1、熊老师初中数学教育工作室- 1 -初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。基本图形解析：一）已知两个定点：1、在一条直线 m 上，求一点 P，使 PA+PB 最小；（1）点 A、B 在直线 m 两侧：（2）点 A、B 在直线同侧：A、A 是关于直线 m 的对称点。2、在直线 m、n 上分别找两点 P、Q，使 PA+PQ+QB 最小。（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：P mAB mB B P mABA nmAB QP n mAB n mAB QP n mABB QP n mAB n mAB熊老师初中数学教育工作室- 2 -（4）台球
2、两次碰壁模型变式一：已知点 A、B 位于直线 m,n 的内侧，在直线 n、m 分别上求点 D、E 点，使得围成的四边形 ADEB周长最短.填空：最短周长=_变式二：已知点 A 位于直线 m,n 的内侧, 在直线 m、n 分别上求点 P、Q 点 PA+PQ+QA 周长最短.二）一个动点，一个定点：（一）动点在直线上运动：点 B 在直线 n 上运动，在直线 m 上找一点 P，使 PA+PB 最小（在图中画出点 P 和点 B）1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点 B 在O 上运动，在直线 m 上找一点 P，使 PA+PB 最小（在图中画出点 P 和点 B）1、点与圆在直线两
3、侧：m nA P m nABm nA P m nAABmOA P mOBABmnAB EDmnABA B mnA PQmnAA“A熊老师初中数学教育工作室- 3 -2、点与圆在直线同侧：（三）已知 A、B 是两个定点，P、Q 是直线 m 上的两个动点，P 在 Q 的左侧,且 PQ 间长度恒定,在直线 m上要求 P、Q 两点，使得 PA+PQ+QB 的值最小。(原理用平移知识解)（1）点 A、B 在直线 m 两侧：过 A 点作 ACm,且 AC 长等于 PQ 长，连接 BC,交直线 m 于 Q,Q 向左平移 PQ 长，即为 P 点，此时 P、Q 即为所求的点。（2）点 A、B 在直线 m 同侧：二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边)基本图形解析：1、在一条直线 m 上，求一点 P，使 PA 与 PB 的差最大；（1）点 A、B 在直线 m 同侧：解析：延长 AB 交直线 m 于点 P，根据三角形两边之差小于第三边，PAPBAB，而 PAPB=AB 此时最大，因此点 P 为所求的点。（2）点 A、B 在直线 m 异侧：解析：过 B 作关于直线 m 的对称点 B,连接 AB交点直线 m 于 P,此时 PB=PB，PA-PB 最大值为 ABmOA P mOABAmABBEQP mABQP mABQP mABCQPmBAmAB mABBPPmBAPP
