概率论第二版第3章习题答案讲解.doc

1、习 题 3.11 在 10 件产品中有 2 件一等品，7 件二等品和 1 件次品从这 10 件产品中任意抽取 3 件，用 X 表示其中的一等品数，Y 表示其中的二等品数，求的分布列(,)XY解 X 的可能取值为 0，1，2；Y 的可能取值为 0， 1，2，3，因此的可能取值为 ，且有,(,):,;0,123ijj， ，21730(0,CP 37105(,)CPXY， ，127304(,)XY 273104(,)， 2130(,)CP27310(,)CPXY由此， 的分布列可以由下表给出,XYY X0 1 2 30120 0 21/120 35/1200 14/120 42/120 01/120

2、 7/120 0 04 设 的密度函数为 ，求 (,)XYe(,)yxfx .(1)PXY解 1 12 2010eddexyyxP5 设 的密度函数为 ，(,)XY, 4,0 (,)Ayxf . 求：(1)常数 A；(2) 1,P 解 （1）由联合密度函数的性质 ，有(,)d1fxy，得 40dxy32A（2） 101,0431(1,)dd264xxyxPXYyy 10 袋中有 2 只白球和 3 只黑球，从中连取两次，每次取一只 定义下列随机变量：1, 0X第 一 次 取 到 白 球 ；第 一 次 取 到 黑 球 .1, 0Y第 二 次 取 到 白 球 ；第 二 次 取 到 黑 球 .分别就有

3、放回抽取和无放回抽取两种情形，求：(1) 的联合分布列；(2) 两(,)X次摸到同样颜色球的概率解 （1）有放回抽样：由事件的独立性条件得 的联合分布列为,Y， ，39(0,)52PXY326(0,1)5P， 64X如下表两次摸到同样颜色球的概率为9413(0,)(1,)25PXYPXY（2）无放回抽样：由乘法定理得 的联合分布列为(,， ，326(,)540 6)420， 10PXY1(,5PXY如下表两次摸到同样颜色球的概率为(0,)(1,)0.31.4PXYPXYX Y 0 1019/25 6/256/25 4/25X Y 0 1010.3 0.30.3 0.1习 题 3.22 已知 的

4、联合分布函数为(,)XY，()1e0, 0xyxyFxy .求：（1）边缘分布函数；（2）联合密度函数及边缘密度函数；（3）判断与 的独立性XY解 （1） 1e,(0( )lim(,)XyxFxxYxy即有 ， e,0;().X 1e,0;().yYF（2）(2)(,e,0,;)(,)xyFfxy其 它 .()00ded, ,)d(0xyxxX yfxf()e()()yyYyy故 ， e,;0.xXf e,;()0.yYf（3）由于 ，所以 相互独立(,)()XYfyfy,X3 一个盒子中有三只乒乓球，一只白色，两只黄色，现从袋中有放回的任取两次，每次取一只，以 X，Y 分别表示第一次、第二次

5、取到球的颜色求：（1）X 和 Y 的联合分布列；（ 2）X 和 Y 的边缘分布列；（3）判断 X 和 Y 的独立性解 定义下列随机变量：1, 2X第 一 次 取 到 白 球 ;第 一 次 取 到 黄 球 .1, 2Y第 二 次 取 到 白 球 ;第 二 次 取 到 黄 球 .（1）在有放回取球条件下， ，1(,)39PY(,)39PX， 21(,)39PXY24(,)39PXY（2）边缘分布列（3）由于 ，所以 相,12;,PXiYjPXiYjij,XY互独立5 随机变量 在区域 上服从均匀分布，求(,)(,)|,xyabcyd的联合密度函数与边缘密度函数，判断随机变量 是否独立(,)XY ,

6、XY解 区域 的面积为 ，(,)|,xyabcyd()DSac所以 的联合密度函数(,)1,;()(,)axbcydbdcfxy0 .X 和 Y 的边缘密度函数 11()(,)dd,()()cfxfyyaxbbab()(,) ,()()Y afyfxxcyd故 ， ,1 ;()Xabfxb0 . ,1 ;()Yfyd0 .由于 ，所以 独立(,)()XYfyfxy,XYX .1 2 121/9 2/9 2/9 4/9 X 1 2 P 1/3 2/3 Y 1 2 P 1/3 2/3 8 甲、乙两人各自独立进行两次射击，命中率分别为 0.2，0.5，求甲、乙命中次数 X 与 Y 的联合概率分布解

7、依题意， ，据公式(2,0.)(2,0.5)XbYb可算得 X 和 Y 的概率分布分别为()(1)knknPCp， 02.64.3.04X1.250.由 X 和 Y 的独立性可得 X 和 Y 的联合概率分布为习 题 3.31. （1） ；max(,)01234.5.0.1MXYP；in(,)0.4.3.4.8（2） .12567.75.90.27.1048mP5. 设随机变量（X,Y）的密度函数为 3,(,) xyxfy其 它 .， ；，求 （修改后的题）12().P解 12(,)xyXYfdxy11022913386+xxYX .0 1 20120.16 0.32 0.160.08 0.16

8、 0.080.01 0.02 0.016. 设随机变量 X 与 Y 独立，它们的概率密度分别为201() Xxf其 它 .， ；， 201() Yyf其 它 .， ；，求 （修改后的题）.PY解 因为 X 与 Y 独立，所以（X,Y）的密度函数为 401,(,)() Yxyyfxyf 其 它 .， ；，1()(,)xyPXYfd112001()6-xdxd习 题 3.42 设 与 的联合密度为 ， 求XY()e0,(,) xyf . 及 ()P()E解 （1）设 D 为 所围区域，则0,YX() 220001()edededexyxyxxXY（2） ()0()xyEf00ed1xy4 设 且

9、，求：（1） 与 的联合概(1)Y,(,2).kYkX 1X2率分布；（2） 12E解 （1） ，e0(),. yYf1,1YX20,2.Y有四个可能取值： ，且由题意，有12(,)X(),(,)，1112 0(0,)(1,2)()edyPXPYPY ，21212 1(,)(,)()eey 212dPXPYPY与 的联合概率分布为12（2） 的概率分布为 12X12120()eeX故 112()0(e)eE5 设随机变量 X 和 Y 的联合分布在以点(0,1)、(1,0)、(1,1)为顶点的三角形区域 D 上服从均匀分布，求随机变量 的方差 UXY解 方法 1X 和 Y 的联合密度函数为 2,

10、 ();(,)0xyDfxy . ，10()(,)dd3xExfy ，1222y从而 同理， 2()(8DXEX21(),()8EYD， ，1052d1xEYy(, 36CovXEY1()()2)Y方法 2，104()()d2()d3xEXYxyfxy ，122 21() 6yX2 X1 0 10101e2221()()()8DXYEXY习 题 3.52 在 n 次独立试验中，事件 A 在第 i 次试验中发生的概率为，证明：事件 A 发生的频率依概率收敛于 A 发生概率的(01,2,)iipL平均值证明 设 X 表示在 n 次试验中事件 A 发生的次数，若引入随机变量， ，则 1,0第 次 试

11、 验 中 发 生 ;第 次 试 验 中 不 发 生 .ii12,in， ，L1niiX且 服从 01 分布， ，故iX01iiiXp(),()()iiiiiiEDpq由于 ，2240iiiipqq故 ，即 方差有公共的上界. 1(),iiXn LiX12,n， ，L因此由切比雪夫大数定律可知，对任意的 ，有，11lim()nniiniiPE即 1lninXp可见，事件 A 发生的频率依概率收敛于 A 发生概率的平均值5 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重 50 千克，标准差为 5 千克，若用载重量为 5 吨的汽车承运，利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱才能保

12、障不超载的概率大于 0.977 解 设 n 为所求的箱数，且设 为第 i 箱的重量 iX(1,2)inL由题意，知 且将 视为独立同分布的()50,()5i iEXD12,X随机变量又 n 箱的重量 ，易算得 1niiY()0,()5nnEYD根据林德贝格莱维中心极限定理， 近似服从正态分布 nY(50,2)Nn依题意 n 需满足 ，即有50.97nPY50 nPYn10.97(2)由此得 ，即 02n10n设 ，则有 ，解得 （舍去负的下界） x10x9.x因此， ，即最多可以装 98 箱可保证不超载的概率大于298.n0.9776 已知相互独立的随机变量 , , 都服从泊松分布，记 ，12

13、50501iX求 (3)PX解 因为 , , 独立同分布，且 1250(),(),250)iiED根据林德贝格莱维中心极限定理，X 近似服从正态分布 (N350350(3) 1XP 7 某保险公司经多年的资料统计表明，在索赔户中被盗索赔户占 20%，在随意抽查的 100 家索赔户中被盗的索赔户数为随机变量 （1）写出 的概X率分布；（2）利用棣莫佛拉普拉斯定理，求被盗的索赔户数不少于 14 户且不多于 30 户的概率的近似值解 设 抽查到被盗索赔户 ，则 A()0.2pPA依题意， ，因此分布律为(,)(10,.2)Xbnp108,(,1)kkPC （2） ，根据棣莫佛拉普拉斯定理，(),()

14、()6EDnp143014.530.5PXPX .5222016.654XP (.6)(.6).97.9.38 在 n 次独立重复试验中, 成功率为 0.75, 要使“试验成功的频率在0.740.76 之间 ” 的概率不小于 0.90，则至少要进行多少次试验? 解 设 表示 n 次重复独立试验的各次试验中事件成功的次数，12,LX则 12(,0.75)nXb且在 n 次试验中事件成功发生的频率 满足12nXL2()0.1875()0.75,()()pEXpDn 利用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，知 ，所以(,)(1)Nn0.74.60.PPp.(1)(1)Xnpn875()pP21875n故要“试验成功的频率在 0.740.76 之间” 的概率不小于 0.90， 即，只需 ， ，0.74.60.9PX 210.9875n 0.95187n查表知 ，因此只需 ，或 (1.5).64 549 设某车间有 150 台机床独立工作， 已知每台机床在运转时耗电量都是5(千瓦 )因检修等原因，每台机床平均只有 60%的时间在运转问配电室至少要供给这个车间多少电才能以 99.9%的概率保证这个车间不致因供电不足而影