1、1第一章 常用逻辑用语知识点网络第 1 讲 命题、充分条件与必要条件 考点 1：命题1. 定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题.（1）命题由题 设和结 论两部分构成. 命题通常用小写英文字母表示，如 p,q,r,m,n 等.（2）命题有真假之分，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题. 数学中的定义、公理、定理等都是真命题（3）命题“ ”的真假判定方式： 若要判断命题“ ”是一个真命题，需要严格的逻辑推理；有时在推导时加上语气词“一定”能帮助判断。如： 一定推出 . 若要判断命题“ ”是一个假命题，只需要找到一个反例即可.注意：“ 不一定等于 3”不能判
2、定真假，它不是命题.例 1 已知命题 , ;命题 , ,则下列命题中为真命题的是: （ ）:pxR23x:qxR321xA B C Dqppqpq例 2.下列命题中的假命题是A. ,lg0x B. ,tan1xRC. 3,R D. ,20【解析】对于 C 选项 x1 时， =，故选 C变式 1.下列命题是真命题的为A若 xy,则 B若 21x,则 C若 ,则 y D若 y,则 2解析 由 1x得 ,而由 21x得 ,由 xy, 不一定有意义,而xy得不到 2y 故选 A.2例 3.下列 4 个命题 11:(0,)()23xpx 2:(,) 1/2x 1/3x31p:(0,)2xx1/2x 4:
3、(,)x 1/3x 其中的真命题是 （ ）A. 13,p B . 14,p C. 23, D. 24,p解析 取 x 2,则 1/2x 1, 1/3xlog 321,p 2正确 当 x(0, 31)时,( )x1,而 1/3x1.p 4正确答案 D考点 2：四种命题1. 四种命题的形式：用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论，用 p 和 q 分别表示 p 和 q 的否定，则四种命题的形式为：原命题：若 p 则 q； 逆命题：若 q 则 p；否命题：若 p 则 q； 逆否命题：若 q 则 p.2. 四种命题的关系原命题 逆否命题.它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一.逆命题 否命
4、题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径.除、之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.例 4. 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假:(1) 若 q0 B. 存在 0xR, 02x0 C. 对任意的 R, x0 D. 对任意的 R, 0解析：由题否定即“不存在 R，使 0x”，故选择 D。变式 4 .命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（ ）A “若一个数是负数，则它的平方不是正数” B “若一个数的平方是正数，则它是负数” 4C “若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D “若一个数的平方不是正数，则它不是负数”答案
5、 B解析 因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数” 。考点 3：充分条件与必要条件1. 定义：对于“若 p 则 q”形式的命题：若 p q，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件；若 p q，但 q p，则 p 是 q 的充分不必要条件，q 是 p 的必要不充分条件；若既有 p q，又有 q p，记作 p q，则 p 是 q 的充分必要条件（充要条件）.2. 理解认知：（1）在判断充分条件与必要条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；然后用条件推结论，再用结论 推条件，最后进行判断.（2）充要条件即等价条件，也是完成命题转化
6、的理论依据.“当且仅当”.“有且仅有”.“必须且只须”.“等价于”“反过来也成立”等均为充要条件的同义词语.3. 判断命题充要条件的三种方法（1）定义法：（2）等价法：由于原命题与它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价，因此，如果原命题与逆命题真假不好判断时，还可以转化为逆否命题与否命题来判断即利用与 ； 与 ； 与 的等价关系，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法. (3) 利用集合间的包含关系判断，比如 A B 可判断为 A B；A=B 可判断为 A B，且B A，即 A B.如图：“ ” “ ，且 ” 是 的充分不必要条件.“ ” “ ” 是 的充分必要条件.例 8在
7、下列各题中，判断 A 是 B 的什么条件，并说明理由(1) A： Rp,2，B：方程 px203有实根；(2)A： 13x；B： 0612x；5解：(1) 当 2p，取 4，则方程 0742x无实根；若方程 2x03p有实根，则由 0推出0)3(42p或 6，由此可推出 p所以 A 是 B 的必要非充分条件(2) 由 212xx且，由 061x解得 23x且，所以 A 推不出 B，但 B 可以推出 A，故 A是 B 的必要非充分条件变式 5：指出下列命题中，p 是 q 的什么条件（在“充分不必要条件” 、 “必要不充分条件” 、 “充要条件” 、 “既不充分也不必要条件”中选出一种作答）.（1
8、）对于实数 x、y，p：x+y8,q:x2 或 y6;（2）非空集合 A、B 中，p：xAB，q：xB；解： (1)易知: p:x+y=8, q:x=2 且 y=6,显然 qp.但 p q,即 q 是 p 的充分不必要条件,根据原命题和逆否命题的等价性知,p 是 q 的充分不必要条件.(2)显然 xAB 不一定有 xB,但 xB 一定有 xAB,所以 p 是 q 的必要不充分条件.例 9. 已知 p：2 m0，0 n1； q：关于 x 的方程 x2 mx n0 有两个小于 1 的正根，试分析 p 是 q 的什么条件.解：若方程 x2 mx n0 有两个小于 1 的正根，设为 x1、 x2则 0
9、 x11、0 x21， x1 x2 m， x1x2 n0 m2，0 n1 2 m0，0 n1 p 是 q 的必要条件又若2 m0，0 n1，不妨设 m1， n 2则方程为 x2 x 0，(1) 24 10 方程无实根 p 是 q 的非充分条件综上所述， p 是 q 的必要非充分条件例 10.“ 4kZ”是“ tanx”成立的 （ ）（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件.（C）充分条件. （D）既不充分也不必要条件.解析： 1ta)2tan(k，所以充分；但反之不成立，如 145tan例 11. “a0”是“ 0” 的 A(A)充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既
10、不充分也不必要条件解析：本题考查充要条件的判断 0,0aa， a0”是“ 0”的充分不必要条件变式 6.已知 a0，则 x0满足关于 x 的方程 ax=6 的充要条件是(A) 2201,xRb (B) 2201,xRbxax(C) 1ab (D) 【解析】由于 a0,令函数221()yaxxa，此时函数对应的开口向上，当 x= ba时，取得最6小值2ba，而 x0满足关于 x 的方程 ax=b,那么x0= ,ymin=2201ba，那么对于任意的 xR,都有 21yaxb2a= 201xb变式 7 设 0x ，则“x sin2x1”是“x sinx1”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充
11、分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件解析：因为 0x 2 ，所以 sinx1，故 xsin2xxsinx，结合 xsin2x 与 xsinx 的取值范围相同，可知答案选B，本题主要考察了必要条件、充分条件与充要条件的意义，以及转化思想和处理不等关系的能力，属中档题例 11. “ 14m”是“一元二次方程 20m”有实数解的A充分非必要条件 B.充分必要条件C必要非充分条件 D.非充分必要条件【解析】由 20x知， 214()x14例 12.已知 ,ab是实数，则“ a且 0b”是“ 0ab且 ”的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必
12、要条件 解析 对于“ 0且 ”可以推出“ 且 ”，反之也是成立的变式 8. “ ”是“ 且 ”的 A. 必要不充分条件 B.充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件解析 易得 abcd且时必有 acbd.若 acbd时，则可能有 adcb且，选 A。变式 9 .设 是则 xxR31, 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件解析 因为 ,0,3解 得 ，显然条件的集合小，结论表示的集合大，由集合的包含关系，我们不难得到结论。例 13.已知 a， b， c， d为实数，且 c d.则“ a b”是“ c b d”的A. 充分而不必要
13、条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件解析 显然，充分性不成立.又，若 d和 都成立，则同向不等式相加得 a b,即由“ c ”“a b” 例 14.已知 p：123x， q：22(1)0xm若“ ”是 “ ”的必要而不充分条件，求实数 的取值范围 【解法一】由 ：1x，解得 210x，7“ p”： (,2)(10,)A 3 分由 q： 21xm解得： “ q”： (,)(1,)Bm 6 分由“ p”是 “ ”的必要而不充分条件可知： BA 8 分120m解得 9m 满足条件的 m 的取值范围为 , 12 分【解法二】由 p：123x， 解得 210Px由 q：
14、 220x, 解得： 1 Qm由“ ”是 “ q”的必要而不充分条件可知： p p ， 即： P1210mm（等号不同时成立） ， 解得： 9满足条件的 m 的取值范围为 ,9,课堂过关检测一、选择题1对命题 p： A ，命题 q： A A，下列说法正确的是 （ ）A p 且 q 为假 B p 或 q 为假 C非 p 为真 D非 p 为假2已知下列三个命题方程 x2-x+2=0 的判别式小于或等于零；矩形的对角线互相垂直且平分；2 是质数，其中真命题是（ ）（A）和 （B）和 （C）和 （D）只有3下列结论中正确的是（ ）（A）命题 p 是真命题时，命题“P 且 q”一定是真命题。（B）命题“
15、P 且 q”是真命题时，命题 P 一定是真命题（C）命题“P 且 q”是假命题时，命题 P 一定是假命题（D）命题 P 是假命题时，命题“P 且 q”不一定是假命题4使四边形为菱形的充分条件是（ ）（A）对角线相等 （B）对角线互相垂直 （C）对角线互相平分 （D）对角线垂直平分85如果命题“非 P 为真” ，命题“P 且 q”为假，那么则有（ ）（A）q 为真 （B）q 为假 （C）p 或 q 为真 （D）p 或 q 不一定为真6如果命题“p 或 q”和命题“p 且 q”都为真，那么则有（ ）（A）p 真 q 假 （B）p 假 q 真 （C）p 真 q 真 （D）p 假 q 假7给出 4 个
16、命题：若 ，则 x=1 或 x=2；若 ，则 ；0232x 32x0)3(2x若 x=y=0，则 ；若 ， x y 是奇数，则 x， y 中一个是奇数，一个是偶数那么：2yNy,（ ）A的逆命题为真 B的否命题为真C的逆否命题为假 D的逆命题为假8一个整数的末位数字是 2，是这个数能被 2 整除的（ ）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件9 “ABC 中，若C=90，则A、B 都是锐角”的否命题为 （ ）AABC 中，若C90，则A、B 都不是锐角BABC 中，若C90，则A、B 不都是锐角CABC 中，若C90，则A、B 都不一定是锐角D以上都不
17、对10 “ ”的含义是 （ ）20abA 不全为 0 B 全不为 0 , ,abC 至少有一个为 0 D 不为 0 且 为 0，或 不为 0 且 为 0a11下列说法正确的是（ ）（A）x3 是 x5 的充分不必要条件 （B）x1 是 1 的充要条件x（C）若p q，则 p 是 q 的充分条件（D）一个四边形是矩形的充分条件是它是平行四边形12如果命题“P 或 Q”是真命题，命题“P 且 Q”是假命题，那么（ ）(A) 命题 P 和命题 Q 都是假命题 (B) 命题 P 和命题 Q 都是真命题（C）命题 P 和命题“非 Q”真值不同 (D) 命题 Q 和命题“非 P”真值相同13.下列有关命题
18、的说法正确的是 ( )A命题“若 21x，则 ”的否命题为：“若 21x，则 ”B “ ”是“ 560”的必要不充分条件C命题“ xR， 使得 21x”的否定是：“ xR， 均有 210x”D命题“若 y，则 siny”的逆否命题为真命题14 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 若 是两个简单命题，且“ 或 ”的否定是真命题，则必有（ ）q, pqA 真 真 B 假 假C 真 假 D 假 真15 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 已知 A 与 B 是两个命题，如果 A 是 B 的充分不必要条件，那么 是 的（ ）ABA充分不必要条件 B必要不充分条件9C充要条件
19、D既不充分也不必要条件16 已知全集 U 且 ，则集合 A 的真子集共有（ ）2,10ACUA3 个 B4 个 C5 个 D6 个17 二次函数 中，若 ，则其图象与 轴交点个数是（ ）cbxay20axA1 个 B2 个 C没有交点 D无法确定18 设集合 A ， ，那么下列关系正确的是（ ）13A B C DaAaAaAa19.如果命题“p 或 q”与命题“非 p”都是真命题，那么（ ）（A）命题 p 不一定是假命题 （B）不一定是真命题（C）命题 q 一定是真命题 （D）命题 p 与命题 q 真值相同20.x2+2x-8=0”是“x-2= ”的 （ ）x2(A)充分不必要条件 (B)必要
20、不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件21.命题“P 或 Q”是真命题，命题“P 且 Q”是假命题，那么（ ）(A) 命题 P 和命题 Q 都是假命题 (B) 命题 P 和命题 Q 都是真命题（C）命题 P 和命题“非 Q”真值不同 (D) 命题 Q 和命题“非 P”真值相同22 设 na是首项大于零的等比数列，则“ 12a”是“数列 na是递增数列”的（A）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件23.在实数 m，使方程 x2mx10 有实数根，则“非 p”形式的命题是A.存在实数 m，使得方程 x2mx10 无实根 B.不存在实
21、数 m，使得方程 x2mx10 有实根C.对任意的实数 m，使得方程 x2mx10 有实根D.至多有一个实数 m，使得方程 x2mx10 有实根24.若函数 在其定义域内是减函数，则 ”的逆否命题是()log(,)afxlog20aA.若 ，则函数 在其定义域内不是减函数l20alog(,)afB.若 ，则函数 在其定义域内不是减函数()01xC.若 ，则函数 在其定义域内是减函数logal(,)afD.若 ，则函数 在其定义域内是减函数20()ogx25.如果命题“ ”为假命题，则)(qp或A.p，q 均为真命题 B.p，q 均为假命题 C.p，q 中至少有一个为真命题 D.p，q 中至多有
22、一个为真命题26.已知命题 所有有理数都是实数，命题 正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是: :A. B. C. D.()ppq()p()pq1027. “ 0x”是“ x”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 28. “ 12成立”是“ (3)0成立”的 ( )A充分不必要条件 B.必要不充分条件C充分必要条件 D.既不充分也不必要条件29 “x1”是“ x2”成立的 （ ）A充要条件 B必要不充分条件C充分不必要条件 D既不充分又不必要条件30.命题：“若 ，则 ”的逆否命题是（ ）121A.若 ，则 B.若 ，则xx， 或 1x
23、2C.若 ，则 D.若 ，则 ， 或 2， 或 1x31.若集合 ， ，则“ ”是“ ”的 （ ）2,mA4,B2m4BAA 充分不必要条件 B 必要不充分条件C. 充要条件 D 既不充分也不必要条件32.集合 21|xM， |(3)0Nx，那么 “ Ma”是“ Na”的( )A必要而不充分条件 B充分而不必要条件 33. “ |”是“ 062”的 （ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件34.已知 23:,52:qp,则下列判断中，错误的是（ ） (A)p 或 q 为真，非 q 为假 (B) p 或 q 为真，非 p 为假(C)p 且 q 为假，非 p 为真 (D) p 且 q 为假，p 或 q 为真二、填空题1命题“若ABC 是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是 2命题“不等式 x2+x-60 的解 x2”的逆否命题是 3写出命题“个位数是 5 的自然数能被 5 整除”的逆命题、否命题及逆否命题，并判定其真假。逆命题是_否命题是_逆否命题是_4 “ABC 中，若C90，则A、B 都是锐角”的否命题是 5已知函数 lg(4)yx的定义域为 A，集合 |Bxa，若 P：“ xA”是Q：“ xB”的充分不必要条件，则实数 a的取值范围 6设集合 A x| 0 ，B x | x 1| a ，若“ a1”是“AB ”1的 条件
