1、 page 1 of 32模型一 三角形等高模型已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积 底 高2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小) ；如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小) ；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化比如当高变为原来的 3 倍，底变为原来的 ，则三角形面积与原来13的一样这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化同时也告诉我们：一个三角形在面积不
2、改变的情况下，可以有无数多个不同的形状在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：等底等高的两个三角形面积相等；两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如图 12:SabbaS2S1DCBA夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图 ；ACBDS 反之，如果 ，则可知直线 平行于 ACDBS 等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形 )；三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比三角形等高模型与鸟头模型page 2 of 3
3、2【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成： 3 个面积相等的三角形； 4 个面积相等的三角形；6 个面积相等的三角形。【解析】 如下图，D、E 是 BC 的三等分点，F、G 分别是对应线段的中点，答案不唯一：CEDBAFCDBAGD CBA 如下图，答案不唯一，以下仅供参考：如下图，答案不唯一，以下仅供参考：【例 2】 如图，BD 长 12 厘米， DC 长 4 厘米，B、C 和 D 在同一条直线上。 求三角形 ABC 的面积是三角形 ABD 面积的多少倍？ 求三角形 ABD 的面积是三角形 ADC 面积的多少倍？【解析】 因为三角形 ABD、三角形 ABC 和三角形 ADC 在分别以
4、 BD、BC 和 DC 为底时，它们的高都是从 A点向 BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。于是：三角形 ABD 的面积 高 高126三角形 ABC 的面积 高 高4（ ） 8三角形 ADC 的面积 高 高所以，三角形 ABC 的面积是三角形 ABD 面积的 倍；43三角形 ABD 的面积是三角形 ADC 面积的 3 倍。【例 3】 如右图， 和 都是矩形， 的长是 厘米， 的长是 厘米，那么图中阴影部分的面ABFECDAB4BC3积是 平方厘米。A BCDE F【解析】 图中阴影部分的面积等于长方形 面积的一半，即 (平方厘米)。ABCD4326【巩固】(2009 年四中小升初
5、入学测试题)如图所示，平行四边形的面积是 50 平方厘米，则阴影部分的面积是 平方厘米。CDBApage 3 of 32【解析】 根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也等于平行四边形面积的一半，为 平方厘米。502【巩固】如下图，长方形 和长方形 拼成了长方形 ，长方形 的长是 20，宽是 12，AFEBDCEABCDAB则它内部阴影部分的面积是 。F ED CBA【解析】 根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为 。120【例 4】 如图，长方形 的面积是 平方厘米，点 、 、 分别是长方形 边上的中点， 为AB56EFGABC
6、DH边上的任意一点，求阴影部分的面积。HGFEDCBAHGFEDCBA【解析】 本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用。连接 、 。H ，AE BES 同理， ， ，FHCS =SGHDA (平方厘米)1156282ABD阴 影 长 方 形【巩固】图中的 、 、 分别是正方形 三条边的三等分点，如果正方形的边长是 ，那么阴影部EBC12分的面积是 。EDGCFBA654 3 21HAB F CGDE【解析】 把另外三个三等分点标出之后，正方形的 个边就都被分成了相等的三段。把 和这些分点以及正H方形的顶点相连，把整个正方形分割成了 个形状各不相同的三角形。这 个三角形的底边分别是99在正方形
7、的 个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一。阴影部分被分割成了 个三角形，3右边三角形的面积和第 第 个三角形相等：中间三角形的面积和第 第 个三角形相等；左边三角12 34page 4 of 32形的面积和第 个第 个三角形相等。56因此这 个阴影三角形的面积分别是 、 和 的三分之一，因此全部阴影的总面积就3ABHCD等于正方形面积的三分之一。正方形的面积是 ，阴影部分的面积就是 。1448【例 5】 长方形 的面积为 36 ， 、 、 为各边中点， 为 边上任意一点，问阴影部分面ABCD2cmEFGHA积是多少？HGFEDCBA【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接 、 ，如下图：
8、BHCHGFEDCBA可得： 、 、 ，而12EHBABS12FHBS12DHGCS 36ABDHBCHDSS即 ；()368FDGAC而 ， 。EHBHEBF阴 影 11()()4.528EF所以阴影部分的面积是： 184.5S阴 影解法二：特殊点法。找 的特殊点，把 点与 点重合，HD那么图形就可变成右图：GAB CDEF(H)这样阴影部分的面积就是 的面积，根据鸟头定理，则有：DEF。11136363.5222ABCDEBSSS阴 影【例 6】 长方形 的面积为 36， 、 、 为各边中点， 为 边上任意一点，问阴影部分面积是GHAD多少？HGFEDCBApage 5 of 32(H)G
9、FEDCBAHGFEDCBA【解析】 （法 1）特殊点法。由于 为 边上任意一点，找 的特殊点，把 点与 点重合（如左上图） ，HADHA那么阴影部分的面积就是 与 的面积之和，而这两个三角形的面积分别为长方形EG面积的 和 ，所以阴影部分面积为长方形 面积的 ，为 。ACD814ACD1384613.58（法 2）寻找可利用的条件，连接 、 ，如右上图。B可得： 、 、 ，而 ，EHBABS12FHCS12DHGCSABDHBCHDSS即 ；()368FDGAB而 ， 。EHBHEF阴 影 11()()364.528BEF所以阴影部分的面积是： 。184.5S阴 影【巩固】在边长为 6 厘米
10、的正方形 内任取一点 ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，ACP分别与 点连接,求阴影部分面积。PPDCBAAB CD(P)PDCBA【解析】 （法 1）特殊点法。由于 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设 点与 点重合，则阴A影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的 和 ，所以阴影部146分的面积为 平方厘米。216()54（法 2）连接 、 。PAC由于 与 的面积之和等于正方形 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积DBABCD之和等于正方形 面积的 ，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形 面14 ABCD积的 ，所以阴影部分的
11、面积为 平方厘米。1626()15【例 7】 如右图，E 在 AD 上， AD 垂直 BC， 厘米， 厘米求三角形 ABC 的面积是三角形AD3EEBC 面积的几倍？page 6 of 32ED CBA【解析】 因为 AD 垂直于 BC，所以当 BC 为三角形 ABC 和三角形 EBC 的底时，AD 是三角形 ABC 的高，ED 是三角形 EBC 的高，于是：三角形 ABC 的面积 126BC三角形 EBC 的面积 3.5所以三角形 ABC 的面积是三角形 EBC 的面积的 4 倍【例 8】 如图，在平行四边形 ABCD 中，EF 平行 AC，连结 BE、AE、CF、BF 那么与 BEC 等积
12、的三角形A一共有哪几个三角形？F DECBA【解析】 AEC、 AFC、 ABFAA【巩固】如图，在 ABC 中，D 是 BC 中点，E 是 AD 中点，连结 BE、CE，那么与 ABE 等积的三角形一共A有哪几个三角形？ED CBA【解析】 3 个， AEC、 BED、 DECAA【巩固】如图，在梯形 ABCD 中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？ODCBA【解析】 ABD 与 ACD， ABC 与 DBC， ABO 与 DCOAAA【例 9】 (第四届”迎春杯”试题)如图，三角形 的面积为 1，其中 ， ，三角形B3AEB2DC的面积是多少？DEA B ECDDCEBA【解
13、析】 连接 ， ， ，3B22BCEABSA又 ， 2B4DECSAA【例 10】 (2008 年四中考题)如右图， ， ，已知阴影部分面积为 5 平方厘米，F的面积是 平方厘米ACpage 7 of 32FEDCBAFEDCBA【解析】 连接 根据题意可知， 的面积为 面积的 ， 的面积为 面积的 ，所C13DABC12以 的面积为 面积的 而 的面积为 5 平方厘米，所以 的面积为DAB1236 A(平方厘米)15306【巩固】图中三角形 的面积是 180 平方厘米， 是 的中点， 的长是 长的 3 倍， 的长是CDBCADEF长的 3 倍那么三角形 的面积是多少平方厘米？ BFAEFFE
14、D CBA【解析】 ， 等高，所以面积的比为底的比，有 ,A 12ABDCS所以 = (平方厘米)同理有 (平方厘米)，BDSA118092ABC 903EABDSA(平方厘米)即三角形 的面积是 22.5 平方厘米34FEE2.5F【巩固】如图，在长方形 中， 是 的中点， 是 的中点，如果 厘米， 厘米，YDZY248C求三角形 的面积ZCYA BCD ZY【解析】 是 的中点， 是 的中点， ， ，BD12ZYDB14ZCYDBSAA又 是长方形， (平方厘米)C14ZCYDBACSAA【巩固】如图，三角形 ABC 的面积是 24，D、E 和 F 分别是 BC、AC 和 AD 的中点求三
15、角形 DEF 的面积F ED CBA【解析】 三角形 ADC 的面积是三角形 ABC 面积的一半 ，241三角形 ADE 又是三角形 ADC 面积的一半 16page 8 of 32三角形 FED 的面积是三角形 ADE 面积的一半，所以三角形 FED 的面积 623【巩固】如图，在三角形 ABC 中， 厘米，高是 6 厘米，E、F 分别为 AB 和 AC 的中点，那么三角形8BCEBF 的面积是多少平方厘米？FECBA【解析】 是 的中点 2ABCFSA同理 BE (平方厘米)48624EAA【例 11】 如图 ABCD 是一个长方形，点 E、F 和 G 分别是它们所在边的中点如果长方形的面
16、积是 36个平方单位，求三角形 EFG 的面积是多少个平方单位FEGD CBA FEGD CBA【解析】 如右图分割后可得， （平方单位） 24369EFGDEFCACDSSA矩 形 矩 形【巩固】(97 迎春杯决赛)如图，长方形 的面积是 ， 是 边的中点， 在 边上，且1MNAB.那么，阴影部分的面积是多少？2NANBM DCCDMBNA【解析】 连接 ，因为 是中点所以 的面积为 又因为 ，所以 的面积为A 142ANBDC，又因为 面积为 ，所以阴影部分的面积为： .1432D 12152【例 12】 如图，大长方形由面积是 12 平方厘米、24 平方厘米、36 平方厘米、48 平方厘
17、米的四个小长方形组合而成求阴影部分的面积48cm224cm236cm212cm2M NDCBA12cm2 36cm224cm248cm2【解析】 如图，将大长方形的长的长度设为 1，则 ， ，1364AB24183CD所以 ，阴影部分面积为 1342MN 1(28)5(cm)page 9 of 32【例 13】 如图，三角形 中， ， ，三角形 ADE 的面积是 20 平方厘米，三角形ABC2DB3CEA的面积是多少？ABCED CBA【解析】 ， ， ；3CEA4E4ADCAES又 ， ， (平方厘米)21.5B1.56120BDCAES【例 14】 (2009 年第七届”希望杯”二试六年级
18、)如图，在三角形 中，已知三角形 、三角形BCADE、三角形 的面积分别是 89，28，26那么三角形 的面积是 D EDCBA【解析】 根据题意可知， ，89217ADEDSS所以 ，:26:17:B那么 ，DBE故 289(0)99S【例 15】 (第四届小数报数学竞赛)如图，梯形 ABCD 被它的一条对角线 BD 分成了两部分三角形BDC 的面积比三角形 ABD 的面积大 10 平方分米已知梯形的上底与下底的长度之和是 15 分米，它们的差是 5 分米求梯形 ABCD 的面积DCBAEhAB CD【解析】 如右图，作 AB 的平行线 DE三角形 BDE 的面积与三角形 ABD 的面积相等
19、，三角形 DEC 的面积就是三角形 BDC 与三角形 ABD 的面积差(10 平方分米 )从而，可求出梯形高(三角形 DEC 的高)是： (分米)，梯形面积是： (平方分米)21054154230【例 16】 图中 AOB 的面积为 ，线段 OB 的长度为 OD 的 3 倍，求梯形 ABCD 的面积A215cmOCBDA【解析】 在 中，因为 ，且 ，所以有 A215cmAOBS3BOD235cmAODBS因为 和 等底等高，所以有 DACSpage 10 of 32从而 ，在 中， ，所以梯形面积：215cmOCDSABCDA2345cmBOCDSAA480（ ）【例 17】 如图，把四边形
20、 ABCD 改成一个等积的三角形DCBAAAB CD【解析】 本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等我们可以利用三角形等积变形的方法，如右上图把顶点 A 移到 CB 的延长线上的 A处， ABD 与 面积相等，从而 ADC 面积与原四边形 ABCD 面积也相等这样就把四边形 ABCD 等积地AD改成了三角形 ADC问题是 A位置的选择是依据三角形等积变形原则过 A 作一条和 DB 平行的直线与 CB 的延长线交于 A点具体做法： 连接 BD； 过 A 作 BD 的平行线，与 CB 的延长线交于 A 连接 AD，则 ACD 与四边形 ABCD 等积【例 1
21、8】 （第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成 4 个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的 ，黄色三角形面积是 问：长方形的面积是多少平方厘米？15%21cm 红绿黄红【解析】 黄色三角形与绿色三角形的底相等都等于长方形的长，高相加为长方形的宽，所以黄色三角形与绿色三角形的面积和为长方形面积的 ，而绿色三角形面积占长方形面积的 ，所以黄色三角50%15%形面积占长方形面积的 13已知黄色三角形面积是 ，所以长方形面积等于 （ ） 2cm2135602cm【例 19】 是长方形 内一点，已知 的面积是 ， 的面积是 ，求 的面OABCDOBC2cOAB2OBD积是多少？ PODCBA【解析】 由于 是长方形，所以 ，而 ，所以 ，A12AODBCABDSS12ABCDSAODBCADSS则 ，所以 BOCBODS53cmO
