1、54第六章 量纲分析和相似原理答案6-1 由实验观测得知，如图 6-1 所示的三角形薄壁堰的流量 Q 与堰上水头 H、重力加速度 g、堰口角度 以及反映水舌收缩和堰口阻力情况等的流量系数 m0（量纲一的量）有关。试用 定理导出三角形堰的流量公式。解： 0,fQHgm选几何学的量 H，运动学的量 g 作为相互独立的物理量，有 3 个 项。， ，1a2abqp=30aHgmb=对 ，其量纲公式为1110-23-LTM()LT，:1:0解出 ， ，则可得15152QgH=对 ，其量纲公式为2220LTM()ab-，:0联立解上述方程组，可得 , , ，则可得2202q=对 ，其量纲公式为3330-2
2、LT()ab，:0联立解上述方程组，可得 , , ，则可得30330m=()123F,即 或052QgHq, 1052()QFmgHq=,01),(mF55式中， 要视堰口的实际角度而定，量纲一的量 要由实验来确定。0m第十章三角形薄壁堰的理论分析解 与上式形状相同。524tan5Qghq=6-2 根据观察、实验与理论分析，认为总流边界单位面积上的切应力 0，与流体的密度 、动力粘度 、断面平均流速 v，断面特性几何尺寸（例如管径 d、水力半径 R）及壁面粗糙凸出高度 有关。试用瑞利法求 0 的表示式； 若令沿程阻力系数 ，8(,)fed可得 。208v解： 35124kdarm=D将上式写成
3、量纲方程形式后得 35124- -110diMLT()LT)(L)(根据量纲和谐原理可得： 12:345:选 为参变量，联立解上述方程组可得： ， ，53、 1323。42将上面求得的指数代入指数乘积形式的关系式可得： 33351220kvd，又因 ,故335 53 32220 (,) vkkfRevdddv若令 ，代入上式可得8(,)fRe20v6-3 试用 定理求习题 6-2 中的 0 表示式。解： 0(,)fd选取 d、v、 为基本物理量，因此有三个 项110v2233先求 1，其量纲式为 111-2dimL(T)M(LT):012:56解上述方程组可得： ，所以有1112,0012v再
4、求 2，其量纲式为 2223-dim(L)T(M)LT):021:解上述方程组可得： ， ， ，所以有2122dvRe再求 3，其量纲式为 3331imL(T)M)L:03:解上述方程组可得： ， ， ，所以有03313d由此可得量纲一的量所表达的关系式为 021(,)FvRe或 ，或 02,fd20(,)fevdtrD=若令 ，则可得8(,)20v6-4 文丘里管喉道处的流速 v2 与文丘里管进口断面管径 d1、喉道直径 d2、流体密度、动力粘度 及两断面间压差 p 有关，试用 定理求文丘里管通过流量 Q 的表达式。解： 21(,)0fvdp选取 d2，v 2， 三个基本物理量，有三个 项。
5、题 6-4 图57112dv233p先求 1： 1L:0TM:解上述方程组可得： ， ， ，所以有101112d再求 2： 2L:03TM:1解上述方程组可得： ， ， ，所以有22122vdRe再求 3： 33L:01TM:解上述方程组可得： ， ， ，所以有3323032pv由此可得 122(,)0dFRerD=或 1(,)vfpd221,fe(,)gRd21=,eH221(,)4QvAegd上式与用伯努利方程推导的结果基本相同，上式中的 ，可由实验及理论分21(,)dRe58析进一步确定。6-5 根据对圆形孔口恒定出流（如图所示）的分析，影响孔口出口流速的因素有：孔口的作用水头 H（由孔
6、口中心到恒定自由液面处的水深） 、孔口的直径 d、液体的密度 、动力粘度 、重力加速度 g 及表面张力系数 。试用 定理求圆形孔口恒定出流流量表示式。解： (,)0fvd选取 H，v， 三个基本物理量，有四个 项。1122g3344v先求 1： 11L:0TM:解上述方程组可得： ， ，11011dH再求 2， 22L:03TM:解上述方程组可得： 221,02gHv再求 3， 33L:0T1M:解上述方程组可得： 333,13Hv再求 4， 44L:0T2M:1解上述方程组可得： 444,142Hv由此可得 22(,)0dgFv59或 22(,)vHvfgd上式中的 及 分别为雷诺数及韦伯数
7、的形式，所以可以写成(,)2vReWgd因流量 ，所以QA2(,)4HdHf=如果令 为孔口流量系数，则可得(,)Redmf24g由上式可知，Q 与 成比例，且流量系数与 、雷诺数 Re、韦伯数 We 有关，为深Hd入研究找到了途径。6-6 圆球在实际流体中作匀速直线运动所受阻力 FD 与流体的密度 、动力粘度 、圆球与流体的相对速度 u0、圆球的直径 d 有关。试用 定理求阻力 FD 的表示式。解： D(,)fF选取 d、u 0、 为基本物理量，有二个 项。11220先求 1 11L:3TM:0解上述方程组可得： ，所以有1112,D120Fdu再求 2， 22L:3TM:01解上述方程组得
8、： ，222,1,200duRe由此可得 D2()F，或200(4Dudfef60令圆球在 u0 方向的投影面积 ，而令绕流阻力系数 ，则有24AdD()CfRe20DFC上式中的绕流阻力系数 CD 与雷诺数 Re 有关，可以对此作进一步的研究。6-7 用 20的水作模型试验，确定管径为 1.2m 煤气管的压强损失。煤气的密度 为40kg/m3，动力粘度 为 0.0002 ，流速 为 25m/s。实验室供水能力是 0.075 。问Pasv 3m/s模型该用多大比尺？实验结果如何转换成原型的压强损失？解：可考虑按雷诺准则设计模型， 。Qln=流量比尺 Q，因受供水能力限制，需小于或等于 0.07
9、5 ，所以应为3m/s()2pm51.376.940=粘度比尺 ，20水的n 62m.01/s煤气的 ，所以p2./s5/40 65104.985.36.798.3Ql所以，可选取模型长度比尺 。注：也可按自模区设计模型，在满足几何相2.5l似的条件下，选取模型尺寸，使其在现有供水情况下进入阻力平方区。实验结果转换成原型的压强损失为 2mpplg6-8 有一管径 dp=15cm 的输油管，管长 lp5m ，管中通过的原油流量 Qp0.18m 3/s。现用水来作模型实验，设模型与原型管径相同，且两者流体温度皆为 10（水的运动粘度m=0.0131cm2/s，油的运动粘度 vm=0.13cm2/s
10、） ，试求模型中的通过流量 Qm。解：原型中的流速 p20.18/s=0.19/s75QA原型中的雷诺数 105p-4.9.3dRe=已进入自模区，只要使模型中的雷诺数 10 5，且原型和模型几何相似即可。mRe则 10 5，mv5410.310.873/s2m=.7.5=0.154/sQvA6-9 在习题 6-8 情况下，测得模型输水管长 lm5m 的两端压强水头差= =3cm。试求原型输油管长 lp100m 两端的压差高度（以油柱高度表示）是多少？hpg解：研究压差问题，须满足欧拉准则，即61pm22vrD=因 ，所以pdpQ22mp0.3184.0m()5g油 柱原型输油管长 lp100
11、m 的两端压强差为p14.()5油 柱6-10 有一直径 dp20cm 的输油管，输送运动粘度 p=4010-6m2/s 的油，其流量Qp=0.01m3/s。若在模型试验中采用直径 dm5cm 的圆管，试求：（1）模型中用 20的水（ m=1.00310-6m2/s）作实验时的流量；（2）模型中用运动粘度 m=1710-6m2/s 的空气作实验时的流量。解：按雷诺准则设计模型试验， ， ，lQpmn=pl（1）6p 3mp0.105/s42l 53.2710/s（2）63p.75/s.1m/426-11 一长为 3m 的模型船以 2m/s 的速度在淡水中拖曳时，测得阻力为 50N，试求：（1）
12、若原型船长 45m，以多大速度行驶才能与模型船动力相似；（2）当原型船以上面（1）中求得的速度在海中航行时，所需要的拖曳力（海水密度为淡水的 1.025 倍） 。该流动雷诺数很大，不需考虑粘滞力相似，仅考虑重力相似。解：按弗劳德准则设计模型试验。（1）1/21/2pm45ms7.5/s3vl=（2）p3ppp3mmFvlMatlt2/1/3lll 拖曳力 33pm45.00N172.9kFl6-12 建筑物模型在风速为 10m/s 时，迎风面压强为 50N/m2，背风面压强为30N/m 2。若气温不变，风速增至 15m/s 时，试求建筑物迎风面与背风面压强（可用欧拉准则） 。解：按欧拉准则计算
13、 pm22vr=由于温度不变 ，所以pr622mppv=迎风面压强 1 22p50N/1.5/m=背风面压强 23/67./6-13 水库以长度比尺 l=100 做底孔放空模型试验，在模型上测得的放空时间 tm12 小时，试求原型上放空水库所需时间 tp（可用斯特劳哈尔准则和弗劳德准则） 。解：按弗劳德准则和斯特劳哈尔准则计算。按斯特劳哈尔准则计算： pmvl=11-p-1m22lvllltttt=1205小 时 小 时 天按弗劳德准则： pm10tl=小时=5 天022=小 时6-14 在设计高为 1.5m，最大行驶速度为 30m/s 的汽车时，需要确定其正面风阻力，现用风洞进行模型试验来测
14、定。如果风洞中最大风速为 45m/s，试求模型高度应为多少？若在此风速下测得模型的风阻力为 1500N，试求汽车在最大行驶速度时，其正面风阻力应为多少 ？解：按雷诺准则计算，设温度相同， ，所以有1,1Flv1pmmpvh-=所以汽车模型高度 ，30.514v=其风阻力 p10NF615 某废水稳定塘模型长 10m，宽 2m，深 0.2m，模型的水力停留时间为 1 天，长度比尺 l=10，试求原型的停留时间是多少天。塘中水的运动粘度 p=m=1.00310-6m2/s。解：先求模型中的雷诺数以判别流态。模型流速 m/s124360lvt41.570/s-=模型水力半径 .R=+模型雷诺数4m cr6.e 7.92Re01.03vn-=为流动极慢的层流，故可按雷诺准则设计模型。时间比尺 ，原型塘停10tl留时间 。p10tt=天 天616 某弧形闸门下出流，如图所示。现按 l=10 的比尺进行模型试验。试求：（ 1）已知原型流量 Qp30m 3/s，计算模型流量 Qm；（2）在模型上测得水对闸门的作用力Fm 400N，计算原型上闸门所受作用力 Fp。63解：按弗劳德准则求解， ，所以52Ql=3Flp 3.52.0m/s.94/s1ml =3p4NkF
