1、第八章第八章 欧氏空间欧氏空间8.1 向量的内积8.2 正交基8.3 正交变换8.4 对称变换和对称矩阵 8.1 向量的内积一、内容分布 8.1.1向量的内积、欧氏空间的定义8.1.2向量的长度、两非零向量的夹角8.1.3两向量正交、正交向量组的定义、性质 二、教学目的 ：1理解以下概念及其基本性质：向量的内积、欧氏空间、向量的长度、单位向量、两非零向量的夹角、两向量正交、两向量的距离2掌握常见的几种欧氏空间；会用向量的内积及欧氏空间的定义判断向量 与 的内积 3掌握 三、重点难点 ：1.准确理解并掌握向量的内积、欧氏空间及两向量正交的概念 ;2.不等式 的灵活运用 . 一些不等式8.1.1向
2、量的内积、欧氏空间的定义 1)2) 3)4) 当 时 , 定义 1 设 V是实数域 R上一个向量空间 . 如果对于V中任意一对向量 有一个 确定 的记作 的实数与它们对应，并且下列条件被满足： 这 里 是 V的任意向量， a是任意 实 数， 那么这 个内 积 来 说 的一个欧氏空 间 （ 简 称欧氏空 间 ） .叫做向量 与 的内积，而 V叫做对于例 1 在规 定 里 ,对于任意两个向量容易验证 ,关于内积的公理被满足 ,因而 对于这样定义的内积来说作成一个欧氏空间 . 例 2 在规 定 里 ,对于任意向量不 难验证 , 也作成一个欧氏空 间 . 例 3 令 Ca,b是定义在 a,b上一切连续
3、实函数我 们规 定所成的向量空间 ,根据定积分的基本性质可知 ,内积的公理1)-4)都被满足 ,因而 Ca,b作成一个欧氏空间 .例 4 令 H是一切平方和收敛的实数列所成的集合 .在 H中用自然的方式定义加法和标量与向量的乘法 : 设 规 定 向量 的内 积 由公式给 出，那么 H是一个欧氏空 间 . 练习 1 为 向量空 间中任意两向量 ,证 明 : 对作成欧氏空 间 的充分必要条件是 m 0, n 0. 8.1.2 向量的长度、两非零向量的夹角定 义 2 设 是欧氏空 间 的一个向量，非 负实 数的算 术 根叫做 的 长 度，向量 的长度用符号表示：定理 8.1.1 在一个欧氏空间里 ,
4、对于任意向量 有不等式 (6) 当且仅当 与 线性相关时，上式才取等号 .定义 3 设 与 是欧氏空间的两个非零向量， 与 的夹角 由以下公式定义：例 5 令 是例 1 中的欧氏空间 . 中向量 的长度是由长度的定义 ,对于欧氏空间中任意向量 和任意实数 a,有 注：一个实数 a与一个向量 的乘积的长度等于 a的绝对值与 的长度的乘积 .例 6 考虑例 1 的欧式空间 由不等式 (6)推出 ,对于任意实数 有不等式 (7) (7)式称为柯西 (Cauchy)不等式 .例 7 考虑例 3的欧氏空间 Ca,b，由不等式（ 6）推出，对于定义在 a,b上的任意连续函数 有不等式 (8) (8)式称为施瓦兹 (Schwarz)不等式 . （ 7）和（ 8）在欧氏空间的不等式（ 6）里被统一 起来 . 因此通常把 (6)式称为柯西 -施瓦兹不等式 .
