1、概率论与数理统计课程第二章练习题及解答一、判断题（在每题后的括号中 对的打“”错的打“” ） 1、连续型随机变量 X 的概率密度函数 也一定是连续函数 （）)(xf2、随机变量 X 是定义在样本空间 S 上的实值单值函数 （）3、取值是有限个或可列无限多个的随机变量为离散随机变量 （）4、离散型随机变量 X 的分布律就是 X 的取值和 X 取值的概率 （）5、随机变量 X 的分布函数 表示随机变量 X 取值不超过 x 的累积概率()Fx（）6、一个随机变量，如果它不是离散型的那一定是连续型的 （）7、我们将随机变量分成离散型和连续型两类 （）8、若 成立，则 相互独立 ()()(PABCPC,
2、ABC（）9、若 相互独立，则必有 , ()()(P（）二、单选题1、设 是随机变量，且123,X 22123(0,)(0,)(5,)XNXN，则（ A ）)(,23)i iPA B. C. D. 1231P321P132P2、设随机变量 ，其分布函数为 ，则随机变量 的(0,)XN()xmin,0YX分布函数 为（ D ）()FyA、 B、1,0()()yFy1,0()()yFyC、 D、,()()0y,()()0y3、设随机变量 的密度函数为 ，且 ， 是 的分布函数，X()xxFxX则对任意实数 ，有（ B ）aA、 B、0()1()aFd 01()()2adC、 D、 F分析 ()()
3、()()a aaxdttdxd 令 00012()axF（ -） +，选 B0()()aFxd4、设 与 分别为随机变量 与 的分布函数，为使1x（ ） 2（ ） 1X2是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应ab（ ） =（ ） -（ ）取（ A ）A、 B、325， 23ab，C、 D、1ab， 1，分析 根据分布函数的性质 ，limxF（ ）即 121lixFabab（ ） =（ +） （ ） -（ +） =-在给的四个选项中只有 A 满足 ，选 A5、设 和 是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为1X2和 ，分布函数分别为 和 ，则（ D ）fx（ ） f（
4、 ） 1Fx（ ） 2（ ）A、 必为某一随机变量的概率密度12fx（ ） +（ ）B、 必为某一随机变量的概率密度（ ） （ ）C、 必为某一随机变量的分布密度12Fx（ ） （ ）D、 必为某一随机变量的分布密度（ ） （ ）分析 首先可否定选项 A 与 C，因为 1212 1fxdfxfxd（ ） +（ ） （ ） （ ）1F（ ） （ ） =对于选项 B，若 ， ，则对任何 1xfx， -（ ） 0， 其 它 20xf， （ ） =， 其 它，也应否定 C。选 D1212(,), 1xffd（ ） （ ） （ ） （ ）进一步分析可知，若令 ，而 ，则 的(,)Xmax1,2iiXfx
5、:（ ） X分布函数 恰是 ，因为Fx（ ） 12F（ ） （ ） 121212(,),PxxPxXF（ ） =（ ） （ ）6、设随机变量 与 均服从正态分布 ，记Y22(,4)(,5)XNY:，则（ A ）124,5pPpPA、对任何实数 都有 B、对任何实数 都有12 12pC、只有 的个别值，才有 D、对任何实数 都有p分析 1 44(1),XpP2 55YY因此，对任何实数 都有 。选 A12p7、设随机变量 服从正态分布 ，则随 的增大，概率X(,)XN:（ C ）PA、单调增大 B、单调减少 C、保持不变 D、增减不定分析 由于 ，故 ，2(,)XN:(0,1)XN:1()XPX
6、P计算看出概率 的值与 的大小无关。选 C8、设随机变量 服从正态分布 ，对给定的 ，数 满足(0,1)XN:(01)z。若 ，则 等于（ C ）PXzPxxA、 B、 C、 D、212z12z1z分析 由于 ，故对任何正数 ，(0,)N:0有 ，PXPX若 ，则因 ，必有 且x1x1 1()2222PXx由此可见 。选 C1xz9、假设随机变量 服从指数分布，则随机变量 的分布函数（ D X,Ymin）A、是连续函数 B、至少有两个间断点 C、是阶梯函数 D、恰好有一个间断点分析 设 的分布函数为 ， 的概率密度函数为Y()YFyX1,0()()xef由于 ，因此,2YminX0,(),12
7、,yYFyPie因为 ，所以 的分布函数为 恰好有一个222(),()1YYyylimFliFeY()YFy间断点 。选 D三、填空题1、在区间(0,1)中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于 的概率为135/92、设随机变量 的分布函数为 ，则 的概X0,1.4()8,3xFxPXxX率分布为（ ）分析 在 的分布函数 的各间断点处，有()x()0)PXxPXFx则 ， ，1()10.4F1()10).4PXF，因此 的概率分布为3()30.2X-1 1 3P0.4 0.4 0.23、设随机变量 概率密度为 ，若 使得 ，,0()2936,xfx其 它 k23PXk则 的取值范围是（
8、）k分析 当 时，11102()3PXPXfxdx当 时，3k3101()f当 时，1 3230kkPXdxPX故 的取值范围是 。k313或 者 ，4、设随机变量 概率密度为 ，以 表示对 的三次独立X201(),xf， 其 它 YX重复观察中事件 出现的次数，则 （ ）12P分析 由于 ，故 ，04Pxd1(3,)4YB:于是 239()6YC5、设随机变量 服从参数为 的二项分布，设随机变量 服从参数为X,pY的二项分布，若 ，则 （ ）(3,)p519P1PY分析 因为 ，又0222()1()XCpp519PX解方程 ，得 ，25()9p13p因此 03332191()1()()7YP
9、Cp6、离散型随机变量是从（取值）角度定义的，连续型随机变量是从（概率）角度定义的。四、计算题1、 （1）一袋中有 5 只乒乓球，编号为 1、2、3、4、5，在其中同时取三只，以X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量 X 的分布律（2）将骰子抛掷两次，以 X 表示两次中得到的小的点数。求 X 的分布律。解：(1) X 的可能取值为 3，4，5;X 的分布律为X 3 4 5P 1p23p， ，10351CPp10352CX10653243CXP。(2)设 分别表示第一、二次掷出的点数，样本空间为 21,y， 的可能取值为6,21;6),(21 yS ),min(21yX1，2，3，4，5
10、，6。X 的分布律为 。6,5432,1,361kkXP事件 发生，当且仅当 且 共有 6-k 种ky1 ,2k情况； 且 共有 6-k 种情况； 且 仅一y2 ,2,1y12种情况，之一发生，因此事件 包含 6-k+6-k+1 个样本点。X2、一大楼装有 5 个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻 t 每个设备使用的概率为 0.1，问在同一时刻，（1）恰有 2 个设备被使用的概率是多少？（2）至少有 3 个设备被使用的概率是多少？（3）至多有 3 个设备被使用的概率是多少？（4）至少有一个设备被使用的概率是多少？解：以 X 表示同一时刻被使用的设备个数，则 b(5,0.1)，X（1） 072
11、9.)1.(.02325CP（2） 543PX086.1.)(.).(1.525 （3） 954.14 PX（4） 95.).0(153、甲、乙二人投篮，投中的概率各为 0.6, 0.7，今各投三次。求（1）二人投中次数相等的概率。（2）甲比乙投中次数多的概率。解：设 X，Y 分别表示甲、乙投中的次数，则Xb(3,0.6)，Yb(3,0.7)（1） 3030 )()(ii iYPiXYiXP321.7.6).1(7.)6.1(. )(32323 12CC4、某公安局在长度为 t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数为 X 服从参数为（1/2）t 的泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时为记）
12、 。（1）求某天中午 12 时至下午 3 时未收到紧急呼救的概率。（2）求某天中午 12 时至下午 5 时至少收到 1 次紧急呼救的概率。解：由题知，X ，且 ，)2(t2t,210,!kekXP（1） ，所求概率为 ；3t 31.03eXP（2） ，所求概率为 。5 917.0125e5、在区间0，a上任意投掷一个质点，以 X 表示这个质点的坐标。设这个质点落在0，a中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例。试求 X的分布函数。解：X 的分布函数为 ，)(xPxF（1）当 时， ； 0x0X由题知 是常数，为了确定 ，kxP,k取 ，得 ，因此，axaa1,0（2）当 时， ；xXPx
13、F)(（3）当 时， ；xa1于是 。xaXPF,10/,)(6、以 X 表示某商店从早晨开始营业起直到第一顾客到达的等待时间（以分计） ，X 的分布函数是 00,1)(4.xexFX求下述概率：（1） P至多 3 分钟；（2） P 至少 4 分钟；（3） P3 分钟至 4 分钟之间；（4） P至多 3 分钟或至少 4 分钟；（5） P恰好 2.5 分钟。解：（1） P至多 3 分钟= ；2.1)(eFXX（2） P 至少 4 分钟= ；6.1)4(1141 eFXPXX（3） P3 分钟至 4 分钟之间= ；6.12.)3(3 X（4） P至多 3 分钟或至少 4 分钟= ；6.12.4)(
14、)( ePX（5） P恰好 2.5 分钟= 。05.27、设随机变量 的概率密度 为fx（ ）（1） 其 它021,)(2)(xf（2）其 他 212)(xxf求 X 的分布函数 F (x)，并作出（2）中的 f (x)与 F (x)的图形。解：（1） X 的分布函数为xxxddxfxPxFx2,121,4,0, 21)(2,0)()( 1（2） X 的分布函数为xxxxddxxfXPxF2,121,0, 2,121,)(0,)()(2 108、设 K 在（0，5）上服从均匀分布，求方程 有实根的概率.0242Kx解：方程有实根，即有 ，)()4(2K解得 ，由题知，KU(0，5),1,2或且 ,方程有实根的概率为其 他,05)(xxfK.531)()( 2125dxxfdxf KPPKK9、设 X N（3，2 2）（1）求 P 22 ，P X3（2）决定 c 使得 P X c =P X c 。（3）设 d 满足 P X d 0.9，问 d 至少为多少？解：因为 X N（3，2 2）（1） ；5328.0691.843.0)5(1)(5.0()()2(3 ；.2).()(.3().()4()(214 XPXP；697.038.1695.0)(1)5.0().2()5.0(1)2()(
