1、- 1 -第 36 练 概率的两类模型题型一 古典概型问题例 1 某班级的某一小组有 6 位学生，其中 4 位男生，2 位女生，现从中选取 2 位学生参加班级志愿者小组，求下列事件的概率：(1)选取的 2 位学生都是男生；(2)选取的 2 位学生一位是男生，另一位是女生破题切入点 先求出任取 2 位学生的基本事件的总数，然后分别求出所求的两个事件含有的基本事件数，再利用古典概型概率公式求解解 (1)设 4 位男生的编号分别为 1,2,3,4,2 位女生的编号分别为 5,6.从 6 位学生中任取 2 位学生的所有可能结果为(1,2)，(1,3)，(1,4) ，(1,5)，(1,6)，(2,3)，
2、(2,4) ，(2,5)，(2,6) ，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6) ，(5,6)，共 15 种从 6 位学生中任取 2 位学生，所取的 2 位全是男生的方法数，即从 4 位男生中任取 2 个的方法数，共有 6 种，即(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4) ，(3,4)所以选取的 2 位学生全是男生的概率为 P1 .615 25(2)从 6 位学生中任取 2 位，其中一位是男生，而另一位是女生，其取法包括(1,5) ，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6) ，(4,5)，(4,6)，共 8 种所以选取的 2 位学生一位是男生
3、，另一位是女生的概率为 P2 .815题型二 几何概型问题例 2 (2013四川改编)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是_破题切入点 由几何概型的特点，利用数形结合即可求解答案 34解析 设在通电后的 4 秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为 x、y，x、y 相互独立，由题意可知Error!，如图所示两串彩灯第一次亮的时间相差不超过 2 秒的概率为 P(|xy|2)S正 方 形 2S ABCS正 方
4、形- 2 - .44 2122244 1216 34题型三 古典概型与几何概型的综合问题例 3 已知关于 x 的一元二次方程 9x26axb24 0， a，b R.(1)若 a 是从 1,2,3 三个数中任取的一个数， b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数，求已知方程有两个不相等实根的概率；(2)若 a 是从区间0,3内任取的一个数，b 是从区间0,2内任取的一个数，求已知方程有实数根的概率破题切入点 本题中含有两个参数，显然要将问题转化为含参数的一元二次方程有解的条件问题第(1)问利用列举法将基本事件罗列出来，再结合题意求解第(2)问将 a，b 满足的不等式转化为可行域平面区域问题，从
5、而利用几何概型的概率公式求解解 设事件 A 为“ 方程 9x26axb24 0 有两个不相等的实数根 ”；事件 B 为“方程9x26axb240 有实数根 ”(1)由题意，知基本事件共 9 个，即(1,0)，(1,1)，(1,2) ，(2,0)，(2,1) ，(2,2)，(3,0)，(3,1) ，(3,2)，其中第一个数表示 a 的取值，第二个数表示 b 的取值由 36a236(b24) 36a236b2 3640 ，得 a2b24.事件 A 要求 a， b 满足条件 a2b24，可知包含 6 个基本事件：(1,2)，(2,1) ，(2,2)，(3,0)，(3,1)，所以方程有两个不相同实根的
6、概率 P(A) .69 23(2)由题意，方程有实根的区域为图中阴影部分，故所求概率为：P(B) 1 .6 6 6总结提高 (1)求解古典概型问题的三个步骤判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求事件 A.分别计算基本事件的总数 n 和所求事件 A 所包含的基本事件的个数 m.利用古典概型的概率公式 P(A) 求出事件 A 的概率若直接求解比较困难，则可以利用mn间接的方法，如逆向思维，先求其对立事件的概率，进而再求所求事件的概率(2)几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验，如果一个随机试验有无限多个等可- 3 -能的基本结果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示，
7、而所有基本结果对应于一个区域 ，这时，与试验有关的问题即可利用几何概型来解决(3)几何概型的概率求解，一般要将问题转化为长度、面积或体积等几何问题在转化中，面积问题的求解常常用到线性规划知识，也就是用二元一次不等式(或其他简单不等式) 组表示区域几何概型的试验中事件 A 的概率 P(A)只与其所表示的区域的几何度量 (长度、面积或体积)有关，而与区域的位置和形状无关1从标有 1,2,3，7 的 7 个小球中取出一球，记下它上面的数字，放回后再取出一球，记下它上面的数字，然后把两数相加得和，则取得的两球上的数字之和大于 11 或者能被 4 整除的概率是_答案 16492已知实数 a，b 满足 E
8、rror!x1，x2 是关于 x 的方程 x22xba3 0 的两个实根，则不等式 00，f(1)n.x2m2 y2n2如图，由题意知，在矩形 ABCD 内任取一点 Q(m，n)，点 Q 落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线 mn 恰好将矩形平分，所求的概率为 P .129 (2013江苏)现有某类病毒记作 XmYn，其中正整数 m，n(m7，n9) 可以任意选取，则m，n 都取到奇数的概率为_- 6 -答案 2063解析 P .4579 206310平面内有一组平行线，且相邻平行线间的距离为 3 cm，把一枚半径为 1 cm 的硬币任意投掷在这个平面内，则硬币不与任何一条平行线相碰的概
9、率是_答案 13解析 如图所示，当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相碰，故所求概率为 .1311已知向量 a(2,1)，b (x，y) (1)若 x、y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子( 六个面的点数分别为 1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足 ab1 的概率；(2)若 x，y 在连续区间 1,6上取值，求满足 ab85%.78方法二 该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩至少一个为 A 的事件概率大于 85%.理由如下：该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩全不为 A 的事件有 1 种情况，即(， ， )，其概率为 ，则物理、化学、生物成绩至少一个为 A 的概率为W1W2 W318P21 85%.18 78
