1、复杂二次分式函数极值的快速解法在高考中,我们经常会碰到二次分式函数问题, 这类问题通常比较麻烦, 有时运算量很大,很难在短时间内解决.所以本文将研究求解二次分式函数单调性,值域,极值的简便方法.希望能得到一个极值通用公式, 以便在考试中套用, 节约时间.二次分式函数具有形式 .2(,() 0)AxBCyfDEF不 同 时 为我们将要研究它的定义域,值域, 单调性,极值.1. 定义域和有界性,设 .则函数定义20DxEF当 方 程 有 解 1220(=xx)是 两 个 根域 .当 .12|R1 220,lim,limx xABCABC或此时函数无界.当 ,函数有界且为常值函数(很少遇到21=x且
2、的情况,比如 ).所以通常当 ,二次分式函数是无界的. 2y240EDF12,x是函数的渐近线.当 ,函数定义域为 .函数有界.240EDFR2. 单调性,极值,值域当 , ,可以将函数化为220xEF. .对于2=yABxxC的 方 程 2B0DyAxEyFC即值域中的每一个 y,方程都有实数解, .这样,=0,y当 验 当 证 是 否 有 解就可以求出值域.值域的两个端点(方程的两个解) 为函数极大值和极小值 .但为了计算在何处取得极值,需将极值代入 函数解出 ,计算可能有点2xDxEFyx慢.下文会给出一个简便的计算方法.,根据极值与 的大小即可判断单调区间. 这种情况最多有三lim()
3、xAf 240D个单调区间.当 ,用判别式法可能会产生增根.此时通常会解出 .出现这种情况,求解240EDF yR和 .分式可化为一次分式,根据定义去求出这个一次分x20AxBC式值域.比如 221113122xxxy x且,00.|xy取 所 以 函 数 值 域 且分离变量和换元再用基本不等式求解也是解决二次分式的常规方法,再.下面给出一个具体例子.首先定义域 解得235xy 2|50x.分离分子中的二次项得 .11)| (2x 26135xy.代入得36,6ttx令2 22135113663716839yxtttt22011326736781678399,01132673367816789
4、9,tytt txyttx 当当 取 等 号当当 取 等 号函数值域 3126731267(-,)(,+)根据 ,23ml35ix1671267-23321可判断出单调区间1 1(-,367),(1367,2),(2,+),2,3676 增 区 间减 区 间共有 5 个单调区间顺便再算一下函数零点 212130=,=36xxx解 得有了这些信息,我们很容易画出函数大致图像通过这样一个例子,我们意识到, 如果在考试中碰到这样的函数,分离变量换元的方法计算量非常大并且需要一定的技巧,浪费了我们很多的时间.而判别式法只能求极值和值域,对于何处取极值,还需将极值代入原函数.对于上面的例子, 直接代会函
5、数运算过于复杂对于一些简单二次分式函数,分离变量是可行的, 并且非常快.但是对于像上面这种二次分式函数,我们找到需要一种计算量很小的方法.二次分式函数极值公式很多老师不赞成用导数计算二次分式函数极值.但为了找到一个简便公式,我们必须通过导数来研究二次分式函数. 2()AxBCfDEF22 222)()()(D)()xABxCEf EFABxD我们只关心导数的符号,导数分母是个正数, 我们记分子.函数取极值时 .2ExAFCNxEBF()0,Nfx即我们只需解方程 即可得到函数取极值时的2BCx 值.为了防止错误 ,最好验证的得到的 x 值是否在定义域内.将方程系数与 比较.发现 N 可以写成三
6、阶行列式 .2AxDEF.这样就很容易记住了.21NBC对于上面的例子 , 235xy 221305176xNx解得 .这种方法比分离变量快多了.12=67,=167x要求单调区间,由于 N 的符号和 相同, 大致画出 的图像,只需画出开口方向,标出()fxyN零点和渐近线即可确定单调区间.由此可知二次分式函数最多可有 5 个单调区间.如果要求极值,把 x 代入函数211236736712367)5(f计算量很大,对于 x 很复杂的情况建议用判别式求值域.想到取极值时的 x 值可用方程 表示,我们也找到一个关于 y 的方程.0N联立 ,消去 x 整理得22 0AxBCyDEFAEB2 24 4
7、FyA.22BC二 次 项 系 数 和 常 数 项 正 好 为 分 母 和 分 子 的 判 别 式我们只需特别记住一次项系数 .比较 发现这一项也挺好4AFDE2xBCF记的:二次项系数与常数项系数积的和的 4 倍减一次项系数积的两倍对于上面的例子,将系数代入该方程得 解得2360=1y.121367,72yy根据已求出的单调区间, 比较 和极值的大小即可区分极大值和极小值.AD我们重新回顾判别式求值域的方法. 2B0xyxEyFC的解即为极值.24=0EyByFC重新整理方程可得 和刚才的到的2 224244=ABAyDy方程是一样的.说明导数和判别式这两种方法是等价的.在考试中,我们碰到的
8、二次分式函数定义域不是根据函数本身的得出的,而是已知条件给定的.在特定的定义域内求解函数值域时,用判别式求解可能会放大值域.但我们能可用判别式求出极值.再用 和渐近线求出单调区间进而求出值域.=0N下面给出一道有二次分式函数应用的高考例题.(2013 浙江) 如图,点 是椭圆 的一个顶点, 的长轴是P(,1)12:(0)bxyCa=1C圆 的直径 . 是过点 P 且互相垂直的两条直线,其中 交圆2:4Cxy=1,l 1l22, D.ABl与 两 点 交 椭 圆 与 与 另 一 点(1) 求椭圆 的方程;1(2) 求 面积取最大值的直线 的方程;C1l第一问 2:14xCy设 12:(R) ,:1lklxkO 到 AB 距离 , .21d22344kABd设 212C40xkl代 入 得 12(,)(,)PxyD( 套用圆锥曲线硬解定理 )2:0ly12221122 2284()| 4()(4)=()814kxDPxxkkkk形 式 而 已套 用 圆 锥 曲 线 硬 解 定 理222118|4343481kSDPkABk接下来是关键了,用我们的公式来算. 2428416t=k(30),SktS令 21436408tNt5,210tk1:lyx现在算最大面积.代公式28463t22 24 40EDFyACDBEyACmax130()068yyS
