1、第 1 页 共 9 页2013-2014（2） 概率论练习题 一.填空题:1 已知 ， ， ，则()0.4PA6.0)(B()0.9PAB3/4 。B,4/1|则2. 是两随机事件，, ()3()=/5,()1/,/2,15/4()则3.设一年以 365 天计，6 个研究生同住一个宿舍，则 6 人生日全不同的概率 p= 635!C（只列式，不计算） 。 4.设随机变量 和 相互独立，且有相同的分布：XY则 的分布律为2ZXY4.)(2YXE5投掷均匀的五枚硬币，则至少出现一个正面的概率为 31/32 ，刚好出现 3 个正面的概率为 15/16 6设 （均匀分布） ，则 2 ， 5 ，1,XU(
2、)EX(3)1/3 ()D7. 设随机变量 其概率密度为 2(,)N2(10)8()xbafxe则 34)(3/1,5,2XEab8 6 个研究生同住一个宿舍，则 6 人至少 2 人同一天生日的概率为 635!1C（一年以 365 天计）()12p0.4.6Z 2 3 5 6P 0.16 0.24 0.24 0.36第 2 页 共 9 页9在 这一百个正整数中任取一个，则它既不能被 4 整除也不能被 61,20整除的概率为 0.67 10. 从 (0,1) 中随机取 2 个数，则其中一个数大于 2/3，另一个数小于 1/3 的概率为 2/9 11设 ,，且 ， 相互独立,(10,.)XB(3)
3、YP2()ZNXYZ67)832(5ED则12已知 ,用雪比晓夫不等式估计 .()2E36/1()PXE2/13随机变量 的概率密度为 (),xfAe.其分布函数，则 2/1A.0,21)(xeXF14设连续型随机变量 的分布函数为 ，()arctn,x则分布密度 ， =1/6 ()fxxe2110l32PX二、单项选择题1.某射手在相同条件下作独立射击，其命中率为 0.8，则直到第三发子弹才命中的概率是 【 D 】 123 2()0.8().(10.8)ACBD 2 为两个随机事件 ，且 则下列结论正确的是 【C 】,BA（A） （B）若 发 生 ， 则 必 发 生 与 必 同 时 发 生（
4、C） （D）若 不 发 生 ， 则 必 不 发 生 若 不 发 生 ， 则 A必 不 发 生3 为两随机事件， ，则下面结论中错误的是【 B 】B、 1)(0AP第 3 页 共 9 页（A） )()()( ABPBP（B） /（C） （D）)( )()(BAP4已知 10 件产品中有件 3 件次品，现从中随意依次取出两件产品，取后不放回。已知取出两件产品中第一件是次品，那么第二件也是次品的概率是 【D 】A、 B、 C、 D、 31069039295设 是某连续型随机变量的分布密度，则 是【A 】sin,()xabf ,ab（A） （B） （C） （D）0,20,023,26下列函数中是某随机
5、变量的分布函数的是 【D 】（A） （B） 12(),Fxx2(),xFe（C） （D） 3()arctn,440(),1x7设随机变量 相互独立，且， 则,XY2(5,)XN2(6,3)Y服从正态分布，且有 【 B 】Z（A） （B ）(1,36)N(1,)Z（C） （D）058 设随机变量 相互独立，且， （ 泊松分布） ，,XY(6),()XPY则 也服从泊松分布，且有 【 B 】Z（A） （B）(30)P(1)Z（C） （D） 6109用雪比晓夫不等式估计概率 ，则 【 B 】()3()pPXEDxp第 4 页 共 9 页（A） （B） （C） （D）19898910设随机变量 （指数
6、分布）, 其概率密度 ()XE,0()xef,用雪比晓夫不等式估计 【 D 】(0)()PXE（A） （B） （C） （D）1/41/21/41/三.解答题1. 社会调查把居民按收入多少分为高、中、低三类，调查结果是高、中、低三类分别占总数的 10 、60 、30 ，而银行存款在 5 万元以上的户数在这三类户数中的00比例依次为 100 、60 、10 。0（1（ 求存款在 5 万元以上的户在全体居民中所占比例；（2（ 已知存款户张国强存款超过 5 万元，求他属于低收入阶层的概率。解：设 分别表示高中低收入阶层，B 表示银行存款 5 万以上的居民。321,A（1）由全概率公式 49.0%136
7、01%0 )|()|()|() 33221 ABPAPP（2）由贝叶斯公式 49.03)()|(11BPA2设 的分布列为 ， （1）求 ；（2）关于 的(,)XY451/032XYaa,XY边缘概率分布，判别 与 是否独立？ （3） PYX解：（1）由概率的规范性，分布的性质可得 1012031213 aapijij第 5 页 共 9 页因此 0a（2）由（X，Y）的联合分布列分别得 X，Y 的边缘分布列 2131 )3,2(),2(iijjjiji pp即Y 3 4 5jP5125101p所以 X 和 Y 不独立。（3）由（X，Y）的联合分布列（X， Y）（1,3） （1,4） （1,5）
8、 （2,3） （2,4） （2,5）P 0 10312031Y-X 2 3 4 1 2 3Y-X 1 2 3 4P 010212XY3.设 X,Y 是相互独立的随机变量，且 。 (0,2)()XUYE求：（1）X,Y 的联合概率密度；（2） 。P解：（1）设 分别表示 X、Y 的概率密度。)(yfxfYX、 (0,2)()XUYE0,2)(,02)( yefxf YX，其 它由独立性可得X 1 2ip53第 6 页 共 9 页其 它 且,02)(),(2yxeyfxyf yYX（2） 431)df(,)P022yx edxy（4已知 求 的概率密度 (1,3XU3YX()Yf解： 2710)(
9、)(, 3313 ydtyxPxFyY ， 其 它27160)(32yyfYY， 其 它5知 , 50(),(),xeXEf其 概 率 密 度 为 其 它求 的概率密度 YeYfy解： 1,50),ln(0)() lnydxeyxPyFyxY其 它,015)()(6ef yYY6 设随机变量 的分布函数为 X20,()1,Fxkb1x（1） 求 常数 的值； （2）求随机变量 的概率密度；,kbX（3）求 ()EXD解：（1）由连续型随机变量的分布函数必连续，则 bkxFb)(lim)(0010第 7 页 共 9 页所以 0,1bk（2） 其 它,12)(xxFf（3） 32)(E1010df
10、2)()(x1041022 xxf8)3(22ED7设二维随机变量 的联合分布函数为(,XY，)arctn)(arctn)FxyABxCy（1）求 （2）求 的联合概率密度；,C,（3）求 和 的边际概率密度，并判别 和 是否相互独立？XYXY解：（1） )2(1),(arctn(0, )ta)2),( CBAFxxyy所以 ,2（2） 221),( yxyxFf （3） 21),()(,ydxyfyfxYX第 8 页 共 9 页所以 X 和 Y 相互独立)(),(yfxyfYX8小明在上学路上所需时间（单位：分） ，已知上课时间为早晨 时，他每天1()30E:8时出门，试求：（1）小明迟到的
11、概率；（2）某周（以五天计）小明最多迟到一次的概率；7解：（）设表示小明迟到的事件 260316031)()() edxeXPXPAx（）设表示某周小明迟到的次数 ),5(2BY4211()()0()1( eePYP9.某种工件长度的测量误差（单位：mm） ， (0,.2)XN（1）对此工件测量一次，求误差绝对值不大于 0.98 的概率； (1.96)0.75（2）对此工件测量 20 次，求至少 5 次误差绝对值不大于 0.98 的概率.（只列式）同类题 P80, 第 25 题解：（） .0,2.),.0(NX95.16.5.98.0).|( xPx（）设为次测量中，误差绝对值不大于的次数 )
12、95.0,2(BY20520.9)(kkkCYP10.在次品率为 1/10 的一大批产品中 ,任意抽取 300 件产品,利用中心极限定理计算抽取的产品中次品数在 21 与 39 之间的概率.解：设为件产品中的次品数, ），（有由 中 心 极 限 定 理 ： 近 似 2730NX,),10/3(DEBX第 9 页 共 9 页所求概率为 1323)2701()27309()321(P X11设二维随机变量 ， ,YUA,1,0xyxy求 (),ED解： 其 它（面 积 ,0)(2,21AyxfS 其 它（其 它 ,01)12,),()(10 xdtyxff xX 361925)()( 125432)1(2)(,12,EY 00210320 1021 EXXD xdxXExdxydyf xA
