1、1相似三角形（辅助线的做法）在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：作平行线 1例 1：如图，D 是ABC 的 BC 边上的点，BD：DC=2：1，E 是 AD 的中点，求：BE：EF 的值. 解法一：过点 D 作 CA 的平行线交 BF 于点 P，则 PE=EF BP=2PF=4EF 所以 BE=5EF BE：EF=5：1.解法二：过点 D 作 BF 的平行线交 AC 于点 Q，BE：EF=5：1.解法三：过点 E 作 BC 的平行线交 AC 于点 S，解法四
2、：过点 E 作 AC 的平行线交 BC 于点 T，BD=2DC BE：EF=5：1.练习：如图，D 是ABC 的 BC 边上的点，BD：DC=2：1，E 是 AD 的中点, 连结 BE 并延长交 AC 于 F, 求 AF：CF 的值.（答案 2：3）解法一：过点 D 作 CA 的平行线交 BF 于点 P，解法二：过点 D 作 BF 的平行线交 AC 于点 Q，解法三：过点 E 作 BC 的平行线交 AC 于点 S，解法四：过点 E 作 AC 的平行线交 BC 于点 T，1AEFP,2CBDPF，则 2EADF,3CBQ，EFQB56，则 DC21；TCBF，DCB252例 2：如图，在ABC
3、的 AB 边和 AC 边上各取一点 D 和 E，且使ADAE，DE 延长线与 BC 延长线相交于 F，求证： （证明：过点 C 作 CG/FD 交 AB 于 G）（该题关键在于 ADAE 这个条件怎样使用.由这道题还可以增加一种证明线段相等的方法：相似、成比例.）例 3：如图，ABC 中，ABAC，在 AB、AC 上分别截取 BD=CE，DE，BC 的延长线相交于点 F，证明：ABDF=ACEF.分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加平行线。.方法一：过 E 作 EM/AB，交 BC
4、 于点 M，则EMCABC（两角对应相等，两三角形相似）.方法二：过 D 作 DN/EC 交 BC 于 N.例 4：在ABC 中，D 为 AC 上的一点，E 为 CB 延长线上的一点，BE=AD，DE 交 AB 于 F。求证：EFBC=ACDF 证明：过 D 作 DGBC 交 AB 于 G，则DFG 和EFB 相似， BEAD, 由 DGBC 可得ADG 和ACB 相似， 即EFBCACDF.例 5：已知点 D 是 BC 的中点，过 D 点的直线交 AC 于 E,交 BA 的延长线于 F,求证：分析：利用比例式够造平行线，通过中间比得结论 .（或利用中点”倍长中线”的思想平移线段 EC,使得所
5、得四条线 段分别构成两个三角形.）例 6：已知：在等腰三角形 ABC 中，AB=AC，BD 是高，求证：BC2=2ACCD分析：本题的 重点在于如何解决 “2”倍的 问题；让它归属一条 线段，找到这一线段 2 倍是哪一线段.CBGBEDFAEABCDGBCECABF3例 7:已知：从直角三角形 ABC 的 直角顶点 A 向斜边 BC 引垂线，垂足为 D，边 AC 的中点为 E,直线 ED 与边 AB 的延长线交于 F，求证：AB:AC=DF:AF分析：利用前两题的 思想方法，借助中点构造中位线，利用平行与 2 倍关系的 结论，证明所得结论 . 找到后以比例式所在三角形与哪个三角形相似. 例 8
6、：如图，ABC 中，AD 是 BC 边上中线，E 是 AC 上一点，连接 ED 且交 AB 的延长线于 F 点.求证：AE：EC=AF：BF.分析：注意观察图形的 特殊性，有些像全等中，旋转的基本图形，因此可以没有相互关系的 成比例的四条线段转化为成比例的四条线段（通过全等找相等的线段）关键是要把成比例线段放在两个三角形中.例 9：如图，平行四边形 ABCD 中，E 为 AB 边中点，点 F 在 AD 边上，且AF：FD=1：2，EF 交 AC 于 G，求 AG：GC 的值（构造线段相等转化比例式）例 10：在ABC 中，AB=AC,AD 是中线，P 是 AD 上一点，过 C 作 CFAB,延
7、长 BP 交 AC 于 E，交 CF 于 F,求证：BP=PEPF分析：在同一直线上的三条线段成比例，可以通过中间比转化，也可以通过线段相等，把共线的线段转化为两个三角形中的线段，通过相似证明.另外在证明等积式时要先转化为比例式观察相似关系，有利于证明. 例 11：如图，梯形 ABCD 中，ADBC，AC、BD 交于 O 点，BA、CD 的延长线交于 E 点，连结 EO 并延长分别交 AD、BC 于 N、M 求证： BM=CM（证明线段相等的又一方法）作垂线 2BMANCDOAMN4例 12：如图从 ABCD 顶点 C 向 AB 和 AD 的延长线引垂线 CE 和 CF，垂足分别为 E、F，求
8、证：证明：过 B 作 BMAC 于 M，过 D 作 DNAC 于 N AM：AE=AB：AC （1） （1）+（2）得例 13：ABC 中，AC=BC， P 是 AB 上一点，Q 是 PC 上一点（不是中点），MN 过 Q 且 MNCP，交 AC、BC 于 M、N，求证：证明：过 P 作 PEAC 于 E，PFCB 于 F，则 CEPF 为矩形 PF EC AB=45 RtAEP=RtPFB EC=PF （1） 在 ECP 和 CNM 中 CPMN 于 Q QCN+QNC=90又 QCN+QCM=90 MCQ=CNQRtPECRtMCN 即 （2）由（1）（2）得作延长线 3例 14. 如图，
9、在梯形 ABCD 中，ADBC，若BCD 的平分线 CHAB 于点H，BH=3AH，且四边形 AHCD 的面积为 21，求HBC 的面积。分析：因为问题涉及四边形 AHCD，所以可构造相似三角形。把问题转化为相似三角形的面积比而加以解决。 解：延长 BA、CD 交于点 P CHAB，CD 平分BCDCB=CP，且 BH=PH BH=3AH PA：AB=1：2 PA：PB=1：3ADBC PADPBC例 15. 如图，RtABC 中， CD 为斜边 AB 上的高，E 为 CD 的中点，AE 的延长线交 BC 于 F，FGAB 于 G，求证：FG=CFBF分析：欲证式即 由“三点定形”，BFG 与
10、 CFG 会相似吗？显然不可能。 （因为 BFG 为 Rt），但由 E 为 CD 的中点，可设法构造一个与 BFG 相似的三角形来求解。不妨延长 GF 与 AC 的延长线交于 H，则 又 ED=EC FG=FH 又易证 RtCFHRtGFB2ACFAEB )(ACACAFDEB BCMDCNMBA:/F: ECPBANCPMMBA91： PBCADSPBCPCHS 217： 四 边 形 HCPADS2AHD四 边 形6AD 54 21PBBBCFHEDGA5FGFH=CFBF FG=FH FG2=CFBF作中线 4例 16：如图，中，ABAC，AEBC 于 E，D 在 AC 边上，若BD=DC=EC=1，求 AC.解：取 BC 的中点 M，连 AM ABAC AM=CM 1=C 又 BD=DCDBC=DCB CAM=C=DBC MACDBC 又 DC=1 MC= BC （1）又 RtAECRtBAC 又 EC=1 （2）由（1）（2）得， 小结：利用等腰三角形有公共底角，则这两个三角形相似，取 BC 中点 M，构造 MACDBC 是解题关键BFHGCBCAD212BCAE43C
