1、1概率论与数理统计习题第二章 随机变量及其分布习题 2-1 一袋中装有 5 只球，编号为 1，2，3，4，5.在袋中同时取 3 只，以 表示X取出的 3 只球中的最大号码，写出 随机变量的分布律.X解：X 可以取值 3，4，5，分布律为106)4,321,5()5( 3,44 10)2,1,()( 3524352 CPXC中 任 取 两 球再 在号一 球 为 中 任 取 两 球再 在号一 球 为 号两 球 为号一 球 为也可列为下表X： 3， 4，5P： 106,习题 2-2 进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为 ，失败的概率为pp1.)10(p（1）将试验进行到出现一次成功为止，以 表示
2、所需的试验次数，求 的分布律.（此时XX称 服从以 为参数的几何分布 .）X（2）将试验进行到出现 次成功为止，以 表示所需的试验次数，求 的分布律.（此时rYY称 服从以 为参数的巴斯卡分布.）Ypr,（3）一篮球运动员的投篮命中率为 .以 表示他首次投中时累计已投篮的次数，写%45出 的分布律，并计算 取偶数的概率.X解：（1）P ( X=k)=qk 1p k=1,2,（2）Y=r+n=最后一次实验前 r+n 1 次有 n 次失败，且最后一次成功 其中 q=1p，,2,0,)(1 pqCnrYrnrrnr或记 r+n=k，则 PY=k= )(rkk（3）P ( X=k) = (0.55)k
3、 10.45 k=1,2P (X 取偶数)= 3145.0).()2(1121 kkkX习题 2-3 一房间有同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了房间，它只能从开着的窗子飞出去。鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间。假定鸟是没有记忆的，鸟飞向各窗子是随机的。 （1）以 表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求X的分布律。 （2）户主声称，他养的一只鸟是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一X次。以 表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数，如户主所说是确实的，试求 的分Y Y2布律。解：（1）X 的可能取值为 1，2，3，n，P X=n=P 前 n 1 次飞向了另 2 扇窗子，第
4、 n 次飞了出去 = ， n=1，2， )3(（2）Y 的可能取值为 1，2，3P Y=1=P 第 1 次飞了出去= 3P Y=2=P 第 1 次飞向 另 2 扇窗子中的一扇，第 2 次飞了出去= 32P Y=3=P 第 1，2 次飞向了另 2 扇窗子，第 3 次飞了出去= !习题 2-4 设事件 在每一次试验中发生的概率为 ，当 发生不少于 3 次时，指示A.0A灯发出信号.（1）进行了 5 次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率；（2）进行了 7 次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率.习题 2-5 甲、乙两人投篮，投中的概率分别为 .今各投 3 次. 70,6求（1）两人投中次数相等的概
5、率；（2）甲比乙投中次数多的概率.记 X 表甲三次投篮中投中的次数Y 表乙三次投篮中投中的次数由于甲、乙每次投篮独立，且彼此投篮也独立。P (X=Y)=P (X=0, Y=0)+P (X=2, Y=2)+P (X=3, Y=3)= P (X=0) P (Y=0)+ P (X=1) P (Y=1)+ P (X=2) P (Y=2)+ P (X=3) P (Y=3)= (0.4)3 (0.3)3+ )3.07)4.0621321 CC2 6(.().( 7033（2）甲比乙投中次数多的概率。P (XY)=P (X=1, Y=0)+P (X=2, Y=0)+P (X=2, Y=1)+P (X=3)
6、P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)=P (X=1) P (Y=0) + P (X=2, Y=0)+ P (X=2, Y=1)+P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)= 823213 )3.04.)6.0).0)4.60 CC12 723.(.(.(.)7223习题 2-6 有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各 4 杯.如果从中挑 4 杯，能将甲种酒全部挑出来，算是试验成功一次.（1）某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率是多少？（2）某人声称他通过品尝能区分两种酒.他连续试验 10
7、次，成功 3 次.试推断他是猜对的，还是他确有区分的能力（设各次试验是相互独立的）.解：（1）P ( 一次成功 )= 70148C（2）P (连续试验 10 次，成功 3 次)= 。此概率太小，按实际103)769(310推断原理，就认为他确有区分能力。习题 2-7 一电话交换台每分钟收到呼唤的次数服从参数为 4 的泊松分布，求：（1）某一分钟恰有 8 次呼唤的概率；（2）某一分钟的呼唤次数大于 3 的次数。（1）每分钟恰有 8 次呼唤的概率法一： （直接计算）0297.!4)(8eXP法二： P ( X= 8 )= P (X 8)P (X 9) （查 = 4 泊松分布表） 。= 0.0511
8、340.021363=0.029771（2）每分钟的呼唤次数大于 10 的概率。 P (X10)=P (X 11)=0.002840（查表计算）习题 2-8 以 表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达等待的时间（以分计） ， 的分布函数是 求下述概率：（ 1） ；X.0,1)(4.xexFX 分 钟至 多 3P（2） ；分 钟至 少 4P（3） ；（4） ；（5）分 钟 之 间分 钟 至 分 钟分 钟 或 至 少至 多 43P4。分 钟恰 好 5.2P解：（1）P 至多 3 分钟= P X3 = 2.1)3(eF（2）P 至少 4 分钟 P (X 4) = 6.41X（3）P3 分钟至
9、4 分钟之间 = P 32)=1P (| X|3)=1P ( X3)=1 =10.5=0.523（2）决定 C 使得 P (X C )=P (XC) P (X C )=1P ( XC )= P (XC)得 P (XC )= =0.521又 P (XC )= C =3023,5.03查 表 可 得6习题 2-12 某地区 18 岁的女青年的血压（收缩压，以 计）服从 .在该Hgm)12,0(N地区任选一 18 岁的女青年，测量她的血压 .（1）求 ；X,105PX（2）确定最小的 ，使x05.xP1）P (X105)，P (100x) 0.05.解: 384.061.)417.0()4167.0
10、()105()() 592.2)83.(21)65( 50 .74129.74129.10.645120 50)(0)( Xxx xXP故 最 小 的查 表 得习题 2-13 一工厂生产的电子管的寿命 （以小时计）服从参数为 的正X,60态分布，若要求 ，允许 最大为多少？80.210XP P (120X200)= 80.4016216 又对标准正态分布有 (x)=1( x) 上式变为 80.4140解出 9.:便 得再查表，得 25.318.4021.40习题 2-14 设随机变量 的分布律为X-2 -1 0 1 3kp51650求 的分布律.2XY解; Y=X 2：(2) 2 (1) 2
11、(0)2 (1)2 (3)2P： 516151307再把 X 2 的取值相同的合并，并按从小到大排列，就得函数 Y 的分布律为： Y： 0 1 4 9P： 565301习题 2-15 设随机变量 在 上服从均匀分布.X),(（1）求 的概率密度；eY（2）求 的概率密度.ln2（1）求 Y=eX 的分布密度 X 的分布密度为： 为 其 他xf01)(Y=g (X) =eX 是单调增函数又 X=h (Y)=lnY，反函数存在且 = ming (0), g (1)=min(1, e)=1maxg (0), g (1)=max(1, e)= e Y 的分布密度为： 为 其 他yeyhfy01|)(|
12、)(（2）求 Y= 2lnX 的概率密度。 Y= g (X)= 2lnX 是单调减函数又 反函数存在。)Yeh且 = ming (0), g (1)=min(+, 0 )=0=maxg (0), g (1)=max(+, 0 )= + Y 的分布密度为： 为 其 他yeyhfyyy00211|)(|)(习题 2-16 设 ，)1,0(NX（1） 求 的概率密度；eY（2） 求 的概率密度；2（3） 求 的概率密度 .|（1）求 Y=eX 的概率密度8 X 的概率密度是 xexfx,21)(2Y= g (X)=eX 是单调增函数又 X= h (Y ) = lnY 反函数存在且 = ming ()
13、, g (+)=min(0, +)=0 = maxg (), g (+)= max(0, +)= + Y 的分布密度为： 为 其 他yeyhfyy00121|)(|)( )(ln2（2）求 Y=2X2+1 的概率密度。在这里，Y=2X 2+1 在(+，)不是单调函数，没有一般的结论可用。设 Y 的分布函数是 FY（y ） ，则 FY ( y)=P (Yy)=P (2X 2+1y)= 11当 y1 时，( y)= FY ( y) =212yxde= 41)(2ye（3）求 Y=| X |的概率密度。 Y 的分布函数为 FY ( y)=P (Yy )=P ( | X |y)当 y0 时：( y)=
14、 FY ( y) = 221yyxede习题 2-17 设随机变量 的概率密度为X其 它,0,)(2xxf求 的概率密度.XYsin解： FY ( y)=P (Y y)= P (sinX y)当 y0 时：F Y ( y)=0当 0 y 1 时：F Y ( y) = P (sinX y) = P (0 X arc sin y 或 arc sin y X )= ydxdxarcsin2arcsin02当 1y 时：F Y ( y)=1 Y 的概率密度 ( y )为：y 0 时，( y )= F Y ( y) = (0 ) = 00y1 时， ( y )= FY ( y) =yydxdxarcsin2arcsin02= 21y1 y 时，( y )= F Y ( y) = = 0)
