒密 定理 推导 和角正 弦公 式。22. 证 明海 伦三 角形 面积 公式。22222TACMN PQRSEG,OFCAHs.t= ,= =+PRT(+T)MTFE证 明 ： 如 图 ， 作 辅 助 线 ， 其 中 为 上 任 意 一 点用 一 个 过 T平 行 于 圆 柱 底 面 的 截 面 去 截 图 形则 有 ： 分 别 是 圆 柱 球 和 圆 锥 的 圆 截 面 直 径再 延 长 到 则 我 们 有 ： 圆 柱 的 截 面圆 锥 截 面 球 截 面（ 圆 锥 截
12、面 球 截 面CAOAEG),+H=EFEG ） 圆 柱 的 截 面将 看 成 以 为 支 点 的 杠 杆 ， 则 由 杠 杆 定 律 可 得 ： 重 心 放 在 H处 的（ 圆 锥 截 面 球 截 面 ） 关 于 支 点 与 重 心 放 在 处 的 圆 柱 截 面 相 平 衡再 由 的 任 意 性 可 得 ， 所 有 这 样 的 截 面 都 有 此 结 果 ， 因 此 将 所 有 的 力 矩 相 加得 :重 心 放 在 处 的 （ 圆 锥 球 关 于 支 点 与 放 在 原 处 不 动 的 圆 柱 相 平 衡又 因 为 圆 柱 的 重 心 在 球 心 所 以 有 下 面 的 结 果 ：（ 圆
13、 锥 球 ） 圆 柱圆 柱即 ：3,2,31O8BD244BDR=,AHAEF又 而 圆 柱 圆 锥圆 锥 球球 圆 锥 又 圆 锥 圆 锥球 圆 锥 证 毕Lecture 6 中 世 纪数学23. 叙 述中 国剩 余定 理。37 阿 拉伯 数学 家阿 尔 卡 克希 （ Al-Karkhi, 953-1029） 是如 何推 导自 然数 三次 幂和公 式 的 ？如下图所示：39 斐 波纳 契 计算 之书 中有 如下 问题 “棋盘 （ 64 格） 上的数 列满 足： 任 意一项 等于 它 前面所 有各 项和 的两 倍。 已知首 项 为 1， 求棋 盘上 数列各 项之 和”试 用今 天 的方法 求解 。2333112 n1211112(.)3(3nnnnnnnnaasssas41. 在 约瑟 夫问 题中 ， 若 设排成 一圈 的人 数为 n ， 并 且从 1 号开 始按 顺时 针方 向点数 ， 每点到 2， 第 2 号 被扔 进大 海 。 记最后 剩下 的一 个人 位于 第 J (n) 号 。 试 给出 J (n) 与 n 的一般 关 系式， 并计 算 J (100) 和 J (500) 。28()12()()0367(5)()1489kJnLognn
