1、 学 号 14121401576 Hunan Institute of Science and Technology 本科 毕业论 文 题目 ： 关于不定积分解题思路的探讨 作 者 何 宇 届 别 2017 系 别 数学学院 专 业 数学与应用数学 指导教师 罗德仁 职 称 讲 师 完成时间 2017年 5月 关于不定积分解题思路的探讨 On the resolving idea of indefinite integral 专 业 : 数学与应用数 学 作 者 : 何宇 指导老师 : 罗德仁 湖南理工学院数学学院 二一 七 年五月 岳阳 湖南理工学院 本科毕业论文 I 摘 要 不定积分是求定
2、积分的基础 , 在一元微积分学中占有重要地位 . 学好不定积分 , 对于导数和微分学中其他相关知识的巩固很有帮助 . 求解不定积分常用的方法主要有 : 基本公式法 , 换元积分 法 , 分部积分法 , 有理函数的积分法 . 如何快速找到解题的突破口 , 灵活使用各类方法是关键 . 我们从被积函数的特点出发 , 从易到难 , 对不定积分进行多角度的观察和分析 , 比较各类积分法 , 发现和总结规律 , 提高不定积分解题能力 . 关键词 : 不定积分 ; 基本公式法 ; 换元积分法 ; 分部积分法 ; 有理函数的积分法 湖南理工学院 本科毕业论文 II Abstract Indefinite in
3、tegral is the foundation of definite integral, it occupies an important position in unitary differential calculus. Grasp the solving methods of indefinite integral is helping to derivative and other relevant knowledge. Several methods of solving indefinite integral are frequently used, such as basic
4、 formula method, change the variable, integration by parts, primitives of rational functions. What matters is how to quickly find the ideas of subject and flexibly use various method. We observed and analysised the indefinite integral multi-angle, on the characteristics of integrand, from simple to
5、difficult, compare various methods, sum up the laws, improve solving ability of the indefinite integral problem . Keywords:indefinite integral; basic formula method; change the variable; integration by parts;integration by parts primitives of rational functions 湖南理工学院 本科毕业论文 目 录 摘 要 . I Abstract. II
6、 0 引言 . 1 1 原函数与不定积分 . 1 1.1 原函数存在定理 . 1 1.2 不定积分的定义 . 2 2 不定积分的计算方法 . 2 2.1 基本公式法 . 2 2.1.1 不定积分线性运算法则 . 2 2.1.2 基本积分公式及基本公式法 . 3 2.2 第一换元积分法 . 4 2.2.1 观察法和联合“凑”微分 . 4 2.2.2 多次“凑”微分 . 6 2.3 第二换元积分法 . 6 2.3.1 根式代换法 . 7 2.3.2 三角代换法 . 7 2.3.3 倒代换法 . 8 2.4 分部积分法 . 9 2.4.1 幂三指两两相乘 u,v 的选取 . 9 2.4.2 幂对反两
7、两相乘 u,v 的选取 . 10 2.5 有理函数的积分 . 12 2.5.1 六个基本积分 . 12 2.5.2 待定系数法 . 13 参考文献 . 15 湖南理工学院 本科毕业论文 第 1 页 , 共 15 页 0 引言 不定积分与定积分构成一元函数积分学 . 现实中许多问题 , 如 : 已知 加速度求速度 ; 已知 速度求路程 等 都与不定积分有关 , 这些求导的逆运算便是不定积分的求解 . 首先第1 章 第 1 节 我们利用变上限积分的定义和 积分 第一中值定理 , 证明原函数的存在定理 , 1.2 节给出了不定积分的定义并总结了不定积分和原函数之间的关系 . 第 2 章在给出不定积分
8、各类解题方法的基础上 , 就解题思路和方法的选取技巧作进一步探讨 . 1 原函 数与不定积分 1.1 原函数存在定理 定义 1.1 设函数 ()Fx与 ()fx区间 I 上都有定义 .若 ( ) ( ) , ,F x f x x I (1.1) 则称 ()Fx为 ()fx在 I 区间上的一个原函数 . 定义 1.2 设 ()fx在 ,ab 上可积 , 由可积的充要条件可知 , 对任意的 ,x ab ()fx在 ,ax 上也可积 , 定义变上限积分 ( ) ( ) ( ) ,xadx f t d t f xdx ,.x ab(1.2) 定理 1.1 若 ()fx在 ,ab 上连续 , 则由上式（
9、 1.1）所定义的函数在 ,ab 上处处 可导 , 有 ( ) ( ) ( ) ,xadx f t d t f xdx ,.x ab (1.3) 证 对任一确定的 ,x ab 当 0xx 且 ,x x a b 时 , 由上式和积分第一中值 , 存在 使得 1 ( ) ( ) ,xxx f t d t f x xxx 0 1. (1.4) 因 ()fx在 x 处连续 , 故有 湖南理工学院 本科毕业论文 第 2 页 , 共 15 页 00( ) l i m l i m ( ) ( ) .xxx f x x f xx (1.5)由 x 的任意性 , 知 ()x 是 ()fx在 ,ab 上的原函数
10、. 1.2 不定积分的定义 定义 1.3 函数 ()fx在区间 I 上 的全体原函数称为 ()fx在 区间 I 上 的不定积分，记作 ( ) ,f x dx (1.6) 其中称 为积分号 , ()fx为被积函数 , ()f xdx 为被积表达式 , x 为积分变量 , (1.6)在使用时要看成一个整体 . 由定义 3 可知，不定积分和原函数是个体和总体的关系 , 即如果 ()Fx为 ()fx的一个原函数那么 ()fx的不定积分是一个函数族 ( ) ,F x C 其中 C 为任意常数 , 记作 ( ) ( ) .f x dx F x C (1.7) 不难发现 , ( ) = ( ) ( ) ,f
11、 x d x F x C f x (1.8) ( ) ( ) ( ) .d f x dx d F x C f x dx (1.9) 显然 , “存在原函数 ” 和 “存在不定积分 ” 说法是一样的 . 2 不定积分的计算方法 2.1 基本公式法 2.1.1 不定 积分线性运算法则 我们平时做题都会发现 , 求导相对求原函数要简单很多 . 因为导数的定义具有构造性 , 而原函数的定义只告诉我们 , 它的导数恰好等于某个已知的函数 , 并没有给出由已知函数求原函数的具体形式和途径 .下面先讲述怎样由导数线性运算法则来求不定积分的线性运算法则 : 定理 2.1 函数 ()fx和 ()gx 在区间 I
12、 上都存在原函数 , 12,cc为任意常数，则湖南理工学院 本科毕业论文 第 3 页 , 共 15 页 12( ) ( )c f x c g x 在 I 上也存在原函数 , 且当 12,cc不同为零时 , 有 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) .c f x c g x dx c f x dx c g x dx (2.1) 证 由导数的基本性质可知 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .c f x d x c g x d x c f x d x c g x d x c f x c g x 2.1.2 基本积分公式及基本公式法 上表便是常用的积分公式
13、. 如果遇到被积函数和公式里的一样 , 便可以直接利用公式 ; 但很多时候我们遇到的被积函数有所变化 , 这时我们要 将被积函数变形为积分公式中被积函数的代数和运算及数乘运算 .我们将这种方法称为积分基本公式 . 例 1 求4dxxx. 分析 : 被积函数显然是一个幂函数 , 通过化简便能利用积分公式直接求解 . 解 4dxxx54x dx5 145 14x C144xC 44 Cx .例 2 求 11()xxdx . 分析 : 被积函数是两个带根号的分式 , 并且两个分母不同 , 但我们观察可以发现幂函数 adx ax C 11aa xx dx Ca a为常数 , a -1指数函数 xxe
14、dx e C 1lnxxa dx a Ca a 0 , a 1 三角函数 si n c osxdx x C cos sinxdx x C 2se c ta nxdx x C 2c sc c otxdx x C se c ta n se cx xdx x Cc sc c ot c scx xdx x C 对数及反三角函数 1 ln | |dx x Cx 21 a r c sin xd x Caax 2211 a r c ta n xd x Ca x a a 湖南理工学院 本科毕业论文 第 4 页 , 共 15 页 (1 )(1 )xx的乘积恰好是 21x , 这不正好是我们积分公式里21 dxa
15、x 的形式吗 ? 因此可将分子分母同乘一个数再化简求解 . 解 11()xxdx22(1 ) (1 )()11xx dx2(1 ) (1 )1xxdxx 221 dxx 2arcsinxC. 求解不定积分的基本思路是 : 先将被积函数变形为积分公式中被积函数的代数和运算及数乘运算 , 然后应用不定积分的基本积分公式和线性运算法则来求解 . 2.2 第一换元 积分法 定理 2.2 设 ( ) ( ) , ( )f u du F u C u x 是可微函数 , 则 ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) .f x x dx F x C (2.2) 上面求不定积分的方法称之为第一换元法 , 也叫 “
16、凑 ” 微分法 . 运用公式 (2.2), 关键在于寻找合适的 ()x , 使 ()x 与 dx 凑微分 , 然后进行换元 , 故这种方法又称为 “凑 ” 微分法 . 使用第一换元法的基本步骤是 : ()gxdx 观 察 ( ( ) ( )f x x dx 凑 微 分 ( ( ) ( )f x d x ()xu 令 ()f udu 积 分 ()Fu C ()ux代 回 ( ( ) .F x C 2.2.1 观察法和联合“凑”微分 有的被积函数通过观察便能很快 “凑 ” 出来 , 比如以下的这种 : 湖南理工学院 本科毕业论文 第 5 页 , 共 15 页 例 3 ( ln ) ( ln ) (
17、 ln )fx d x f x d xx ;( c os ) sin ( c os ) ( c os )f x x dx f x d x; 2( c ot ) c sc ( c ot ) ( c ot )f x x dx f x d x; ( c sc ) c sc c ot ( c sc ) ( c sc )f x x x dx f x d x. 第一个式子中的 1x 能 “凑 ” 成 ln|x 的微分 , 即 1 (ln | |) (ln | |)x d xx . 中间变量 lnx 便是 (2.2)中 的 ()x .其余式子与此类似 . 而有的被积函数则比较复杂 , 再看一个例题 : 例
18、4 求21 ln( ln )x dxxx. 分析 : 初看来无法下手 , 但通过观察和推敲可以发现 , 对分母中 lnxx进行求导 , 有( ln ) 1 lnx x x . 故需将 lnxx与 dx 凑微分 , 称为联合凑微分法 . 解 由 ( ln ) 1 lnx x x , 则 21 ln( ln )x dxxx 2ln( ln )dx xxx 1ln Cxx . 我们再看一个例子 : 例 5 求3cos 2 .(si n cos )x dxxx 分析 : 被积函数中分母为一个和式的高次幂 , 和式应当成一个整体 , 再看分子 , 可以转化为与和式相关的式子 . 解 cos 2(sin cos )x dxxx 223cos si n(si n cos )xxdx 32c os si n(si n c os )(si n c os )(si n c os )1.si n c osdxxxd x xdxxxCxx
