1、1 1倍长中线（线段）造全等前言：要求证的两条线段 AC、BF 不在两个全等的三角形中，因此证 AC=BF 困难，考虑能否通过辅助线把AC、BF 转化到同一个三角形中，由 AD 是中线，常采用中线倍长法，故延长 AD 到 G，使 DG=AD，连 BG，再通过全等三角形和等线段代换即可证出。1、已知：如图，AD 是ABC 的中线，BE 交 AC 于E，交 AD 于 F，且 AE=EF，求证：AC=BFAB CDEF2、已知在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD上一点，且 BE=AC，延长 BE 交 AC 于 F，求证：AF=EFFEDAB C3、已知，如图ABC 中，AB=5，A
2、C=3，则中线 AD 的取值范围是_. D CBA4、在ABC 中,AC=5,中线 AD=7，则 AB 边的取值范围是( )A、1AB29 B、4AB24 C、5AB19 D、9AB195、已知：AD、AE 分别是ABC 和ABD 的中线，且BA=BD， 求证：AE= AC21AB CDE6、如图，ABC 中，BD=DC=AC，E 是 DC 的中点，求证：AD 平分BAE.ED CBA7、已知 CD=AB，BDA=BAD，AE 是ABD 的中线，求证：C=BAEAB CDE8、如图 23，ABC 中，D 是 BC 的中点，过 D 点的直线GF 交 AC 于 F，交 AC 的平行线 BG 于 G
3、 点，DEDF，交 AB 于点 E，连结 EG、EF. 求证：BG=CF 请你判断 BE+CF 与 EF 的大小关系，并说明理由。2 24321DEAB CED CBA12图 4-2FD CBA1 2图 4-3ADB CE9、如图，AD 为 的中线，DE 平分 交 ABABCBDA于 E，DF 平分 交 AC 于 F. 求证：DFB一 14 一一 DFCBEA10、如图，ABC 中，E、F 分别在 AB、AC 上，DEDF，D 是中点，试比较 BE+CF 与 EF 的大小.EDFCBA11、已知：如图，在 中， ，D 、E 在ABBC 上，且 DE=EC，过 D 作 交 AE 于点F/F，DF
4、=AC.求证：AE 平分 C一 1 一一 ABFD E C截长补短1、已知，四边形 ABCD 中，ABCD，12，34。求证：BCABCD。2、如图，ADBC ，点 E 在线段 AB 上，ADE=CDE，DCE= ECB.求证：CD=AD+BC.3、已知：如图，在ABC 中，C 2B，12.求证：AB=AC+CD.D CBA123、如图，在ABC 中，BAC=60， AD 是BAC 的平分线，且 AC=AB+BD，求ABC 的度数 D CBA4、如图，已知在ABC 中，B=60，ABC 的角平分线 AD,CE 相交于点 O，求证：OE=OD3 3OED CBA5、已知 中， ， 、 分别平分A
5、BC60BDCE和 ， 、 交于点 ，试判断 、. OB、 的数量关系，并加以证明D6、如图，已知在 内，ABC， ，P，Q 分别在 BC，CA 上，004并且 AP，BQ 分别是 ， 的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BPPQCBA7、如图在ABC 中，ABAC，12，P 为 AD 上任意一点，求证;AB-ACPB-PCP21D CBA8、如图，点 为正三角形 的边 所在直线上的MAB任意一点(点 除外)，作 ，射线 与60NMN外角的平分线交于点 ， 与 有怎样的数A D量关系?角平分线上的点向角两边引垂线段1、如图，在四边形 ABCD 中，BCBA,ADCD，求证：BAD+C=180D
6、CBA2、如图，四边形 ABCD 中，AC 平分BAD，CEAB 于 E，AD+AB=2AE，则B 与ADC 互补.为什么？DBEACNEBMADDOECBA4 4一一一4321PAB C3、如图 4，在ABC 中，BD=CD，ABD=ACD,求证 AD平分BAC.AB CD4、如图，在ABC 中，ABC=100，ACB=20 ，CE 平分ACB，D 是 AC 上一点，若CBD=20，求ADE 的度数.作业：已知，ABAD，12，CDBC。求证：ADCB180。 一一21CBAD作业：如图，在ABC 中ABC,ACB 的外角平分线交 P.求证:AP 是BAC 的角平分线作业：如图,B=C=90
7、,AM 平分DAB,DM 平分ADC 求证:点 M 为 BC 的中点连接法（构造全等三角形）作业：已知：如图所示，ABAD，BCDC，E、F 分别是 DC、BC 的中点，求证： AEAF 。DBCcAFE1、如图，直线 AD 与 BC 相交于点 O，且AC=BD，AD=BC求证：CO=DO AODCB2、已知：如图 16，AB=AE，BC=ED ，点 F 是 CD 的中点，AFCD 求证： B=E 5 5AF DCB E3、如图 11-30，已知 ABAE，BE ，BCED，点 F 是 CD 的中点.求证：AFCD. FEDCBA4、在正 内取一点 ，使 ，在 外ABADBC取一点 ，使 ，且
8、 ，求 .ECEE5、如图所示，BD=DC,DEBC,交BAC的平分线于E，EMAB,EN AC,求证：BM=CNACNEMB D6、如图，在ABD 和ACD 中，AB=AC，B=C求证：ABDACDADCB全等+角平分线性质1、如图 21，AD 平分BAC，DEAB 于 E，DFAC 于 F，且 DB=DC，求证：EB=FC2、已知：如图所示，BD 为ABC 的平分线，AB=BC，点 P 在 BD 上，PMAD 于 M，PN CD于 N，判断 PM 与 PN 的关系全等+ 等腰性质1、如图，在ABE 中，ABAE,ADAC,BADEAC, BC、DE 交于点 O.求证：(1) ABCAED；
9、 (2) OBOE . OCEBDADECBAPDACBMN6 62、.已知：如图，B、E、F、C 四点在同一条直线上，ABDC，BECF ，B C 求证：OAOD两次全等7.4 作业：AB=AC，DB=DC，F 是 AD 的延长线上的一点。求证：BF=CFFDCBA1、如图，D、E、F、B 在一条直线上 AB=CD, B=D，BF=DE.求证：（1）AE=CF;（2）AECF（3）AFE=CEFADFECB2、如图：A、E、F、B 四点在一条直线上，ACCE，BDDF，AE=BF ，AC=BD。求证：ACF BDEA BCEFD3、如图，在四边形 ABCD 中，E 是 AC 上的一点，1=2
10、，3=4，求证: 5=6 65 4321 EDCBA4、已知如图，E、F 在 BD 上，且ABCD，BFDE，AE CF求证：AC 与 BD 互相平分5、如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，ABC=90DEAC 于点 F，交 BC 于点 G，交 AB 的延长线于点E，且 AE=AC.求证：BG=FGAFCBDEG直角三角形全等（余角性质）AB E O F DC7 7作业：如图，在等腰 RtABC 中，C90，D 是斜边上 AB 上任一点， AE CD 于 E，BFCD 交CD 的延长线于 F，CHAB 于 H 点，交 AE 于 G求证：BDCG1、如图，将等腰直角三角形 ABC 的直角顶点
11、置于直线l 上，且过 A，B 两点分别作直线 l 的垂线，垂足分别为D，E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程2、如图，ABC90，ABBC，D 为 AC 上一点，分别过 A、C 作 BD 的垂线，垂足分别为 E、F求证：EFCFAE证ABEBCF，得 BECF，AEBF ，EFBEBFCF AE3、在ABC 中， ， ，直线90ACBBC经过点 ，且 于 ， 于 .MNMNDNE(1)当直线 绕点 旋转到图 1 的位置时，求证： ； ；ADCEBBEAD(2)当直线 绕点 旋转到图 2 的位置时，（1）中的MN结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.4、如图
12、：BEAC ，CFAB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AMAN。FB CAMNE1 234作平行线1、已知ABC，AB=AC，E、F 分别为 AB 和 AC 延长线上的点，且 BE=CF，EF 交 BC 于 G求证：EG=GF AFCGBE2、如图，在ABC 中，AB=AC ，BD 平分ABC ，DE BD 于 D，交 BC 于点 EAB CFDE8 8求证：CD= BE211 5432 EFBDCA延长角平分线的垂线段1、如图，在ABC 中，AD 平分BAC ，CEAD 于E求证：ACE=B+ECDAFD CBE2、如图，ABC 中，BAC=90 度，AB=AC，BD
13、 是ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过 C 点的直线于E，直线 CE 交 BA 的延长线于 F求证：BD=2CEFEDCBA3、如图：BAC=90，CEBE ，AB=AC ，BD 是ABC 的平分线，求证：BD=2EC鱂 鱂鱂D4、已知，如图 34，ABC 中，ABC=90 ，AB=BC，AE 是 A 的平分线，CDAE 于 D求证：CD= AE21C E BAD面积法例 1 如图 1，在 ABC 中，BAC 的角平分线 AD 平分底边 BC.求证 AB=AC.9 92、如图所示,已知 D 是等腰 ABC 底边 BC 上的一点,它到两腰 AB、AC 的距离分别为 DE、DF,CMAB,垂
14、足为 M,请你探索一下线段 DE、DF、CM 三者之间的数量关系, 并给予证明. ED CBAM F3、己知，ABC 中，AB=AC ，CDAB，垂足为D，P 是 BC 上任一点，PEAB，PFAC 垂足分别为E、F，求证： PE+PF=CD. PE P F=CD.FEDCABGPFEDCABGP旋转型1、如图，正方形 ABCD 的边长为 1，G 为 CD 边上一动点（点 G 与 C、D 不重合）， 以 CG 为一边向正方形ABCD 外作正方形 GCEF，连接 DE 交 BG 的延长线于H。求证： BCGDCE BHDE2、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图 1 所示放置，图 2 是由它抽
15、象出的几何图形，B，C，E 在同一条直线上，连结 DC（1）请找出图 2 中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：DCBE图1图2DC EAB3、（1）如图 7，点 O 是线段 AD 的中点，分别以 AO和 DO 为边在线段 AD 的同侧作等边三角形 OAB 和等边三角形 OCD，连结 AC 和 BD，相交于点 E，连结BC求AEB 的大小；C BOD图 7AE（2）如图 8，OAB 固定不动，保持 OCD 的形状和大小不变，将 OCD 绕着点 O 旋转（OAB 和OCD 不能重叠），求AEB 的大小.FEDCABGHBAODCE图 810 10NMEFAC
16、BA4、如图，AEAB，ADAC，AB=AE，B=E，求证：（1）BD=CE；（2）BDCE5、如图所示，已知 AEAB，AFAC，AE=AB，AF=AC。求证： （1）EC=BF；（2）ECBFAEBMCF6、 正方形 ABCD 中，E 为 BC 上的一点，F 为 CD 上的一点，BE+DF=EF，求EAF 的度数.FEDCBA7、D 为等腰 斜边 AB 的中点，DMDN,DM,DN 分RtA别交 BC,CA 于点 E,F。当 绕点 D 转动时，求证 DE=DF。N若 AB=2，求四边形 DECF 的面积。8、如图， 是边长为 3 的等边三角形， 是ABCBDC等腰三角形，且 ，以 D 为顶点做一个012角，使其两边分别交 AB 于点 M，交 AC 于点 N，连接06MN，求 的周长。AMN NMDCBA9、五边形 ABCDE 中，AB=AE， BC+DE=CD， ABC+ AED=180，求证： AD 平分 CDE C EDBAABDEFC
