1、1【步步高】 （浙江专用）2017 年高考数学 专题七 立体几何 第 55 练 空间角与空间距离的求解练习训练目标 (1)会求线面角、二面角；(2)会解决简单的距离问题.训练题型 (1)求直线与平面所成的角；(2)求二面角；(3)求距离.解题策略利用定义、性质去“找”所求角，通过解三角形求角的三角函数值，尽量利用特殊三角形求解.一、选择题1.(2015上海闵行区三模)如图，在底面是边长为 a 的正方形的四棱锥 P ABCD 中，已知 PA平面 ABCD，且 PA a，则直线 PB 与平面 PCD所成的角的余弦值为( )A. B.12 13C. D.22 322(2015邯郸上学期教学质量检测)
2、在正四棱锥 P ABCD 中， PA2，直线 PA 与平面 ABCD所成角为 60， E 为 PC 的中点，则异面直线 PA 与 BE 所成的角为( )A90 B60C45 D303.如图所示，在三棱锥 SABC 中， ABC 是等腰三角形， AB BC2 a， ABC120，SA3 a，且 SA平面 ABC，则点 A 到平面 SBC 的距离为( )A. B.3a2 a2C. D.5a2 7a2二、填空题4(2015丽水二模)如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 M 为平面ABB1A1的中心，则 MC1与平面 BB1C1C 所成角的正切值为_25如图所示，在三棱锥 S ABC 中，
3、 SBC， ABC 都是等边三角形，且BC1， SA ，则二面角 S BC A 的大小为_326.如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 P 在线段 AD1上运动，给出以下命题：异面直线 C1P 与 CB1所成的角为定值；二面角 P BC1 D 的大小为定值；三棱锥 D BPC1的体积为定值；异面直线 A1P 与 BC1间的距离为定值其中真命题的个数为_三、解答题7(2015浙江名校交流卷)如图，在 ABC 中， ABC45，点 O 在 AB 上，且OB OC AB， PO平面 ABC， DA PO， DA AO PO.23 12(1)求证： PB平面 COD；(2)求
4、二面角 O CD A 的余弦值8(2015宁波二模)如图，正四棱锥 S ABCD 中，SA AB2， E， F， G 分别为 BC， SC， CD 的中点设 P 为线段 FG上任意一点(1)求证： EP AC；(2)当 P 为线段 FG 的中点时，求直线 BP 与平面 EFG 所成角的余弦值39(2015安徽江南十校上学期期末大联考)如图，四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD 为矩形， PA底面 ABCD，且 PB 与底面 ABCD 所成的角为 45， E 为 PB 的中点，过 A， E， D 三点的平面记为 ， PC 与 的交点为 Q.(1)试确定 Q 的位置并证明；(2)求四棱锥 P A
5、BCD 被平面 所分成上下两部分的体积之比；(3)若 PA2，截面 AEQD 的面积为 3，求平面 与平面 PCD 所成的锐二面角的正切值4答案解析1D 设 B 到平面 PCD 的距离为 h，直线 PB 与平面 PCD 所成的角为 ，则由等体积法可得 aah aaa，13 12 2 13 12 h a.22又 PB a，sin ，212又 (0， )，cos .故选 D. 2 322C 如图，连接 AC， BD 交于点 O，连接 OE， OP.因为 E 为 PC 中点，所以 OE PA，所以 OEB 即为异面直线 PA 与 BE 所成的角因为四棱锥 P ABCD 为正四棱锥，所以 PO平面 A
6、BCD，所以 AO 为 PA 在平面 ABCD 内的射影，所以 PAO 即为 PA 与平面 ABCD 所成的角，即 PAO60.因为 PA2，所以 OA OB1， OE1.所以在直角三角形 EOB 中， OEB45，即异面直线 PA 与 BE 所成的角为 45.故选 C.3A 作 AD CB 交 CB 的延长线于点 D，连接 SD，如图所示 SA平面 ABC， BC平面 ABC， SA BC.又 BC AD， SA AD A， SA平面 SAD， AD平面 SAD， BC平面 SAD，又 BC平面 SBC，平面SBC平面 ASD，且平面 SBC平面 ASD SD.在平面 ASD 内，过点 A
7、作AH SD 于点 H，则 AH平面 SBC， AH 的长即为点 A 到平面 SBC 的距离在 Rt SAD 中， SA3 a， AD ABsin 60 a.由 ，得3AHSA ADSDAH ，即点 A 到平面 SBC 的距离为 .SAADSD SAADSA2 AD2 3a2 3a24.55解析 5如图，过点 M 作 BB1的垂线，垂足为 N，则 MN平面 BB1C1C，连接 NC1，则 MC1N 为 MC1与平面 BB1C1C 所成的角设正方体的棱长为 2a，则 MN a， NC1 a，5所以 tan MC1N .55560解析 取 BC 的中点 O，连接 SO， AO，因为 AB AC，
8、O 是 BC 的中点，所以 AO BC，同理可证 SO BC，所以 SOA 是二面角 S BC A 的平面角在 AOB 中， AOB90， ABO60， AB1，所以 AO1sin 60 .32同理可求 SO .32又 SA ，所以 SOA 是等边三角形，32所以 SOA60，所以二面角 S BC A 的大小为 60.64解析 对于，因为在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 P 在线段 AD1上运动，在正方体中有 B1C平面 ABC1D1，而 C1P平面 ABC1D1，所以 B1C C1P，所以这两个异面直线所成的角为定值 90，故正确；对于，因为二面角 P BC1 D 的
9、实质为平面 ABC1D1与平面 BDC1所成的二面角，而这两个平面为固定不变的平面，所以夹角也为定值，故正确；对于，三棱锥 D BPC1的体积还等于三棱锥 P DBC1的体积，而 DBC1面积一定，又因为 P AD1，6而 AD1平面 BDC1，所以点 A 到平面 DBC1的距离即为点 P 到该平面的距离，所以三棱锥的体积为定值，故正确；对于，因为直线 A1P 和 BC1分别位于平面 ADD1A1，平面 BCC1B1中，且这两个平面平行，由异面直线间的距离定义及求法，知这两个平面间的距离即为所求的异面直线间的距离，所以这两个异面直线间的距离为定值，故正确7(1)证明 因为 PO平面 ABC，
10、AD PO， AB平面 ABC，所以 PO AB， DA AB.又 DA AO PO，所以 AOD45.12因为 OB AB，23所以 OA AB，所以 OA OB，13 12又 AO PO，所以 OB OP，12所以 OBP45，即 OD PB.又 PB平面 COD， OD平面 COD，所以 PB平面 COD.(2)解 如图，过 A 作 AM DO，垂足为 M，过 M 作 MN CD 于 N，连接 AN，则 ANM 为二面角 O CD A 的平面角设 AD a，在等腰直角三角形 AOD 中，得 AM a，在直角三角形 COD 中，得 MN a，22 33在直角三角形 AMN 中，得 AN a
11、，306所以 cos ANM .1058(1)证明 设 AC 交 BD 于 O， S ABCD 为正四棱锥， SO底面 ABCD， BD AC，7又 AC平面 ABCD， SO AC， BD SO O， AC平面 SBD， E， F， G 分别为 BC， SC， CD 的中点， FG SD， BD EG.又 FG EG G， SD BD D，平面 EFG平面 BSD， AC平面 GEF.又 PE平面 GEF， PE AC.(2)解 过 B 作 BH GE 于 H，连接 PH， BD AC， BD GH， BH AC，由(1)知 AC平面 GEF，则 BH平面 GEF. BPH 就是直线 BP
12、与平面 EFG 所成的角在 Rt BHP 中， BH ， PH ， PB ，22 132 152故 cos BPH .PHPB 195159解 (1) Q 为 PC 的中点证明如下：因为 AD BC， AD平面 PBC， BC平面 PBC，故 AD平面 PBC.又由于平面 平面 PBC EQ，故 AD EQ，所以 BC EQ.又 E 为 PB 的中点，故 Q 为 PC 的中点(2)如图，连接 EQ， DQ，因为 PA底面 ABCD，所以 PB 与底面 ABCD 所成的角为 PBA45.故 PA AB.又因为 E 为 PB 的中点，所以 PE AE.因为四边形 ABCD 是矩形，所以 AD AB
13、.又 PA底面 ABCD， AD底面 ABCD，所以 AD PA.又 PA AB A，所以 AD平面 PAB，8又 PE平面 PAB，所以 AD PE.又 AE AD A， AE平面 ， AD平面 ，故 PE平面 .设 PA h， AD2 a，设四棱锥 P ABCD 被平面 所分成的上下两部分的体积分别为 V1和 V2，则 EQ a.又因为 AD平面 PAB， AE平面 PAB，所以 AD AE.V 上 PES 梯形 AEQD13 (a2 a) ，13 2h2 12 2h2 ah24V 下 PAS 底面 ABCD V 上13 h2ah ，13 ah24 5ah212所以 .V上V下ah245a
14、h212 35(3)过 E 作 EF DQ，连接 PF，因为 PE平面 ，所以 PE DF.又由于 EF PE E，所以 DF平面 PEF，则 DF PF.所以 PFE 是平面 和平面 PCD 所成的二面角因为 PA2，即 h2，截面 AEQD 的面积为 3，所以 S 梯形 AEQD (a2 a) h3，12 22解得 a .2又因为 AD EQ，且 EQ AD，12故 S EQD S 梯形 AEQD1，13QD 2.(AD QE)2 AE2又 S EQD EFDQ1，解得 EF1.12又 PE PB .12 2在直角三角形 PEF 中，tan PFE ，PEEF 28即平面 与平面 PCD 所成的锐二面角的正切值为 .2
