1、12017 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题：18 小题，每小题 4分，共 32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的（1）若函数 在 处连续，则（ ）1cos,0()xfxab(A) (B) (C) (D)2ab2ab2ab（2）设函数 可导，且 则（ ）fx0fx(A) (B) 11f(C) (D)ff f（3）函数 在点 处沿向量 的方向导数为（ ）2,xyzz,20,2n(A)12 (B)6 (C)4 (D)2（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位:m ）处, 如下图中，实线表示甲的速度曲线 （单1vt位:m/s ）虚线表示乙的速
2、度曲线 ，三块阴影部分面积的数值依次为 10，20，3 ，计时开始后乙追上甲的2vt时刻记为 （单位:s）,则（ ）0t(A) (B) (C) (D)105t05t025t0512053()ts(/)vms（5）设 为 n 维单位列向量， E 为 n 阶单位矩阵，则（ ）(A) 不可逆 (B) 不可逆 TET(C) 不可逆 (D) 不可逆22（6）已知矩阵 ，则（ ）021A10B02C2(A) A 与 C 相似， B 与 C 相似 (B) A 与 C 相似，B 与 C 不相似 (C) A 与 C 不相似，B 与 C 相似 (D) A 与 C 不相似，B 与 C 不相似 （7）设 为随机事件，
3、若 ,则 的充分必要条件是（ ）,0()1,()PPABA. BPC. D. BA（8）设 来自总体 的简单随机样本，记 则下列结论中不正确的是：（ 12,.()nX(,1)N1niiX）(A) 服从 分布 (B) 服从 分布2()i21()nX(C) 服从 分布 (D) 服从 分布21niiX2 22二、填空题：914 小题，每小题 4分，共 24分。（9） 已知函数 ,则 _21()fx(3)0f（10 ）微分方程 的通解为 _y y（11 ）若曲线积分 在区域 内与路径无关，则 Lxdy122D,1xya（12 ）幂级数 在区间（-1,1）内的和函数 1n()Sx（13 ）设矩阵 ， 为
4、线性无关的 3 维列向量组，则向量组 的秩为02A123,123,A（14 ）设随机变量 X 的分布函数为 ，其中 为标准正态分布函数，则 EX=40.5.2xFxx三、解答题：1523 小题，共 94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（15 ）（本题满分 10 分）设函数 具有 2 阶连续偏导数， ,求 ，,fuv,xyfecos0dy x20 x3（16 ）（本题满分 10 分）求 21limlnnkk（17 ）（本题满分 10 分）已知函数 由方程 确定，求 得极值yx320yxyx（18 ）（本题满分 10 分）设函数 在 上具有 2 阶导数， ()fx0,10()(1),l
5、imxff证（1） 方程 在区间 至少存在一个根；(0,（2） 方程 在区间 内至少存在两个不同的实根.)(2xffx(,)（19 ）（本题满分 10 分）设薄片型物体 是圆锥面 被柱面 割下的有限部分，其上任一点弧度为S2Zxy2Zx。记圆锥与柱面的交线为 22(,)9uxyzxyzC（1）求 在 平面上的投影曲线的方程CO（2）求 的质量 SM（20 ）（本题满分 11 分）设三阶行列式 有 3 个不同的特征值，且 12(,)A312（1） 证明 )r4（2）如果 求方程组 的通解123Ax（21 ）（本题满分 11 分） 设二次型 ， 在正交变换 下的标准型为 求1322123132(,
6、)8fxxaxxxQy21y的值及一个正交矩阵 .aQ（22 ）（本题满分 11 分）设随机变量 X， Y 互独立，且 的概率分布为 ，Y 概率密度为 1P02X2,01yf其 他(1)求 (2)求 的概率密度PEZ（23 ）（本题满分 11 分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做 n 次测量，该物体的质量 是已知的，设 n 次测量结果 相互独立，且均服从正态分布 ，该工程师记录的是 n 次测量的绝对误差12,nx 2,N，利用 估计,iiz 12,nz(I)求 的概率密度1(II)利用一阶矩求 的矩估计量(III)求 的最大似然估计量52016 年全国硕士研究生入学统一考
7、试数学(一)试卷一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）若反常积分 收敛，则（ ）01badx11AabBCabDab且 且 且 且（2）已知函数 ，则 的一个原函数是（ ）21,lnxffx2 22 2, 1,l1ln, ,lnl1AFxBFxxxCD（3）若 是微分方程 的两个解，则 （ 22221,1yxyxypxqqx） 222231xABCDx（4）已知函数 ，则（ ）,011,xf nn（A） 是 的第一类间断点 （B） 是 的第二类间断点0xf 0xf（C） 在 处连续
8、但不可导 （D） 在 处可导ff（5）设 A，B 是可逆矩阵，且 A 与 B 相似，则下列结论错误的是（ ）（A） 与 相似 （B） 与 相似 T 1A（C） 与 相似 （D） 与 相似T 1B（6）设二次型 ，则 在空间直角坐标下表示2212313132, 44fxxxx23,fx的二次曲面为（ ）（A）单叶双曲面 （B）双叶双曲 （C）椭球面 （D）柱面（7）设随机变量 ，记 ，则（ ）0,2NX2XPp（A） 随着 的增加而增加 （B） 随着 的增加而增加p p（C） 随着 的增加而减少 （D） 随着 的增加而减少6（8）随机试验 有三种两两不相容的结果 ，且三种结果发生的概率均为 ，将
9、试验 独立重复做 2 次，E321,A31E表示 2 次试验中结果 发生的次数， 表示 2 次试验中结果 发生的次数，则 与 的相关系数为（ ）X1AY2XY（A） （B） （C） （D ）133二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）_cos1inlim20xdttx（10）向量场 的旋度zkxyjizzyA, _rotA（11）设函数 可微， 由方程 确定，则vuf,yzxfy,12_1,0dz（12）设函数 ，且 ，则21arctnxxf)0(f_a（13）行列式 _.04321（14）设 为来自总体 的简单随机样本，样本均值 ，参数
10、的置信度为 0.95 的双侧置12,.nx2,N9.5x信区间的置信上限为 10.8，则 的置信度为 0.95 的双侧置信区间为 _.三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分 10 分）已知平面区域 ，计算二重积分 .,21cos,2DrDxdy（16）（本题满分 10 分）设函数 满足方程 其中 .()yx02ky1k证明：反常积分 收敛；0()d若 ，求 的值.1)0(,)(y0()yxd7（17）（本题满分 10 分）设函数 满足 且 是从点 到点(,)fxy2(,)1),xyfxye(0,)1,t
11、fyL(0,)的光滑曲线，计算曲线积分 ，并求 的最小值(1,)t (,)(,()tLffIdy ()It（18）设有界区域 由平面 与三个坐标平面围成， 为 整个表面的外侧，计算曲面积分22zyxdzdyxI 312（19）（本题满分 10 分）已知函数 可导，且 ， ，设数列 满足()fx(0)1f1()2fxnx，证明：1()1,2.)nnxf（I）级数 绝对收敛；1nx（II） 存在，且 .limn0li2nx（20）（本题满分 11 分）设矩阵122,1AaBa当 为何值时，方程 无解、有唯一解、有无穷多解？aXB（21）（本题满分 11 分）已知矩阵0123A（I）求 9A8（II
12、）设 3 阶矩阵 满足 ，记 将 分别表示为 的线性组23(,)B2BA1023(,)123,123,合。（22）（本题满分 11 分）设二维随机变量 在区域 上服从均匀分布，令(,)XY2,01,Dxyxy1,0XYU（I）写出 的概率密度；(,)（II）问 与 是否相互独立？并说明理由；UX（III）求 的分布函数 .Z()Fz（23）设总体 的概率密度为 ，其中 为未知参数， 为来自总体X其 他,03,2xxf ，0321,X的简单随机样本，令 。321maXT（1）求 的概率密度T（2）确定 ，使得 为 的无偏估计aT92015 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题（1
13、）设函数 在 连续，其 2 阶导函数 的图形如下图所示，则曲线 的拐点个数为（ ()fx（ -,+） ()fx ()yfx）（A）0 （B）1 (C) 2 (D) 3（ ）213xx xye yabce（ ） 设 是 二 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 的 一 个 特 解 ，则 ： (A),1.B2C3,.(D)abc（ ）1 13(A)BC.(D) nn naxax 若 级 数 条 件 收 敛 ， 则 与 依 次 为 幂 级 数 的 ：收 敛 点 ， 收 敛 点 .收 敛 点 ， 发 散 点发 散 点 ， 收 敛 点发 散 点 ， 发 散 点（4）设 D 是第一象限中曲线
14、 与直线 围成的平面区域，函数 在 D 上连续，则21,4xy,3yx(,)fxy（ ）(,)fxyd（A） （B）13sin24(cos,in)frrd 1sin234(cos,in)frrd10(C) ( D) 13sin24(cos,in)dfrdr 1sin234(cos,in)frdr（5）设矩阵 ， ，若集合 ，则线性方程组 有无穷多个解的充分必要条21Aa21bd1,Axb件为（ ）（A） （B）,ad,ad（C） （D）（6）设二次型 在正交变换 下的标准形为 ，其中 ，若123(,)fxxPy2213y123(,)Pe，则 在正交变换 下的标准形为 （ ）132(,)Qe,Q（A） （B）3y2213y（C） （D）221 2（7）若 为任意两个随机事件，则（ ）,B（A） （B）()()PA()()PAB（C） （D）2P2P（ ）(8)X,Y2,1,3,2EXYEXY设 随 机 变 量 不 相 关 ， 且 则A3(B)3(C)5()5二、填空题（9） 20lncosim_.x（10） _.dx2|s1i（11）若函数由方程 确定，则 .+cos2xeyz(0,1)dz（12）设 是由平面 与三个坐标平面所围成的空间区域，则1 (23)xyzdx
