1、在平面内任取 n 个整点（横纵坐标都是整数），其中一定存在两个点，它们连线的中点也是整点，那么 n 至少是？建立直角坐标系来解决这个问题 设所取得 n 个点的坐标为 （X1， Y1），（ X2，Y2）， ，（Xn，Yn） 1）当有三个点时 显然，三个点可以保证存在两个点使其中点的横坐标为整数 （这是因为任意三个数肯定存在同奇或同偶两个数） 但是不能保证这两个点中点的纵坐标也是偶数 比如取（奇，偶），（奇，奇），（偶，奇）这三个点就是一个反例 2）当有四个点时 接着用上面的方法进行分析，可知，如下情况是一个反例 （其中“奇” 代表奇数；“ 偶”代表“偶数”） （奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），
2、（偶，偶） 3）当有五个点时 当有五个点时，至少存在三个点，其横坐标同奇或同偶，而这三个点中，至少存在两个点是同奇或同偶的，那么可以判定，这两个点的横纵坐标的奇偶性完全一样，因此这两个点的中点是个整点 综上所述，平面上任取五个整点,可以保证其中存在两个点，其中点为整点想象横纵交错的网格纸，就像棋盘那样的，每个横纵线交点就是一个整点。如下图向左转|向右转任意三个点如果共线，即处在水平，竖直，或者对角线上，则其中定存在两个点满足连线中点是整点。点共如果 n=2，取两个连续的整点，那么连线中点不是整点。如果 n=3，取水平两个连续的点，垂直也两个连续的点，组成三角形。那么连线中点不是整点。如果 n=
3、4，取四个整点组成一个正方形，则连线中点不是整点。而取 5 个点的话，必然有两个点的连线中点是整点。在 NOI 期间，主办单位为了欢迎来自全国各地的选手，举行了盛大的晚宴。在第十八桌，有五名大陆选手和五名港澳选手共同进膳。为了增进交流，他们决定相隔就做，即每个大陆选手左右相邻都是港澳选手、每个港澳选手左右相邻的都是大陆选手。那么，这一桌共有多少种不同的坐做方案？（注意：如果在两个方案中，每个选手左右相邻的选手均相同，则视为同一个方案。）这是个排列着组合问题啊。就是我没明白 5 个大陆人算是一种人还是分别不同的人、港澳的也是如果分别为不同的人。则。总共 10 个人，以餐桌中任意一个座位开始，以大
4、陆人中五个选一个放在第一个座位，即 C5 1 他旁边的是港澳的 C5 1 。然后大陆剩下四个人 C4 1 港澳也是 C4 1同理依次推出。5*5*4*4*3*3*2*2*1*1=你自己算一下 啊如果他们只代表的是大陆和港澳，算一种人，则只有一种方法，就是岔开做相当于 1 个圆，十个人。先随便找个座，让人去坐，有 10 个可能，然后顺时针走，下一个座就有 5 种可能，再下一个就 4 个，再下一个还是 4 个，以此类推，就是 10*5*4*4*3*3*2*2*1*1。这其中有重复的，同一种坐法，可以绕着桌子走一圈，就是上一个人坐到下一个人的位置，串一下，这样所有坐法就算重复了 10 次，再除以 1
5、0 就行了。就是 5*4*4*3*3*2*2*1*15！*5！/5=14400/5=2880 种两个 5！分别是大陆选手和港澳选手的就坐方案，相乘后，再除以 5 中重复的方案。小陈现有 2 个任务 A，B 要完成，每个任务分别有若干步骤如下：A=a1-a2-a3，B=b1-b2-b3-b4-b5。在任何时候，小陈只能专心做某个任务的一个步骤。但是如果愿意，他可以在做完手中任务的当前步骤后，切换至另一个任务，从上次此任务第一个未做的步骤继续。每个任务的步骤顺序不能打乱，例如a2-b2-a3-b3是合法的，而a2-b3-a3-b2是不合法的。小陈从 B 任务的 b1 步骤开始做，当恰做完某个任务的
6、某个步骤后，就停工回家吃饭了。当他回来时，只记得自己已经完成了整个任务 A，其他的都忘了。试计算小陈饭前已做的可能的任务步骤序列共有 种。解法一：相当于以前的 A 到 B 路程的问题，呵呵a3 0 1 4 10 20 35a2 0 1 3 6 10 15a1 0 1 2 3 4 50 1 1 1 1 1b1 b2 b3 b4 b5看懂了吗？学过奥数的应该能明白吧。然后把 a3 那一行加起来 1+4+10+20+35=70。解法二：排列组合+加法原理B 任务中的 b1 一定做，而且肯定是第一个做的。除了 b1 外，第一类：完成 A 任务 只有 1 种。第二类：完成 A 任务和 b2 有 C(4,
7、1)=4 种。第三类：完成 A 任务和 b2、b3 有 C(5,2)=10 种。第四类：完成 A 任务和 b2、b3、b4 有 C(6,3)=20 种。第五类：完成 A 任务和 b2、b3、b4、b5 有 C(7,4)=35 种。加起来 1+4+10+20+35=70。给定 n 个有标号的球，标号依次为 1，2，3，n，将这 n 个球放入 r 个相同的盒子里，不允许有空盒，其不同放置方法的总数为 S（n，r），例：S（4，2）=7，这 7 种不同的放置方法依次为（1），（234），（2），（134），（3），（124），（4），（123），（12），（34），（13），（24），（14），（23）。当 n=7，r=4 时，S（7，4）=将这 n 个球放入 r 个相同的盒子里，不允许有空盒，因为是“相同的盒子“,所以是一个组合问题.既将 n 个球分成 r 份.这样当 n=7，r=4 时，将 7 个球分成 4 份,有三种分法:(1)分为 4,1,1,1(2)分为 3,2,1,1(3)分为 2,2,2,1 第一种分法有 C74=35 种 第二种分法有 C73C42=210 种 第三种分法有(C72C52C32)/3!=105 种 共计 350 种,所以 S（7，4）= 350
