1、概率论与数理统计（复旦第三版）习题五 答案1.一颗骰子连续掷 4 次，点数总和记为 .估计 P101050.3485. 有一批建筑房屋用的木柱，其中 80%的长度不小于 3m.现从这批木柱中随机地取出 100 根，问其中至少有 30 根短于 3m 的概率是多少？【解】设 100 根中有 X 根短于 3m，则 XB（100，0.2）.由棣莫弗拉普拉斯定理得 30301301()(1).22.5.68XnpnpPXPXP6. 某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为 0.8.医院检验员任意抽查 100 个服用此药品的病人，如果其中多于 75 人治愈，就接受这一断言，否则就拒
2、绝这一断言.（1） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是 0.8，问 接受这一断言的概率是多少？（2） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是 0.7，问 接受这一断言的概率是多少？【解】设 ，则 相互独1,1,200.iiXi第 人 治 愈其 他 1210,X立且服从相同的 分布，因此 ()1(,)iiXBp(1)当 时， ，由 棣莫弗拉普拉斯定理得0.8p10,.8)XB10 750.8757512iiPP (.2)(.).94(2) 当 时， ，由棣莫弗拉普拉斯定理得0.7p10,.7XB1 10.7510.75533.1()(.9).0732ii XPPP 7. 用拉普拉斯中心极限定理近似计
3、算从一批废品率为 0.05 的产品中，任取 1000 件，其中有 20 件废品的概率.【解】设 1000 件中废品数为 X，则， ， ，0.8p10n(10,.5)BE(X)=50，D(X)=47.5.由拉普拉斯局部极限定理得 1205130206.89.547.P634.21()xxe注 ：8. 设有 30 个电子器件.它们的使用寿命 服从参数1230,T（单位： ）的指数分布，其使用情况是第一个损坏第0.11h二个立即使用，以此类推.令 T 为 30 个器件使用的总计时间，求 T 超过 350 小时的概率 .【解】根据题意可知 1()0,.iE21()0,iDT且 ，故301i()103,
4、T()30.T根据独立同分布的中心极限定理得 3505111(0.93).1843PTP9. 上题中的电子器件若每件为 a 元，那么在年计划中一年至少需多少元才能以 95%的概率保证够用（假定一年有 306 个工作日，每个工作日为 8 小时）.【解】设一年中至少需要 n 件电子器件，则 E(Ti)=10，D(T i)=100， ， 1()0iET1()0niD根据独立同分布的中心极限定理得 11 0368103068.95nini TnPTP即 0.51n故 024824.8.95,1.6,27.1nnn所以年计划中一年至少需要 272a 元.10. 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是
5、一个随机变量，设一个学生无家长、1 名家长、2 名家长来参加会议的概率分别为 0.05，0.8，0.15. 若 学校共有 400 名学生，设 各学生参加会议的家长数相与独立，且服从同一分布.（1）求参加会议的家长数 X 超过 450 的概率？（2）求有 1 名家长来参加会议的学生数不多于 340 的概率.【解】 （1） 以 记第 i 个学生来参加会议的家长数.则(,240)iXXi的分布律为Xi 0 1 2P 0.05 0.8 0.15易知 E（X i=1.1）, D(Xi)=0.19, i=1,2,400.而 ,由独立同分布的中心极限定理得40i401.401.(0,).99iXN近 似 地
6、于是 541.45059PP1(.47)0.13(2) 以 记有一名家长来参加会议的学生数.则 YB(400,0.8) 由拉普Y拉斯中心极限定理得 40.8340.834022.(.5)9.YP11. 设男孩出生率为 0.515，求在 10000 个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率？【解】用 X 表 10000 个婴儿中男孩的个数，则XB（10000，0.515） .要求女孩个数不少于男孩个数的概率，即求 PX5000. 由 棣莫弗拉普拉斯定理得 10.5010.5504848.(3)().3.15XPX 12. 设有 1000 个人独立行动，每个人能够按时进入掩蔽体的概率为0.9.以 95%概
7、率估计，在一次行动中：（1）至少有多少个人能够按时进入掩蔽体？（2）至多有多少个人能够按时进入掩蔽体？【解】引入新变量 ，1, 1,200.iiXi 第 人其 按 时 进 入 掩他 蔽 体 ,则 相互独立，且服从相同的 分布。1210,X (0)记 ，则1210 (1,.9B(1) 设 至少有 m 人能够按时进入掩蔽体，要求 PmX0.95， 由棣莫弗拉普拉斯定理知： 10.910.5PmXm从而 .,90故 1.65,所以 m=900-15.65=884.35884人(2) 设至多有 M 人能进入掩蔽体，要求 PXM0.95.9090 .5XP查表知 =1.65, M=900+15.65=9
8、15.65916人.9013. 在一定保险公司里有 10000 人参加保险，每人每年付 12 元保险费，在一年内一个人死亡的概率为 0.006,死亡者其家属可向保险公司领得 1000 元赔偿费.求：（1）保险公司没有利润的概率为多大；（2）保险公司一年的利润不少于 60000 元的概率为多大？【解】设 X 为在一年中参加保险者的死亡人数，则XB（10000，0.006） .(1) 公司没有利润当且仅当“1000 X=1000012”即“X=120”.由拉普拉斯局部极限定理可知，所求概率为 1120.061200.6.9494PX21(60/59.4)230.18 e5. 25.7eA(2) 因
9、为 “公司利润 60000”当且仅当“0X60”， 由棣莫弗拉普拉斯定理可知，所求概率为 601.0601.0609494PX().5.614. 设随机变量 和 的数学期望都是 2，方差分别为 1 和 4，而相XY关系数为 0.5 试根据契比雪夫不等式给出 P|X-Y|6的估计. （2001 研考）【解】令 Z=X-Y，有()0,()()2()3.XPEDXYDYDYA所以 2()31|()|6|6.62PZP15. 某保险公司多年统计资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占 20%，以 X 表示在随机抽查的 100 个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数.（1） 写出 X 的概率分布；（2） 利用
10、中心极限定理，求被盗索赔户不少于 14 户且不多于30 户的概率近似值.（1988 研考）【解】 （1）每一次抽查看作一次试验，100 次随机抽查看作 100 重伯努利试验。而在每次试验中被盗户出现的概率是 0.2，因此，XB (100,0.2)，故 X 的概率分布是1010C.28,210.kkP(2)由棣莫弗拉普拉斯定理可知，所求概率为 4.3.21430 10281028108.4.XX(2.5)(.)9.3.9716. 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的.假设每箱平均重 50 千克，标准差为 5 千克，若用最大载重量为 5 吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于 0.977.【解】设各箱的重量为 Xi（i=1,2,n） （单位：千克） ，n 为所求的箱数。 可视为独立同分布的随机变量，而 n 箱的总12,n
