1、圆锥曲线中的最值取值范围问题90.已知 12,F分别是双曲线2xyab=l（a0，b0）的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若 0129P,且 的三边长成等差数列又一椭圆的中心在原点，短轴的21F一个端点到其右焦点的距离为 3，双曲线与该椭圆离心率之积为 563。（I）求椭圆的方程；（）设直线 与椭圆交于 A，B 两点，坐标原点 O 到直线 l 的距离为 2，求AOBl面积的最大值90.解：设 ，不妨 P 在第一象限，则由已知得nFmP|,|21,065.2,)(222cacna ,0562e解得 （舍去） 。设椭圆离心率为 15e或 .3,则 .36可设椭圆的方程为 .,12cbyax半 焦
2、 距 为.2,13.,3622cacb解 之 得 .132yx椭 的 方 程 为（）当 AB .3|,ABx轴 时当 AB 与 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 ，),(),(21yxBAmkxy由已知 得 代入椭圆方程，整理得,21|kmk把),1(422,036)3(2x .13)(,136221 kxkx2122)(1| xkAB13)(2)13(6)2kmk2222 )(9)3(m061916922 kkk .46312当且仅当 时等号成立，此时3,2k即 .2|AB当 .|,0AB时综上所述： ，2|max此时 面积取最大值O.23|1maxABS85.已知曲线 C 的方程为 2x
3、y，F 为焦点。（1）过曲线上 C 一点 0(,)P（ 0）的切线 l与 y 轴交于 A，试探究|AF|与|PF|之间的关系；（2）若在（1）的条件下 P 点的横坐标 02x，点 N 在 y 轴上，且|PN|等于点 P 到直线0y的距离，圆 M 能覆盖三角形 APN，当圆 M 的面积最小时，求圆 M 的方程。85.74.已知椭圆 的长轴长为 ，离心率为 ， 分别为其21:(0)xyCab4212,F左右焦点一动圆过点 ，且与直线 相切2F1x() () 求椭圆 的方程； ()求动圆圆心轨迹 的方程；1 C() 在曲线 上有四个不同的点 ，满足 与 共线， 与QPNM,2N2P共线，且 ，求四边
4、形 面积的最小值2QF02P74.解：()( )由已知可得 ，31242cabcaea则所求椭圆方程 .34:21yxC()由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线 的焦点为 ，准线方程C)0,1(为 ，则动圆圆心轨迹方程为 . x xy4:2()由题设知直线 的斜率均存在且不为零PQMN,设直线 的斜率为 ， ，则直线 的方程为：)0(k),(),(21NMN)1(xky联立 消去 可得 C4:2y0422kxx由抛物线定义可知: 222122 4| kkxNFM同理可得 4kPQ又 3)1(8)4)(|1 222 SN(当且仅当 时取到等号)所以四边形 面积的最小值为 .369.如图，已知
5、直线 l： 与抛物线 C： 交于 A，B 两点， 为2ykx2(0)xpyO坐标原点， 。(4,1)OAB（）求直线 l 和抛物线 C 的方程；（）抛物线上一动点 P 从 A 到 B 运动时，求ABP 面积最大值69.解：（）由 得, 2ykxp240,kxp设 1,Ax则 221212,kyxk因为 = ,4OBp 1,所以 解得 24.pk.k所以直线 的方程为 抛物线 C 的方程为l,yx2.xy（）方法 1：设 依题意，抛物线过 P 的切线与 平行时，APB 面积最大，0(,)Pl，所以 所以yx02,2001,y(2,).P此时 到直线 的距离 l2()45,d由 得，2,yx240
6、,x21212|()(4)410ABkABP 的面积最大值为4508（）方法 2：由 得， 2,yx24,x9 分21212|()(4)410ABk 设 ，21(,)Pt(22)t因为 为定值，当 到直线 的距离 最大时，ABP 的面积最大，ABPld22()4,5(1)ttd因为 ，所以当 时， max= ，此时 2t2td45(2,).PABP 的面积最大值为45108266.椭圆 与椭圆交于 A、B 两点，xybayx 直 线倍的 长 轴 为 短 轴 的 ,3)(2C 为椭圆的右项点， .23OCA（I）求椭圆的方程；（II）若椭圆上两点 E、F 使 面积的最大值OEFA求),20(,6
7、6.解：（I）根据题意， 设 A),0(,3aCb .1,2btat则解得 ,2,422tabt 即,233),0(),3( baOCAaOA,1ab.132yx椭 圆 方 程 为（）设 ),(),(),( 021 yxMEFE中 点 为 ,OAFE,232,102yx ,13, 221yx则在 椭 圆 上由-得 ,032121yx ,3131221yxxykEF直线 EF 的方程为 即),43(4x,y代 入并整理得， ,01322y ,41,23211 y|)()(| 12121xEF,4043102 又 ,103),( hEFO的 距 离 为到 直 线原 点43|212hSEF,23)(
8、4322当 .,面 积 的 最 大 值 为所 以时 等 号 成 立 OEF63.已知椭圆 C2:14yx，过点 M(0, 1)的直线 l 与椭圆 C 相交于两点 A、 B.（）若 l 与 x 轴相交于点 P，且 P 为 AM 的中点，求直线 l 的方程；（）设点 (0,)2N，求 |ANB的最大值. 63. （）解：设 A(x1, y1)， 因为 P 为 AM 的中点，且 P 的纵坐标为 0，M 的纵坐标为 1，所以 102y，解得1y，又因为点 A(x1, y1)在椭圆 C 上，所以 214x，即 14x，解得132x， 则点 A 的坐标为 3(,)或 (,)，所以直线 l 的方程为40y，
9、或 430xy. （）设 A(x1, y1)，B(x 2, y2)，则 121(,),(,),NAxyNBxy所以 1,N，则 211|()当直线 AB 的斜率不存在时，其方程为 0x， (,)0,)，此时 |NAB；当直线 AB 的斜率存在时，设其方程为 yk，由题设可得 A、 B 的坐标是方程组 214x的解，消去 y 得 2(4)30kx所以 22122()1(4)0,kkkx， 则 1228yx，所以222|()(1)14(4)kkNAB，当 0k时，等号成立 , 即此时 |NAB取得最大值 1. 综上，当直线 AB 的方程为 0x或 1y时， |N有最大值 1. 50.已知点 A 是
10、抛物线 y22px（p0）上一点，F 为抛物线的焦点，准线 l 与 x 轴交于点K，已知AK AF，三角形 AFK 的面积等于 8（1）求 p 的值；（2）过该抛物线的焦点作两条互相垂直的直线 l1， l2，与抛物线相交得两条弦，两条弦的中点分别为 G，H.求GH的最小值50.解：（）设 0,Axy，因为抛物线的焦点 , ,022ppFlxKAMl准 线 的 方 程 为 ： 作 于 ，则 0,MxAKAKMA又 得 ， 即 为 等 腰 直 角 三 角 形，000, ,22ppxyxx,即，而点 A 在抛物线上，200,.x,于 是.2009032720090327又2018,4.2AFKpSy
11、故所求抛物线的方程为 28yx.6 分（2）由 x8，得 ),(，显然直线 1l， 2的斜率都存在且都不为 0.设 1l的方程为 ky，则 2l的方程为 )(xky.48.椭圆的中心为原点 O，焦点在 y轴上，离心率 63e，过 (0,1)P的直线 l与椭圆交于A、 B两点，且 2PB，求 A面积的最大值及取得最大值时椭圆的方程48.解：设椭圆的方程为 ),0(12baxy直线 l的方程为 1kxy，),(),(21xByA、2231,36ace，则椭圆方程可化为 12by即 22byx，联立 132kxy得 03)(2k （*）有 ,221而由已知 PBA有 21x，代入得 223k所以 |
12、3|23| 21 kxxOPSAB ，当且仅当 3k时取等号 由 22x得 x，将 3,3xk代入（*）式得 352b所以 AOB面积的最大值为 3，取得最大值时椭圆的方程为 152xy46.已知椭圆 的右焦点为 F，上顶点为 A，P 为 C 上任一点，MN21:0)xyCab（ 1是圆 的一条直径，若与 AF 平行且在 y 轴上的截距为 的直线 恰2:(3) 32l好与圆 相切。（1）已知椭圆 的离心率；1（2）若 的最大值为 49，求椭圆 C 的方程.PMN146.解：（1）由题意可知直线 l 的方程为 ，因为直线与圆0)23(ccybx相切，所以 =1，既 从而1)3(:22yxc 2d
13、,2a;e（2）设 则),(yxp)0(122cyc 222) NCPCMPN又 )(173(1)3(222 cycyx 当 此时椭圆方程为,4,9max)2c 解 得时 ， 1632yx当 解得 但,9217)3(302CPNM时 ， 5c故舍去。,25c综上所述，椭圆的方程为 1632yx25.已知椭圆21:(0)Cab的离心率为 3，直线 l: 2yx与以原点为圆心、以椭圆 的短半轴长为半径的圆相切.（I）求椭圆 1的方程；（II）设椭圆 的左焦点为 1F，右焦点 2，直线 1l过点 F且垂直于椭圆的长轴，动直线 2l垂直 于点 P，线段 垂直平分线交 2于点 M，求点 的轨迹 2C的方
14、程；（III）设 2C与 x轴交于点 Q，不同的两点 SR,在 2C上，且满足 0,QRS求QS的取值范围.25.解：（）22231, ,3cabe ab直线220: yxyxl 与 圆相切， ,2 32a 椭圆 C1 的方程是 132（）MP=MF 2，动点 M 到定直线 1:1xl的距离等于它到定点 F1（1，0）的距离，动点 M 的轨迹是 C 为 l1 准线，F 2 为焦点的抛物线 点 M 的轨迹 C2 的方程为 xy42（）Q（0，0） ，设 ),4(),(212ySyR,4),4(2212SyR 0 0)(16)(121yy ,121y，化简得 )16(2y 43535612 y当且
15、仅当 ,16,212yy时等号成立 644)8(4)(| 222 yQS ， 又当 |5|8,64min22 QSSy， 故时 ，的取值范围是 ),588. 8.已知点 P（4，4） ，圆 C： 与椭圆 E： 有2()(3)xym21(0)xyab一个公共点 A（3，1） ，F 1、F 2 分别是椭圆的左、右焦点，直线 PF1 与圆 C 相切（）求 m 的值与椭圆 E 的方程；（）设 Q 为椭圆 E 上的一个动点，求 的取值范围APQ【解】 （）点 A 代入圆 C 方程，得 m3，m 12(3)15圆 C： 设直线 PF1 的斜率为2xyk，则 PF1： ，(4)k即 0xy直线 PF1 与圆 C 相切，2|04|5k解得 1,k或QPOyxF1AC F2
