高中物理竞赛讲义——微积分初步.doc

1、物理竞赛讲义南丰一中彭定辉编写1tv高中物理竞赛讲义微积分初步一：引入【例】问均匀带电的立方体角上一点的电势是中心的几倍。分析：根据对称性，可知立方体的八个角点电势相等；将原立方体等分为八个等大的小立方体,原立方体的中心正位于八个小立方体角点位置；而根据电势叠加原理，其电势即为八个小立方体角点位置的电势之和，即 U1=8U2 ；立方体角点的电势与什么有关呢?电荷密度 ；二立方体的边长 a；三立方体的形状；根据点电荷的电势公式 U= 及量纲知识，可猜想边长为 a 的立方体角点电势为K QrU= =Cka 2 ；其中 C 为常数，只与形状（立方体）及位置（角点）有关，Q 是总电量，CKQa 是电荷

2、密度；其中 Q=a 3 大立方体的角点电势：U 0= Cka 2 ；小立方体的角点电势：U 2= Ck（ ） 2=a2 CK a24大立方体的中心点电势：U 1=8U2=2 Cka 2 ；即 U0= U112【小结】我们发现，对于一个物理问题，其所求的物理量总是与其他已知物理量相关联，或者用数学语言来说，所求的物理量就是其他物理量（或者说是变量）的函数。如果我们能够把这个函数关系写出来，或者将其函数图像画出来，那么定量或定性地理解物理量的变化情况，帮助我们解决物理问题。二：导数 物理量的变化率我们经常对物理量函数关系的图像处理，比如 v-t 图像，求其斜率可以得出加速度 a，求其面积可以得出位

3、移 s，而斜率和面积是几何意义上的微积分。我们知道，过 v-t 图像中某个点作出切线，其斜率即 a=. v t下面我们从代数上考察物理量的变化率：【例】若某质点做直线运动，其位移与时间的函数关系为上 s=3t+2t2,试求其 t 时刻的速度的表达式。（所有物理量都用国际制单位，以下同）物理竞赛讲义南丰一中彭定辉编写2分析：我们知道，公式 v= 一般是求t 时间内的平均速度，当t 取很小很小，才可 s t近似处理成瞬时速度。s(t)=3t+2t2 s(t+t)=3(t+t)+2(t+t) 2s=s(t+t)-s(t)=3(t+t)+2(t+t) 2-3t-2t2=3t+4tt+2t 2v= =

4、=3+4t+2t s t3 t+4t t+2 t2 t当t 取很小，小到跟 3+4t 相比忽略不计时，v=3+4t 即为 t 时刻的瞬时速度。【练】假设一个闭合线圈匝数为 100 匝，其磁通量为 =3t+4t3,求感应电动势随时间 t 的函数关系。【小结】回顾我们求物理量 y=f(t)的变化率瞬时值 z 的步骤：写出 t 时刻 y0=f(t)的函数表达式；写出 t+t 时刻 y1=f(t+t)的函数表达式；求出y=y 1- y0=f(t+t)- f(t)；求出 z= = ； y tf(t+ t)- f(t) t注意t 取很小，小到与有限值相比可以忽略不计。 无穷小当t 取很小时，可以用 V=

5、求瞬时速度，也可用 i= 求瞬时电流,用 = s t Q t求瞬时感应电动势。下面，我们来理解t：N tt 是很小的不为零的正数，它小到什么程度呢？可以说，对于我们任意给定一个不为零的正数 ，都比t 大，即：t 。或者从动态的角度来看，给定一段时间 t，我们进行如下操作：第一次，我们把时间段平均分为 2 段，每段时间t= ；t2第二次，我们把时间段平均分为 3 段，每段时间t= ；t3第三次，我们把时间段平均分为 4 段，每段时间t= ；t4第 N 次，我们把时间段平均分为 N+1 段，每段时间t= ；tN+1一直这样进行下去，我们知道，t 越来越小，虽然它不为零，但永远逼近零，我们称它为无穷

6、小，记为 t 0。 或 者 ， 用 数 学 形 式 表 示 为 t=0。 其 中limt物理竞赛讲义南丰一中彭定辉编写3“ ”表示极限，意思是t 的极限值为 0。常规计算：0limt （ t+C） =C C t=0 f( t)=f(0)t 0limt0lit f(t+ t)=f(t) = 10lit0litsin( t) t附录常用等价无穷小关系（ ）x ； ； ； ；sinxtan21cosxlnx1xe 导数前面我们用了极限“ ”的表示方法，那么物理量 y 的变化率的瞬时值 z 可以写0limt成:z= ,并简记为 z= ,称为物理量 y 函数对时间变量 t 的导数。物理上经常用0lit

7、y t dyd t某物理量的变化率来定义或求解另一物理量，如 v= 、a= 、i= 、=N 等，甚dxd t dvd t dqd t dd t至不限于对时间求导，如 F= 、E x= 、= 等。dWFd x dUdx dmdl这个 dt（也可以是 dx、dv、dm 等）其实相当于微元法中的时间微元t，当然每次这样用 来求物理量变化率的瞬时值太繁琐了，毕竟微元法只是草创时期的微积分。0limt如果能把常见导数计算的基本规律弄懂，那么我们可以简单快速地求解物理量变化率的瞬时值（导数）了。同学们可以课后推导以下公式： 导数的四则运算 = = d(uv)d t dud t dvd t = v + u

8、d(uv)d t dud t dvd tuv 常见函数的导数 =0(C 为常数)； =-sint；dCdt dcostdt =ntn-1 (n 为实数)； =et；dtndt detdt =cost； dsintdt 复合函数的导数 物理竞赛讲义南丰一中彭定辉编写4PQQ0Q 1q在数学上，把 u=u(v(t)称为复合函数，即以函数 v(t)为 u(x)的自变量。 = du(v(t)d t du(v(t)d v(t) dv(t)d t复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数称为链式法则。【练】1、某弹簧振子在 X 轴 上做直线运动，其位移 x 与时间 t

9、 的关系为x=Asint，即，质点在坐标原点附近往复运动，最大位移为 A（A 称为振幅），周期为 （ 称为角频率），物理上把这种运动叫简谐运动。请完成以下几问：2求出 t 时刻的速度 v写出合力 F 与位移 x 的关系验证简谐运 动中质点的机械能守恒。【练】2、某矩形线框面积为 S，匝数为 N，处于磁感应强度为 B 的匀强磁场中，如图所示，线框绕 PQ 轴以角速度 匀速转动，从水平位置开始 计时，在 t 时刻：写出磁通量 的表达式求出线框产生的感应电动势 (计算完后自行与阳光课堂P40【点拨】部分对照)三：微分和积分 简单问题【例】电容器是一种存储电荷的元件，它的基本工作方式为充电和放电，我们

10、先考察电容器放电时的情况。某电容为 C 的电容器，其已充电的电量为 Q0，若 让该电容与另一个阻值为 R 的的电阻串联起来，该电容器将会放电，其释放的电能转化电阻的焦耳热（内能）。试讨论，放电时流过电阻 R 的电流随时间 t 的变化关系如何？物理竞赛讲义南丰一中彭定辉编写5分析：根据电荷守恒定律，当通过电阻 R 的电量为 q 时，电容器的电量从 Q0变成 Q1，满足 Q0=Q1+q ，即 q=Q0-Q1 ；流过电阻 R 的电流 i 与通过电阻 R 的电量 q 满足关系式：i=dqd t根据电容电量公式 Q=CU,有 Q1=CU=CRi ，那么 q= Q0- CRi ；联立上式，有 i= = =

11、 - CRdqd td(Q0- CRi)d t did t进行公式变形，令 x= - ,则有 i= - CR = tCR did t didx同学们思考一下，i 应该是什么函数，才能满足 i= ？，或者说什么函数的导数等于函didx数本身？我们观察到，只有 y=Cex 形式的函数才满足 i= 关系，C 为待定常数。didx故可以知道，i = Ce x = Ce-t/CR当 t=0 时，U 0= ， i 0= = ；而把 t=0 代人，得 i = Ce-t/CR=C；故 C=Q0C U0R Q0CR Q0CR所以，流过电阻 R 的电流随时间 t 的变化关系为：i = e-t/CRQ0CR【练】对

12、于上例电容器放电问题，试讨论，放 电时电容器的电量 Q 随时间 t 的变化关系如何？微分1、从上面式子可以看出，理论上虽然我们说是要经过无穷长的时间电容才放完电，电流为零，但实际上只需要电流减少足够小时，电流计就检测不到有电流了。2、对于 i= - CR 或 i= ，我们称之为微分方程，最直观的解决方法是观察有哪些函did t didx数满足该微分方程的函数关系，当然，我们要注意比如上题中的 t=0 之类的初始条件。3、一般来说，微积分可以帮助同学们深刻理解物理概念和公式，但微元法可以帮助同学们更细致地明了物理过程。下面我们用微元法的方式来处理这个问题。在t 的时间内，通过电阻 R 的电量为q

13、。虽然电流随时间发生变化，但在很短的时间t 内，可以认为电流几乎不变，当成恒定电流处理，故有q= it 。对电容有 Q=CU=CiR，Q=i；由电量守恒，物理竞赛讲义南丰一中彭定辉编写6Q= q ，故iti，然后把“”形式改写成微积分语言的“d”形式，就有idtdi （dt 和 di 称之为微分） ,数学变形为 i= - CR ，即以上解法中的微分didt方程。微分与导数有什么关系呢？对某自变量为时间 t 的函数 F(t)，它的极其微小的变化，我们记它为微分 dF，它与时间微分 dt 满足关系式：dF= dt，其中 为 F 对 t 的导数。dFdt dFdt下面是常见的微分公式与微分运算法则：

14、 0dc1ndxsincosx osinxxeduvd dcuduvv2积分在上例问题中，在t 的时间内，通过电阻 R 的电量为q= it，q 称为电量微元。如果我们把 0 到 t 时间内的q 加起来，用求和符号“”表示，则有：q=it。由于t=Nt,当t 取无穷小时，那么 it 就有 N个，也就是，我们要把无穷个 it 进行相加操作，为了方便，我们用微积分符号 表示 q= it= ，称为对 i 在时间idt0limtidt上求积分。我们来看一下这么做有什么意义：从几何上看，对于 i-t 图像，q= it=0litit就是图像中的面积。对于恒定电流，很简单，q= it，即小块矩形面积；对于变化

15、的电流，用q= it 来计算，发现有一小块近似三角形面积的误差，不过当我们取当t 取无穷小时，用极限处理后，该误差会无穷逼近零，可以忽略不计，那么计算的面积就无限精确接近实际面积了。前面我们求导用了 i= ，积分用了 q=dqdt物理竞赛讲义南丰一中彭定辉编写7。可以看出，从某种程度上说，积分实际是求导的逆运算，比如：q=Q 0-Q=Q0(1-e-idtt/CR), i = e-t/CR 满足求导和积分的运算关系 i= 、q= 。Q0CR dqd t it对于一般函数 F，如果有 f= ，那么就有 =F+C。请思考，为什么积分中会出dFdt ft现常数 C？下面是常见的积分公式，请同学们对照求

16、导公式理解： kdxc 1nxdc f osinsios xxedc现在我们用微积分书写方式来来解答上题。由 Q0=Q+q ；Q=Q0-q ；则 dQ= - dq = - idt= - dt= - dt ；UR QCR即 = - dt ；dQQ 1CR对等号两边积分： = ；d1t有 lnQ = - C， 或 者 Q=Ce-t/CR ；tCR当 t=0 时，Q(0)=C=Q 0 ；所以电容器电量为 Q= Q0e-t/CR 。 定积分【例】某质点在 X 轴上做直线运动，其速度 v 满足函数关系 v=3t2,求从 t=1s 到t=3s 时间 内质点发生的位移。怎么来求 呢？我们知道1dQ=et，d

17、etd t令 F(t)= et，有 t=lnF；则有 =F， 即 =dt=d(lnF) ；dFd t dFF那么 = = lnQ+C。1Ql=？请同学们自己推导。物理竞赛讲义南丰一中彭定辉编写8分析：在 dt 时间内，质点可以认为做匀速直线运动，即 ds=vdt,那么对等号两边积分，有 ，则有：s= t 3 +C ；23dsvtd现在有问题了：当 t=0 时，S(0)等于多少我们不知道！而且已知条件中的时间“从 t=1s 到 t=3s”也没有用上！下面我们从物理上考察 C 这个常数的意义。t=0 时，s(0)=C。当我们令 C=0 时，相当于质点在零时刻从坐标原点开始运动；当我们令 C=1 时

18、，相当于质点在零时刻从坐标位置 X=1m 处开始运动；。我们发现，C 这常数的取值相当于选取观察质点运动的静止参考系位置，然而所求的从 t=1s 到 t=3s 时间内质点发生的位移应该与所选取的静止参考系无关，也就是对任意静止参考系，质点发生的位移应该是一致的，如图所示。那么我们就随便选取某一参考系，使质点在零时刻从坐标位置 X=Cm 处开始运动，则位移与时间的函数关系式为：s(t)= t3 +C。题目中所求的 1 到 3 秒的位移为：s1=s(3)-s(1)=（3 3+C）-（1 3+C）=8m 。题目中所要求的位移（速度积分）与积分式=F+C 中的 C 无关，当要求 t=t1到 t=t2时

19、间内fdt位移时，s(t 1t 2)=s(t2) - s(t2)。这个相当于我们用s=vt 来求 v-t 图像中的从 t=t1到 t=t2范围内的面积。我们用一种简单符号表示这种关系： =F(b) F(a)。这种积分叫定积分。badtf【练】1、已知导线中的电流按 I = t3-0.5t+6 的规律随时间 t 变化，式中电流和时间的单位分别为 A 和 s。计算在 t =1s 到 t =3s 的时间内通过导线截面的电荷量。【练】2、某质量为 m 的均匀细杆， 长为 L，绕其一端点做角速度 为 的匀速转动，试求其动能。【练】3、某弹簧劲度系数为 K，原 长为 L，若将弹簧从 2L 长拉伸至 3L

20、长处，问应克服弹簧弹力做多少功？物理竞赛讲义南丰一中彭定辉编写9【练】4、对于某电路，通过电阻 R=2 的电流 i=2t+1(A)，问从 t=0 时刻开始经过 4s 后，电阻产生的焦耳热是多少？四：课后习题1、质量为 2kg 的某物体在平面直角坐标系中运动，已知其 x 轴上的坐标为x=3+5cos2t，y 轴上的坐标为 y=-4+5sin2t，t 为时间物理量，问：物体的速度是多少？物体所受的合外力是多少?该物体做什么样的运动？能否找出该物体运动的特征物理量吗？2、一质点在某水平力 F 的作用下做直线运动，该力做功 W 与位移 x 的关系为 W=3x-2x2,试问当位移 x 为多少时 F 变为

21、零。3、已知在距离点电荷 Q 为 r 处点的场强大小为 E= ,KQr2请验证点处的电势公式为：U = 。KQr4、某复合材料制成的一细杆 OP 长为 L，其质量分布不均匀。在杆上距离 O 端点为 x 处取点 A，令 M 为细杆上 OA 段的质量。已知 M 为 x 的函数，函数关系为 M=kx2，现定义线密度= ,问当 x= 处 B 点的线密度为何？dMdx L25、某弹簧振子的总能量为 210-5J，当振动物体离开平衡位置 振幅处，其势能 EP= 12，动能 Ek= 。6、取无穷远处电势为零。若将对电容器充电等效成把电荷从无穷远处移到电容器极板上，试问，用电压 U 对电容为 C 的电容器充电，电容器存储的电能为何？开始时电容器存放的电荷量为零。7、在光滑的平行导轨的右端连接一阻值为 R 的电阻，导轨宽度为 L，整个导轨水平放置在方向竖直向下的磁场中，磁场的磁感应强度为 B。有一导体棒 ab 垂直轨杆并停放在导轨上，导体棒与导轨有良好的接触。在 t=0 时刻，给导体棒一水平向左的初速度 V0，若物理竞赛讲义南丰一中彭定辉编写10其他电阻不计，则求导体棒的速度 v 随时间 t 的函数表达式；求导体棒从开始运动到停下为止，其滑行的总位移 S；求导体棒在运动过程中产生的感应电流 I 随时间 t 的函数关系；求全过程中流过导体棒的总电荷 Q。