1、1 / 18全等三角形辅助线系列之一与角平分线有关的辅助线作法大全一、角平分线类辅助线作法角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等对于有角平分线的辅助线的作法，一般有以下四种1、角分线上点向角两边作垂线构全等：过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题；2、截取构全等利用对称性，在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形；3、延长垂线段题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形；4、做平行线：以角分线上一点做角的另一边的平行线，构造等腰三角形有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从
2、而构造等腰三角形或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件一一一一 QPO NMPO NMBAABMNO PPO NMBA2 / 18典型例题精讲【例 1】 如图所示，BN 平分 ABC ，P 为 BN 上的一点，并且 PDBC 于 D， 2ABC求证： 180BAC AB CDPN【解析】过点 P 作 PEAB 于点 EPEAB，PDBC，BN 平分ABC， PED在 RtPBE 和 RtPBC 中，BPEDRtPBERtPBC（
3、HL） ， BED ， ， ， 2ABCCAEACDPEAB，PDBC， 90P在PAE 和 RtPCD 中， ，PEDBCAPAERtPCD， PBEA ， 180BPE180CP【答案】见解析 NPEDCBA3 / 18【例 2】 如图，已知： ，ADBC ，P 是 AB 的中点，PD 平分ADC，求证：CP 平分90ADCBPDCBA【解析】因为已知 PD 平分 ADC，所以我们过 P 点作 PECD，垂足为 E，则 ，由 P 是 ABA的中点，得 ，即 CP 平分DCBPBE【答案】作 PECD，垂足为 E， ，90CAPD 平分ADC， ，P又 ， ，90BPCB点 P 在DCB 的
4、平分线上，CP 平分DCB AB CDP E【例 3】 已知： ，OM 是AOB 的平分线，将三角板的直角顶点 P 在射线 OM 上滑动，90AOB两直角边分别与 OA、OB 交于 C、D4 / 18（1）PC 和 PD 有怎样的数量关系是_（2）请你证明（1）得出的结论【解析】 （1） PCD（2）过 P 分别作 PEOB 于 E，PFOA 于 F， ，90FEOM 是AOB 的平分线， ，P ，且 ， ，190PD90AOB90FPE ， ，2F12在CFP 和DEP 中， CFPDEP， 12CPDEF PCD【答案】见解析【例 4】 如图，OP 是MON 的平分线，请你利用该图形画一对
5、以 OP 所在直线为对称轴的全等三角形请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC 中，ACB 是直角， ，AD、CE 分别是BAC 、BCA 的60B平分线，AD、CE 相交于点 F，请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系（不需证明） ；（2）如图，在ABC 中， ，请问，在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，60B请证明；若不成立，请说明理由【解析】如图所示；5 / 18（1） FED（2）如图，过点 F 作 FGAB 于 G，作 FHBC 于 H，作 FKAC 于 K，AD、CE 分别是BAC 、BCA 的平分线， ，F在四边形 BGFH 中， ，3609
6、210HAD、CE 分别是BAC 、BCA 的平分线， ，6B 18062FAC在AFC 中， ，18062FAC ， ，10EDEGDH在EFG 和 DFH 中， EFGDFH，FGHE FE【答案】见解析【 例 5】 已知 ，AC 平分MAN ，点 B、D 分别在 AN、AM 上120MAN（1）如图 1，若 ，请你探索线段 AD、AB、AC 之间的数量关系，并证90BCD明之；（2）如图 2，若 ，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；8若不成立，请说明理由【解析】 （1）得到 后再可以证得 ，从而，证得结论；30ACDB12ADBC6 / 18（2）过点 C 分别作 AM、A
7、N 的垂线，垂足分别为 E、F，证得 CEDCFB 后即可得到，从而证得结论ADBEAFBEA【答案】 （1）关系是： 证明：AC 平分MAN， 120MN 60CADB又 ，9 30则 （直角三角形一锐角为 30，则它所对直角边为斜边一半）12ADBC ；（2）仍成立证明：过点 C 分别作 AM、AN 的垂线，垂足分别为 E、FAC 平分 MAN （角平分线上点到角两边距离相等）EF ，180ABCD180ACDE 又 ，90EFCEDCFB（AAS） ，DB AEAFBEAF由（1）知 ，C DB7 / 18【例 6】 如图，在ABC 中， ，AD 平分BAC，求证： 2CBABCDAB
8、CD【解析】在 AB 上截取点 E，使得 ACAD 平分 BAC， ，DADEADC（SAS） ， ED ， 2CB=2AEB ， ， DB C【答案】见解析EDCB A【例 7】 如图， 中， ， ， 平分 交 于 点求证：ABCA108BDACDAB CD【解析】在 上截取 点使 ，连结 BCEBADE 平分 ， D8 / 18在 与 中ABDE ， ， BD ， AE ， ， 72C又 ，361854ADB ，CEC ， AD【答案】见解析EDCBA【例 8】 已知 中， ， 、 分别平分 和 ， 、 交于点 ，试判ABC60BDCEABCCO断 、 、 的数量关系，并加以证明ED OE
9、DCBA【解析】在 上截取一点 使得 ，易证 ，在根据 推出BCFBEBOF 120C，再证明 即可60OECFD【答案】 DFOEDCBA【例 9】 如图：已知 AD 为ABC 的中线，且 ， ，求证： 1234EC9 / 18AB CDE F1234【解析】在 DA 上截取 ，连接 NE，NF，则 ，DNBDNC在DBE 和 DNE 中： 12EDDBEDNE（SAS） ， BEN同理可得： CF在EFN 中， （三角形两边之和大于第三边）N BE【答案】见解析4321NFEDCBA【例 10】 已知：在四边形 ABCD 中， ， ，且 ，BD 平分BCA180C60ABC，求证： BCA
10、D【解析】在 BC 上截取 ，BEABD 平分 ABC， ，DEB10 / 18在BAD 和 BED 中，BAEDBADBED， ， ADEB ， 180BEC180C ， A ，CDE 是等边三角形，60 ， DECBECBD【答案】见解析【例 11】 观察、猜想、探究：在ABC 中， 2ACB（1）如图，当 ，AD 为BAC 的角平分线时，求证： ；90 ABCD（2）如图，当 ，AD 为BAC 的角平分线时，线段 AB、AC、CD 又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（3）如图，当 AD 为ABC 的外角平分线时，线段 AB、AC、CD 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明【解析】 （1）过 D 作 DEAB，交 AB 于点 E，理由角平分线性质得到 ED=CD，利用 HL 得到直角三角形 AED 与直角三角形 ACD 全等，由全等三角形的对应边相等，对应角相等，得到， ，由 ，利用等量代换及外角性质得到一对角相等，AECACB2B利用等角对等边得到 ，由 ，等量代换即可得证；EDAE
