1、一线三等角相似三角形判定的基本模型A 字型 X 字型 反 A 字型 反 8 字型母子型 旋转型 双垂直 三垂直相似三角形判定的变化模型 CB EDA一线三等角型相似三角形三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。此规律需通过认真做题，细细体会。典型例题【例 1】如图，等边ABC 中，边长为 6，D 是 BC 上动点，EDF=60（1）求证：BDE
2、CFD（2）当 BD=1，FC=3 时，求 BE 【例 2】如图，等腰ABC 中，AB=AC ，D 是 BC 中点，EDF=B，求证：BDEDFE【例 3】如图，在ABC 中，AB=AC =5cm，BC=8，点 P 为 BC 边上一动点（不与点 B、C 重合） ，过点 P 作射线PM 交 AC 于点 M，使APM= B ；（1）求证：ABPPCM；（2）设 BP=x，CM=y 求 y 与 x 的函数解析式，并写出函数的定义域（3）当APM 为等腰三角形时， 求 PB 的长【例 4】 （1）在 中， ， ，点 、 分别在射线 、 上（点 不与点 、点ABC58BCPQCBAPC重合） ，且保持
3、.BPQ若点 在线段 上（如图） ，且 ，求线段 的长；6若 ， ，求 与 之间的函数关系式，并写出函数的 xyCx定义域；CADBE FCDEABFAB P CMAB CPQ（2）正方形 的边长为 （如图 12） ，点 、 分别在直线 、 上ABCD5PQCBD（点 不与点 、点 重合） ，且保持 .P90A当 时，写出线段 的长（不需要计算过程，请直接写出结果）.1Q点评：此题是典型的图形变式题，记住口诀：“图形改变，方法不变” 。动点在线段上时，通过哪两个三角形相似求解，当动点在线段的延长线上时，还是找原来的两个三角形，多数情况下这两个三角形还是相似的，还是可以沿用原来的方法求解。【例
4、5】已知：菱形 ABCD,AB=4m, B=60,点 P、Q 分别从点 B、C 出发，沿线段 BC、CD 以 1m/s 的速度向终点 C、 D 运动,运动时间为 t 秒（1）连接 AP、AQ、PQ，试判断APQ 的形状，并说明理由。（2）当 t=1 秒时，连接 AC，与 PQ 相交于点 K.求 AK 的长。（3） 当 t=2 秒时，连接 AP、PQ,将APQ 逆时针旋转，使角的两边与 AB、AD、AC 分别交于点 E、N、F，连接 EF.若 AN=1,求 SEPF .AB CDPQKAB CDP Q DCBAAB C备用图AB CD图 12【应用】1.如图，在平面直角坐标中，四边形 OABC
5、是等腰梯形，CBOA，OA=7，BC=1，AB=5，点 P 为 x 轴上的一个动点，点 P 不与点 0、点 A 重合连接 CP，过点 P 作 PD 交 AB 于点 D（1）直接写出点 B 的坐标 （2）当点 P 在线段 OA 上运动时，使得CPD=OAB，且 BD: AD=3:2 ，求点 P 的坐标2、已知在梯形 ABCD 中，ADBC，ADBC，且 BC =6，AB=DC=4，点 E 是 AB 的中点（1）如图，P 为 BC 上的一点，且 BP=2求证：BEPCPD；（2）如果点 P 在 BC 边上移动（点 P 与点 B、C 不重合） ，且满足EPF =C，PF 交直线 CD 于点 F，同时
6、交直线 AD 于点 M，那么当点 F 在线段 CD 的延长线上时，设 BP= ，DF= ，求 关于 的函数解析式，并写出函数的定义域；xyx当 时，求 BP 的长BEPDS49模型训练：1. 如图，在ABC 中， ， ， 是 边上的一个动点，点 在 边上，且8ACB10DBCEACADE(1) 求证：ABDDCE；(2) 如果 ， ，求 与 的函数解析式，并写出自变量 的定义域；xByxxAB CDEEDCBAP（第 25 题图）EDCBA（备用图）(3) 当点 是 的中点时，试说明ADE 是什么三角形，并说明理由DBC2. 已知：如图，在ABC 中， ， ，点 D 在边 AB 上， ，点 E
7、 在边 BC 上又点5ACB6ABF 在边 AC 上，且 DEF(1) 求证：FCEEBD ；(2) 当点 D 在线段 AB 上运动时，是否有可能使 EBDFCS4如果有可能，那么求出 BD 的长如果不可能请说明理由3. 如图，在ABC 中，AB=AC =5，BC=6，P 是 BC 上一点，且 BP=2，将一个大小与B 相等的角的顶点放在 P 点，然后将这个角绕 P 点转动，使角的两边始终分别与 AB、AC 相交，交点为 D、E。（1）求证BPDCEP（2）是否存在这样的位置，PDE 为直角三角形？若存在，求出 BD 的长；若不存在，说明理由。CPEABD4. 如图，在ABC 中，AB=AC
8、=5，BC=6，P 是 BC 上的一个动点(与 B、C不重合)，PE AB 与 E，PF BC 交 AC 与 F，设 PC=x，记PE= ，PF=1y2（1）分别求 、 关于 x 的函数关系式（2）PEF 能为直角三角形吗?若能，求出 CP 的长，若不能，请说明理 由。5. 已知在等腰三角形 中， ， 是 的中点， 是 上的动点（不与 、 重ABC4,6ACDEBCBC合） ，连结 ，过点 作射线 ，使 ，射线 交射线 于点 ，交射线 于点 .DEDFEFFAH（1）求证： ；H（2）设 .,xFy用含 的代数式表示 ；B求 关于 的函数解析式，并写出 的定义域.yx6. 已知在梯形 ABCD 中，ADBC，ADBC，且 AD5，ABDC2（1）如图 8，P 为 AD 上的一点，满足 BPCA求证；ABPDPC求 AP 的长（2）如果点 P 在 AD 边上移动（点 P 与点 A、D 不重合） ，且满足BPEA，PE 交直线 BC 于点 E，同CPEABFAB CDEFHABC DEFCDABP时交直线 DC 于点 Q，那么当点 Q 在线段 DC 的延长线上时，设 APx，CQy，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域；当 CE1 时，写出 AP 的长（不必写出解题过程）
