1、1全等三角形常见辅助线作法【例 1】 已知：如图 6， 、 分别是以 、 为斜边的直角三角形，且 ，BCEADBEADBEAD是等边三角形求证： 是等边三角形CDE【例 2】 、如图，已知 BC AB，AD=DC。BD 平分ABC。求证：A+C=180.一、线段的数量关系: 通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等。1、倍长中线法【例. 3】如图，已知在 中， ， ， 平分 ，交 于点 .ABC903BADBCD求证： 2BD证明：延长 DC 到 E，使得 CE=CD,联结 AE ADE=60 AD=AEC=90 ADE 为等边三角形ACCD AD=DECD=CE DB=
2、DAAD=AE BD=DEB=30C=90 BD=2DCBAC=60AD 平分BAC第 3 题D CBADCBAEDCBEA2BAD=30DB=DA ADE=60 【例 4.】 如图， 是 的边 上的点，且 ， ， 是 的中线。求证：DABCCDABADEB。2ACE证明：延长 AE 到点 F,使得 EF=AE 联结 DF在ABE 和FDE 中 ADC=ABD+BDABE =DE ABE= FDEAEB=FED ADC=ADB+FDEAE=FE 即 ADC = ADFABE FDE（SAS） 在ADF 和ADC 中AB=FD ABE= FDE AD=ADAB=DC ADF = ADC FD =
3、 DC DF =DCADC=ABD+BAD ADF ADC(SAS) AF=ACADBAC=2AE【变式练习】 、 如图，ABC 中，BD=DC=AC，E 是 DC 的中点，求证：AD 平分BAE.【小结】熟悉法一、法三“倍长中线”的辅助线包含的基本图形“八字型”和“倍长中线”两种基本操作方法，倍长中线，或者倍长过中点的一条线段以后的对于解决含有过中点线段有很好的效果。【变式练习】：如图所示，AD 是ABC 的中线，BE 交 AC 于 E，交 AD 于 F，且 AC=BF。 求证：AE=EF。FED CBA3OED CBA2、运用角平分线构造全等【例 5】如图，已知在ABC 中，B=60，AB
4、C 的角平分线 AD,CE 相交于点 O，求证：OE=OD证明：在 AC 上截取 AF=AE ,联结 OF 在AOE 和AOF 中在ABC 中，B+BAD+ACB=180 AE=AFB =60 EAO=FAOBAD+ACB=120 AO = AOAD 平分BAC AOE AOF（ASA） 在COD 和 COF中BAC= 2OAC AOE=AOE OE=OF DCO =FCO CE 平分ACB AOE=60 CO=COACB= 2ACO AOE+AOE+FOC=180 DOC=FOC2OAC+2ACO=120 FOC=6O COD COF（ASA） OAC+ACO=60 AOE=COD OD =
5、OFAOE=OAC+ACO COD=60 OE=OFAOE=60 OE=OD【例 6】 如图，ABC 中，BAC=90 度，AB=AC，BD 是ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过 C 点的直线于 E，直线 CE 交 BA 的延长线于 F求证：BD=2CE【小结】解题后的思考：1）对于角平分线的问题，常用两种辅助线；2）见中点即联想到中位线。DECABFF4FEDCBA3、 旋转【例 7】正方形 ABCD 中，E 为 BC 上的一点，F 为 CD 上的一点，BE+DF=EF，求EAF 的度数.GAE=FAE延长 EB 到点 G，使得 BG =BE DAF+BAF=90先证明ADF ABE
6、GAB =FAD可得到 AF =AG DAF = GAB GAF = 90EF =BE +DF EAF = 45 EF = BE+BG =GEGAE FAE 【例 8】. 将一张正方形纸片按如图的方式折叠， 为折痕，则 的大小为_ ；,BCDC【例 9】 如图，已知ABC=DBE=90，DB=BE，AB=BC(1)求证：AD=CE，ADCE (2)若DBE 绕点B 旋转到ABC 外部，其他条件不变，则(1)中结论是否仍成立?请证明G5FED CBA【例 10】.如图在 RtABC 中,AB=AC, BAC=90,O 为 BC 中点. (1)写出 O 点到ABC 三个顶点 A、B 、C 的距离关
7、系(不要求证明) (2)如果 M、N 分别在线段 AB、AC 上移动,在移动过程中保持 AN=BM,请判 断O M N 的形状,并证明你的结论.联结 OA则OAC 和OABD 都为等腰直角三角形OA=0B=0CANO BMO（NOA=OBM）可得 ON=OM NOA=MOB可得到NOM= AOB=90 【例 11】如图，已知 为等边三角形， 、 、 分别在边 、 、 上，且 也是等边三ABCDEFBCDEF角形 （1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的；（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程4、截长补短法【例 12】 、如图， 中，
8、AB=2AC，AD 平分 ，且 AD=BD，求证：CDACABCBACCDBA6EDCBA【例 13】如图，ACBD，EA,EB 分别平分CAB,DBA，CD 过点 E，求证;ABAC+BD【例 14】如图，已知在 内， ， ，P，Q 分别在 BC，CA 上，并且 AP，BQ 分别是AB0604C， 的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BPBAC证明：如图（1），过 O 作 ODBC 交 AB 于 D，ADO=ABC=1806040=80，又AQO=C+QBC=80，ADO=AQO，又DAO=QAO，OA=AO，ADOAQO，OD=OQ，AD=AQ，又ODBP，PBO=DOB，又PBO=DBO
9、，DBO=DOB，BD=OD，又BPA=C+PAC=70，BOP=OBA+BAO=70，BOP=BPO，BP=OB，AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。 【例 15】 如图，在ABC 中，ABC=60，AD、CE 分别平分BAC、ACB ，求证：AC=AE+CD方法同【例 5】PQCBA7【例 16】已知：1=2，CD=DE，EF/AB ，求证：EF=AC【例 17】 如图， 为等边三角形，点 分别在 上，且 ， 与 交于 点。ABC,MN,BCAMCNABQ求 的度数。QN先证明 ABM BCN (SAS)可得CBN = BAMAQN=ABQ+ BAQBAM=CBN
10、AQN=ABQ+ CBN即 AQN=ABC = 60作平行线：过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”【例 18】：如图，ABC 中，AB=AC，E 是 AB 上一点，F 是 AC 延长线上一点，连 EF 交 BC 于D，若 EB=CF。求证：DE=DF。8证明：过 E 作 EG/AC 交 BC 于 G，则EGB=ACB，又 AB=AC，B=ACB，B=EGB，EGD=DCF，EB=EG=CF，EDB=CDF，DGEDCF，DE=DF。. 【例 19】已知：如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，BC = DC，CF 平分BCD，DFAB
11、，BF 的延长线交DC 于点 E. 求证：（1）BFC DFC ；（2）AD = DE.联结 BD证明：CF 平分BCD ADB=CDBBCF=DCF DFAB在BCF 和DCF 中 ABD=BDF BC=CD BF=DFBCF= DCF FDB= FBDCF=CF ABD=FBDBCF DCF（SAS ） 在ABD 和EBD 中BF=DF ABD=EBD(2) ADBC BD=BDADB =CBD ADB=EDBBC = DC ABD EBD （ASA）CBD=CDB AD = DE【课堂练习】1如图，已知 AE 平分BAC，AE 垂直于 BE, 且 ED AC，BAE=36，那么BED=
12、EFDAB CG92如图：BEAC，CFAB，BM=AC，CN=AB 。求证：（1）AM=AN；（2）AMAN。综合题：已知在ABC 中， ，高 所在的直线与高 所在的直线交于点 ，过点 作 ，交直45ABCADBEFGBC线 于点 ,联结 .（1）当 是锐角三角形时（如图 a 所示） ， 求证： ；ABGF AD（2）当 是钝角时（如图 b 所示） ，写出线段 、 、 三者之间的数量关系，不必写出证明过程，ACDG直接写结论； 当 , 时，求 的长. E4FG G F ED CBA第 27（a）题GFED CBA第 27（b）题FB CAMNE1 23410可知 FDC 和AFG 都为等腰直
13、角三角形 图（b）中FD=DC AF =FG ABD 和AFG 都为等腰直角三角形AD=AF+FD ADC BDF AD=FG+DC DC = FDFD=AF +ADCD=FD【总结】常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折” 2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目6)特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解
