1、中点模型的构造及应用一、遇到以下情况考虑中点模型： 任意三角形或四边形中点或与中点有关的线段 出现两个或三个中点考虑三角形中线定理 已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线 已知等边、等腰三角形底边中点，可以考虑与顶角连接用“三线合一” 有些题目不直接给出中点，我们可以挖掘其中隐含中点，比如等腰三角形、等边三角形、直角三角形、平行四边形、圆中圆心是直径中点等可以出现中点的图形通常考虑用中点模型 三角形中线的交点称为重心，它把中线分的线段比为 2:1二、中点模型辅助线构造方法分类（一）倍长中线法（构造全等三角形，八字全等）当已知条件中出现中线时，常常将此中线倍长构造全等三角形解决问题。如图，
2、在 ABC 中，D 为 BC 中点，延长 AD 到 E 使 AD=DE，连接 BE，则有：ADC EDB。作用：转移线段和角。（二）倍长类中线法（与中点有关线段，构造全等三角形，八字全等）当已知条件中出现类中线时，常常将此类中线倍长构造全等三角形解决问题。如图，在 ABC 中，D 为 BC 中点，延长 ED 到 F 使 ED=DF，连接 CF，则有：BED CFD。作用：转移线段和角。（三）直角三角形斜边中线法当已知条件中同时出现直角三角形和中点时，常构造直角三角形斜边中线，然后再利用直角三角形斜边的中线性质解决问题。如下图，在 Rt ABC 中， ，D 为 AB 中点，则有：ACB9012C
3、DAB（四）等腰三角形三线合一当出现等腰三角形时，常隐含有底边中点，将其与顶角连接，可构成三线合一。在 ABC中:（1）AC=BC ；（2 ）CD 平分 ；（3 ）AD=BD ， （4）ACB“知二得二” ：比如由（2） （3）可得出（1） （4）.也就是说，以上CDAB四条语句，任意选择两个作为条件，就可以推出剩下两条。（五）中位线法当已知条件中同时出现两个及以上中点时，常考虑构造中位线；或出现一个中点，要求证明平行线段或线段倍分关系时也常考虑构造中位线。如图，在 ABC 中，D ，E 分别是 AB、AC 边中点，则有 ， DEBCA。1DEBC2=三、练习（一）倍长中线法1.（ 2014
4、秋 津南区校级期中） 已知：在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且 BEAC，延长 BE 交 AC 于 F，求证：AFEF2. （2017湘潭）如图，在ABCD 中，DECE，连接 AE 并延长交 BC 的延长线于点 F（1）求证：ADE FCE；（2）若 AB2BC ，F36求B 的度数3.（ 2017 江西萍乡， 15） 如图，在ABC 中，CD 是 AB 边上的中线，E 是 CD 的中点，过点 C 作 AB 的平行线交 AE 的延长线于点 F，连接 BF（1）求证：CFAD ；（2）若 CA CB，试判断四边形 CDBF 的形状，并说明理由4.（ 2014鄂尔多
5、斯） 如图 1，在ABCD 中，点 E 是 BC 边的中点，连接 AE 并延长，交 DC 的延长线于点 F且AEC2ABE连接 BF、AC （1）求证：四边形 ABFC 的是矩形；（2）在图 1 中，若点 M 是 BF 上一点，沿 AM 折叠ABM，使点 B 恰好落在线段 DF 上的点 B处（如图 2） ，AB13，AC12，求 MF 的长5.（ 2017贵阳 ,24） （1）阅读理解：如图，在四边形 ABCD 中，ABDC，E是 BC 的中点，若 AE 是BAD 的平分线，试判断 AB，AD ，DC 之间的等量关系解决此问题可以用如下方法：延长 AE 交 DC 的延长线于点 F，易证AEB
6、FEC，得到 ABFC，从而把 AB，AD，DC 转化在一个三角形中即可判断AB、AD、DC 之间的等量关系为_；（2）问题探究：如图，在四边形 ABCD 中，ABDC，AF 与 DC 的延长线交于点 F，E 是 BC 的中点，若 AE 是BAF 的平分线，试探究 AB，AF，CF 之间的等量关系，并证明你的结论（3）问题解决：如图，ABCF，AE 与 BC 交于点 E，BE：EC2：3，点 D 在线段 AE 上，且EDF BAE，试判断 AB、DF、CF 之间的数量关系，并证明你的结论（二）倍长类中线法1.（ 2016 秋 江都区期中） 已知：如图，E 是 BC 的中点，点 A 在 DE 上
7、，且BAECDE 求证： ABCD2.（ 2017重庆， 24）在 ABM 中，ABM45，AM BM ，垂足为 M，点 C是 BM 延长线上一点，连接 AC（1）如图 1，若 ，BC5，求 AC 的长；AB32（2）如图 2，点 D 是线段 AM 上一点，MDMC ，点 E 是ABC 外一点，ECAC，连接 ED 并延长交 BC 于点 F，且点 F 是线段 BC 的中点，求证：BDFCEF3.（ 2017山西， 17）已知：如图，在ABCD 中，延长 AB 至点 E，延长 CD 至点F，使得 BEDF连接 EF，与对角线 AC 交于点 O求证：OEOF（三）直角三角形斜边中线法1.（ 201
8、6乌鲁木齐， 9） 如上图，在 RtABC 中，点 E 在 AB 上，把这个直角三角形沿 CE 折叠后，使点 B 恰好落到斜边 AC 的中点 O 处，若 BC3，则折痕 CE的长为（ ）A. B. C. D.632332. （2015乌鲁木齐，9）如图，将斜边长为 4 的直角三角板放在直角坐标系xOy 中，两条直角边分别与坐标轴重合，P 为斜边的中点现将此三角板绕点O 顺时针旋转 120后点 P 的对应点的坐标是（ ）A B. 31（ ， ） 3（ 1， -）C. D. 2（ ， ） （ 2， ）3.（ 2017新疆， 22）如图， AC 为O 的直径，B 为O 上一点，ACB 30，延长 C
9、B 至点 D，使得 CBBD，过点 D 作 DEAC，垂足 E 在 CA 的延长线上，连接 BE（1）求证：BE 是O 的切线；（2）当 BE3 时，求图中阴影部分的面积4. （2017北京，22）如图，在四边形 ABCD 中，BD 为一条对角线，ADBC，AD2BC，ABD90，E 为 AD 的中点，连接 BE（1）求证：四边形 BCDE 为菱形；（2）连接 AC，若 AC 平分 BAD ，BC 1，求 AC 的长5. （2015 北京东城， 23）如图，ABC 中，BCA90，CD 是边 AB 上的中线，分别过点 C，D 作 BA，BC 的平行线交于点 E，且 DE 交 AC 于点 O，连
10、接AE（1）求证：四边形 ADCE 是菱形；（2）若 AC 2DE，求 sinCDB 的值（四）等腰三角形三线合一1.（ 2017荆州） 如图，在 ABC 中，AB AC，A30，AB 的垂直平分线 l交 AC 于点 D，则CBD 的度数为（ ）A.30 B.45C.50 D.752.（ 2017陕西， 9）如图， ABC 是O 的内接三角形，C30，O 的半径为 5，若点 P 是O 上的一点，在ABP 中，PBAB，则 PA 的长为（ ）A.5 B. 532C. D. 523.（ 2017呼和浩特， 18） 如图，等腰三角形 ABC 中，BD，CE 分别是两腰上的中线（1）求证：BD CE；
11、（2）设 BD 与 CE 相交于点 O，点 M，N 分别为线段 BO 和 CO 的中点，当ABC 的重心到顶点 A 的距离与底边长相等时，判断四边形 DEMN 的形状，无需说明理由（五）中位线法1.（ 2015郑州） 如图，D 是ABC 内一点，BDCD，AD12，BD8，CD 6，E 、F、G、H 分别是 AB、AC、CD 、BD 的中点，则四边形 EFGH 的周长是（ ）A.14 B.18 C.20 D.222.（ 2013乌鲁木齐， 15） 如图，ABC 中，AD 是中线，AE 是角平分线，CF AE 于 F， AB5，AC2，则 DF 的长为_3.（ 2017遵义） 如图， ABC 的
12、面积是 12，点 D、E、F 、G 分别是BC、 AD、BE、CE 的中点，则AFG 的面积是（ ）A.4.5 B.5 C.5.5 D.64.（ 2017天津， 17）如图，正方形 ABCD 和正方形 EFCG 的边长分别为 3 和 1，点 F，G 分别在边 BC，CD 上，P 为 AE 的中点，连接 PG，则 PG 的长为_5.（ 2014 春 硚口区期末） 如图，已知ABC 的中线 BD、CE 相交于点O、M、N 分别为 OB、OC 的中点（1）求证：MD 和 NE 互相平分；（2）若 BD AC，EM ，ODCD 7，求OCB 的面积26.（ 2017云南， 20）如图， ABC 是以
13、BC 为底的等腰三角形，AD 是边 BC 上的高，点 E、F 分别是 AB、AC 的中点（1）求证：四边形 AEDF 是菱形；（2）如果四边形 AEDF 的周长为 12，两条对角线的和等于 7，求四边形 AEDF的面积 S7.（ 2017长春） 【再现】 如图，在ABC 中，点 D，E 分别是 AB，AC 的中点，可以得到：DEBC，且 （不需要证明）1DEBC2【探究】如图，在四边形 ABCD 中，点 E，F，G，H 分别是AB， BC，CD，DA 的中点，判断四边形 EFGH 的形状，并加以证明【应用】在（1） 【探究】的条件下，四边形 ABCD 中，满足什么条件时，四边形 EFGH 是菱形？你添加的条件是：_ （只添加一个条件）（2）如图，在四边形 ABCD 中，点 E，F，G ，H 分别是 AB，BC，CD，DA的中点，对角线 AC，BD 相交于点 O若 AOOC，四边形 ABCD 面积为 5，则阴影部分图形的面积和为_.8.（ 2015巴东县模拟） 如图，在四边形 ABCD 中，ABDC ，E、F 分别是AD、BC 的中点，G、H 分别是对角线 BD、AC 的中点（1）求证：四边形 EGFH 是菱形；（2）若 AB ，则当 ABCDCB90时，求四边形 EGFH 的面积54
