1、思法数学 高中版 （高中一年级上） 初升高衔接讲义 版权所有 翻印必究1第 8 讲 映射与函数的概念一【学习目标】1.了解映射的概念及表示方法；2.理解函数的概念，了解简单的分段函数及应用，明确函数的三种表示方法；3.会求一些简单函数的定义域和值域.二【知识梳理】1.映射引入：复习初中常见的对应关系（1）对于任何一个实数 ，数轴上都有唯一的点 和它对应；ap（2）对于坐标平面内任何一个点 A，都有唯一的有序实数对（ ）和它对应；,xy（3）对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；（4）某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；定义：一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如
2、果按某一个确定的对应法则 ，使对f于集合 A 中的任意一个元素 ，在集合 B 中都有唯一确定的元素 与之对应，那么xy就称对应 ：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射记作“ ：AB”.f f点拨：（1）这两个集合有先后顺序，A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射是截然不同的，其中 表示具体的对应法则，可以用多种形式表述（2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思（3）设 ：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射，若 ：ab，则 b 叫做 a 的象；af f叫做 b 的原象.2.函数（1）函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按
3、照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合B 的一个函数记作：y=f(x)，xA其中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 f(x)| xA 叫做函数的值域点拨： “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；函数符号“y=f(x)”中的 f(x)表示与 x 对应的函数值，是一个数，而不是 f 乘 x函数是特殊的映射.（2）函数的三要素：定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系
4、决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则称这两个函数相等（或为同一函数）.即：两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关.（3）函数的表示方法：解析法、列表法、图象法三种.三【典例精析】例 1下列哪些对应是从集合 A 到集合 B 的映射？（ 1） A= 是 数 轴 上 的 点 ， B=R， 对 应 关 系 ： 数 轴 上 的 点 与 它 所 代 表 的 实 数 对 应 ；|Pf（2）A= 是平面直角坐标系中的点， 对应关系 ：平面(,)|,xyRf直角坐标系中的点与它的坐标对应；（3）A=三角形，B= ：每一个三角形都对应它的内切圆；|
5、,x是 圆 对 应 关 系 f（4）A= 是新华中学的班级， 对应关系 ：每一个|x| ,是 新 华 中 学 的 学 生 f班级都对应班里的学生思考：将（3）中的对应关系 改为：每一个圆都对应它的内接三角形；（4）中的对f思法数学 高中版 （高中一年级上） 初升高衔接讲义 版权所有 翻印必究2应关系 改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应 ：BA 是从集合 B 到集合 A 的映f f射吗？例 2在下图中，图（1），（2），（3），（4）用箭头所标明的 A 中元素与 B 中元素的对应法则，是不是映射？是不是函数关系？A 开平方 B A 求正弦 BA 求平方 B A 乘以 2 B例 3.画图表示
6、集合 A 到集合 B 的对应（集合 A，B 各取 4 个元素）已知：（1） ，对应法则是“乘以 2”；1,234,68（2）A= ，B=R，对应法则是“求算术平方根”；|x0（3） ，对应法则是“求倒数”；,R（4） 对应法则是“求余弦”|A09,|1,Bx例 4在下图中的映射中，A 中元素 600的象是什么？B 中元素 的原象是什么？2A 求正弦 B点拨：判定是否是映射主要看两条：一条是 A 集合中的元素都要有象，但 B 中元素未必要有原象；二条是 A 中元素与 B 中元素只能出现“一对一”或“多对一”的对应形式30045060090012319413322113456（1）30045060
7、09001231（2）112233149（3）123123456（4）思法数学 高中版 （高中一年级上） 初升高衔接讲义 版权所有 翻印必究3例 5.已知函数 f(x)= +3x21（1）求函数的定义域；（2）求 f（3），f( )的值；（3）当 a0 时，求 f（a）,f(a1)的值.例 6.设一个矩形周长为 80，其中一边长为 x，求它的面积关于 x 的函数的解析式，并写出定义域.解：由题意知，另一边长为 ，且边长为正数，所以 0 x40.280所以 S= =（40 x） x（0 x40）802x点拨：（1）如果 f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集 R .（2）如果 f(x)是分式，
8、那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 .（3）如果 f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.（4）如果 f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）（5）满足实际问题有意义.例 7.下列函数中哪个与函数 y=x 相等？（1）y=( )2 ; （2）y=( ) ;x3x（3）y= ; （4）y=2例 8某种笔记本的单价是 5 元，买 个笔记本需要 元，试用三种表示(1,35)xy法表示函数 ()yfx点拨：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等；解析法：必须注明函数的
9、定义域；图象法：是否连线；列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征思法数学 高中版 （高中一年级上） 初升高衔接讲义 版权所有 翻印必究4例 9某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：（1）乘坐汽车 5 公里以内，票价 2 元；（2）5 公里以上，每增加 5 公里，票价增加 1 元（不足 5 公里按 5 公里计算），已知两个相邻的公共汽车站间相距约为 1 公里，如果沿途（包括起点站和终点站）设 20 个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象分析：本例是一个实际问题，有具体的实际意义，根据实际情况公共汽车到站才能停车，所以行车里程只能取整数值点拨：分段函
10、数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况四【过关精练】一、选择题1.已知集合 ， ， ，映射 是1,23Mm42,73Nn*,mnN:31fyx从 M 到 N 的一个函数，则 的值为（ ）A2 B3 C4 D52. 给出下列四个图形，其中能表示从集合 M 到集0|,0| yx合 N 的函数关系的有（ ）A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个x x x x1 2 111 22211112222y y yy3O OOO3.设函数 则 的值为（ ）2()f， ， ， ， ()fA B C D15671689184
11、.若函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是（ ）()yfx0,2(2)1fxgA B C D0,1)0,(0,1)思法数学 高中版 （高中一年级上） 初升高衔接讲义 版权所有 翻印必究55设函数 f(x)对任意 x、y 满足 f(xy)=f(x)f(y)，且 f(2)=4，则 f(1)的值为（ ）A2 B C1 D2216已知函数 f( 1)=x 1，则函数 f(x)的解析式为（ ）Af(x)=x 2 Bf (x)=x21(x1)Cf(x)=x 22x( x1) Df (x)=x22 x2( x1)7下列各组中，函数 f(x)和 g(x)的图象相同的是（ ）Af(x)=x，g( x)=( )2
12、 Bf (x)=1，g(x)=x 0Cf(x)=|x|，g(x )= Df(x)=|x |，g(x)= )0,(,二、填空题8.已知函数 且 ， 则)0(2)(xcbf )0(4ff2)f方程 解的个数为 x9.设函数 0,64)(2xf 则不等式 )1(fxf的解集是 10.已知函数 ,其中 是 的正比例函数, 是 的反比gf()f )gx例函数，且 ,则 .,138三、解答题11.（1）若函数 的定义域为 ，求 的定义域；)(xfy2,1(1)fx（2）若函数 的定义域为 ，求函数 的定义域.21)12.已知函数 .2()46()fxaxR（1）若函数 的值域为0，+)时的 的值；a（2）若函数 的值均为非负值，求函数 的值域.23ga思法数学 高中版 （高中一年级上） 初升高衔接讲义 版权所有 翻印必究6第 8 讲 参考答案一.选择题1B; 2C; 3A; 4B; 5A; 6D; 7C.二.填空题8.3; 9. ; 10. .,1,53x0xR且三.解答题11. （1） -2，（2） 5，12解：（1）由 或 。22-4a6=8-a30=1A =2a-1（2） 对 恒有 ，xRx0f2a-3-a28=g 2， 217-a4 3-1a，易知 的值域为g9-，
