1、BOX-JENKINS 预测法1 适用于 平稳时序 的三种基本模型（1） 模型（Auto regression Model）自回归模型()ARp阶自回归模型： =+11+22+式中， 为时间序列第 时刻的观察值，即为因变量或称被解释变量； ， 为时序 的滞后序列，这里作为自变量或称为解释变量；1 2， ， 是随机误差项； ， ， ， 为待估的自回归参数。 1 2 ， （2） 模型（Moving Average Model）移动平均模型()MAq阶移动平均模型： 12ttttqtyeee式中， 为时间序列的平均数，但当 序列在 0 上下变动时，显然ty=0，可删除此项； ， ， ， 为模型在第
2、期，第 期，t1t2ttqt1t第 期的误差； ， ， 为待估的移动平均参数。tq12q（3） 模型自回归移动平均模型（Auto regression Moving (,)ARMpAverage Model）模型的形式为： 12 12tttpttttqtycyyeee 显然， 模型为自回归模型和移动平均模型的混合模型。当 =0,(,)ARpq时，退化为纯自回归模型 ；当 =0 时，退化为移动平均模型 。() ()MA2 改进的 ARMA 模型（1） 模型(,)IMpdq这里的 是对原时序进行逐期差分的阶数，差分的目的是为了让某些非平稳（具有一定趋势的）序列变换为平稳的，通常来说 的取值一般为
3、0,1,2。d对于具有趋势性非平稳时序，不能直接建立 模型，只能对经过平稳ARM化处理，而后对新的平稳时序建立 模型。这里的平文化处理可以是(,)pq差分处理，也可以是对数变换，也可以是两者相结合，先对数变换再进行差分处理。（2） 模型(,),)sARIMpdqPDQ对于具有季节性的非平稳时序（如冰箱的销售量，羽绒服的销售量） ，也同样需要进行季节差分，从而得到平稳时序。这里的 即为进行季节差分的阶数；D分别是季节性自回归阶数和季节性移动平均阶数； 为季节周期的长度，,PQS如时序为月度数据，则 =12，时序为季度数据，则 =4。S在 SPSS19.0 中的操作如下 必须要先打开一个数据源，才
4、可以定义日期 数据 定义日期 选择日期的起始点，此时变量栏中会出现日期变量。（3） 模型ARIMX在 模型中，再加入除自身滞后时序变量以外的解释(,),)spdqPDQ变量 。3 模型的识别模型的识别的本质是确定 中的 以及 与(,),)sARIpdqPDQ,pdq,PDQ的取值。借助于自相关函数（Auto correlation Function, ACF）以及自相关分S析图和偏自相关函数（Partial Correlation Function, PACF）以及偏自相关分析图来识别时序特性，并进一步确定 、 、 、 。pq3.1 自相关函数自相关是时间序列 诸项之间的简单相关。它的含义与相
5、关分析中12,tY变量之间的简单相关一样，只不过它所涉及的是同一序列自身，因而称作自相关。自相关程度的大小，用自相关系数 度量。kr12()nkttktttyyr式中， 为样本数据的个数； 为滞后期； 为样本数据平均值。nky自相关系数 ，可看作自变量 的函数，即自相关函数。它表示时间序列滞kr后 个时间段的两项之间相关的程度。如 表示每相邻两项间的相关程度；k 1r表示每隔一项的两个观察值得相关程度。2r随机序列自相关系数的抽样分布，近似于以 0 为均值， 为标准差的正1n态分布。自相关系数的 95%置信区间为 ，此处 。如果(.96,.)一个时间序列的自相关系数全部落入这个区间，则认为该序
6、列是纯随机序列。将时间序列的自相关系数绘制成图，并标出一定的置信区间（通常采用倍标准差作为置信区间的两个端点） ，被称作自相关分析图。2SPSS19.0 中的操作1. 输入变量数据；定义时间序列日期（数据 定义日期）2. 分析 预测 自相关（如下） ；将要分析的变量从左侧移入右侧变量框中3. 勾选自相关、偏自相关，转换暂时不选（如果为非平稳序列，可勾选差分/自然对数转换，其中差分的阶数需要根据自相关图形来确定，通常为0,1,2）未进行差分处理，由图可知几乎一半的自相关系数未进入置信区间，说明该序列非平稳，此时需要进行差分处理，即在重复第 2 步时，差分选项选择 1 或 2。3.2 偏自相关函数
7、偏自相关函数是时间序列 ，在给定了 的条件下， 与tY121,ttkY tY之间的条件相关。由于它需要考虑排除其他滞后期的效应，因而被称为偏tkY自相关。偏自相关系数 计算公式如下。k11,1 2,3kjkjkjkjkjjrr偏自相关系数 ，可看作自变量 的函数，即偏自相关函数， 。k 1k它用以测量当剔除其他滞后期（ ）的干扰的条件下， 与 之,23,t tYt间相关的程度。与自相关系数类似，同样可以采用偏自相关分析图来对模型进行识别。3.3 ARIMA 模型的参数确定Step1：判断时序是否平稳，若不平稳，经过若干次逐期差分或季节差分使其平稳，则可确定 和 。对于社会经济现状，一般 和 的
8、数值取 0,1 或 2。dDdD若自相关系数 ACF 随着滞后期（一般设为 16）增大，而迅速趋于 0，则认为该时序是平稳的。若自相关系数 ACF 随着滞后期增大，自相关系数 ACF 不趋于 0，则认为该时序是非平稳的。更具体地说，若随着时滞 的增大，自相关系数 ACF 缓慢减k小，说明随着序列两项间隔的提前，相关程度变弱，则序列具有趋势性；若对于季度数据或月度数据，当滞后期为 4（或 12） ，8（24）等时，自相关系数ACF 显著地部位 0，即在随机区间之外，则意味着该时序具有季节性。如果时序具有趋势性，那么需要进行逐期差分，由逐期差分的次数决定 的取值；如d果序列具有季节性，那么要进行季
9、节差分，由季节差分次数决定 的值。D左侧图形为未经过差分处理的某城市农村居民收入的 ACF 图，可以看出自相关系数并未迅速趋于 0，说明该时序是非平稳的。右侧为该序列的线性图，也正说明了该时序是有明显的上升趋势的，需要进行差分处理。Step2：经差分平稳后，确定时序所适合的模型，其依据如下表所示。序列特征表(,)ARMpq模型 )()A(,)ARMpq自相关函数拖尾指数衰减和（或）正弦衰减截尾拖尾指数衰减和（或）正弦衰减偏自相关函数 截尾（阶）拖尾指数衰减和（或）正弦衰减拖尾指数衰减和（或）正弦衰减关于 的取值,pq当不包括时滞 （或 4） ，24（或 8） ， 取落入随机区间之外的偏相关12
10、kp系数 PACF 的个数或与 0 有显著差异的 PACF 的个数， 取落入随机区间之外q的自相关系数 ACF 的个数或与 0 有显著差异的 ACF 的个数。当仅观察时滞 （或 4） ，24（或 8） ， 取显著不为 0 的 PACF 的个数，12kp取显著不为 0 的季节自相关数目。q4 案例分析4.1 数据准备某城市农村居民收入数据（ 1980-2015 年）单位：元年份 数据 年份 数据 年份 数据1980 261.00 1992 792.18 2004 4027.031981 274.00 1993 938.45 2005 4465.991982 291.00 1994 1312.24
11、 2006 4845.351983 312.00 1995 1655.00 2007 5623.241984 344.00 1996 1989.57 2008 6627.261985 362.00 1997 2218.89 2009 6627.001986 382.00 1998 2199.38 2010 7182.531987 421.00 1999 2840.10 2011 9104.001988 504.00 2000 2941.80 2012 8864.851989 557.00 2001 2981.78 2013 10013.031990 659.00 2002 3048.55 20
12、14 11547.001991 685.71 2003 3208.84 2015 12736.00对 36 年农村居民收入建立 B-J 模型，并预测 2016 年的收入情况。4.2 时序分析Step1：将数据输入到 SPSS19.0 中，并定义变量的精度为小数点后两位；Step2：定义日期。数据定义日期输入“1980 ”因为本次数据没有季节性，所以只需要选择年份为 1980 年，如下图。Step3：绘制其时序图，观察其是否平稳。分析 预测序列图此时可以看出该曲线有明显上升趋势，为非平稳序列，需要进行差分平稳化。同时，也可以绘制自相关图形（操作：分析预测自相关）来观察其趋势，如下图。由上面自相关
13、系数图可知， 随着延迟数目的增加，系数并没有显著的趋近于 0，且许多数值较大的系数落在了置信区间之外， 说明该时间序列并 非平稳的。4.3 差分平稳化对时间序列进行差分平稳，并绘制相关系数图和偏自相关系数图如下。操作为：分析预测自相关（勾选：1 阶差分）从右侧图形可以看出，在滞后期 k=3 之后，自相关函数衰减，并且均在置信区间范围之内，因此可以认为该序列平稳了。再观察变换后的序列的偏自相关函数图，如下图。其中 =0.437 较大，其他并没有明显趋于 0，可以认为在 K=3 后拖尾，而3自相关函数可以看做是 K=3 后截尾，也可以看做为拖尾。 （自拖，偏拖） ARIMA 模型， （自截，偏拖） MA 模型， 因此，经过一阶差分变换后的农村居民收入所选定的模型为 或 。分别对两个模型进行(3,1)ARIM(0,13)ARI拟合和预测，比较其精度。4.4 建立 ARIMA 模型4.4.1 ARIMA（3,1,3）模型Step1：菜单栏：分析预测创建模型在变量栏中，将农村居民收入移入因变量框中；方法选择 ARIMA 模型，点击右侧“条件” ，输入自回归，差分和移动平均数的值。Step2：确定输出的统计量和相关信息。其中拟合值和置信区间可备选，根据需要选择。如果需要预测下一年的数据值，必须要在变量栏中的时间变量下再加入一个年份值，否则不会显示预测值，如下图。
