椭圆定值定点、范围问题总结.doc

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资源描述

1、椭 圆一、直线与椭圆问题的常规解题方法:1.设直线与方程;(提醒:设直线时分斜率存在与不存在;设为 y=kx+b 与 x=my+n 的区别)2.设交点坐标;(提醒 :之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求” )3.联立方程组;4.消元韦达定理;(提醒:抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单 )5.根据条件重转化;常有以下类型:“以弦 AB 为直径的圆过点 0”(提醒:需讨论 K 是否存在)OAB12K0OAB120xy“点在圆内、圆上、圆外问题”“直角、 锐角、钝角问题” “向量的数量积大于、等于、小于 0 问题” 等;120xy“等角、角平分、角互补问题” 斜率关系( 或 ) ;1

2、2K12K“共线问题”(如: 数的角度:坐标表示法;形的角度:距离转化法) ;AQB(如 :A、O、B 三点共线 直线 OA 与 OB 斜率相等) ;“点、线对称问题” 坐标与斜率关系;“弦长、面积问题” 转化为坐标与弦长公式问题( 提醒:注意两个面积公式的合理选择) ;6.化简与计算;7.细节问题不忽略; 判别式是否已经考虑;抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现 0.二、基本解题思想:1、 “常规求值”问题:需要找等式, “求范围”问题需要找不等式;2、 “是否存在”问题:当作存在去求,若不存在则计算时自然会无解;3、证明定值问题的方法:常把变动的元素用参数表示出来,然后证明计算结果与参

3、数无关;也可先在特殊条件下求出定值,再给出一般的证明。4、处理定点问题的方法:常把方程中参数的同次项集在一起,并令各项的系数为零,求出定点;也可先取参数的特殊值探求定点,然后给出证明,5、求最值问题时:将对象表示为变量的函数,几何法、配方法(转化为二次函数的最值) 、三角代换法(转化为三角函数的最值) 、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决;6、转化思想:有些题思路易成,但难以实施。这就要优化方法,才能使计算具有可行性,关键是积累“转化”的经验;椭圆中的定值、定点问题一、常见基本题型:在几何问题 中,有些几何量和参数无关,这就构成定值问题,解决这类问题常通过取参数和特殊值 来确定“定值

4、”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式,证明该式是恒定的。(1)直线恒过定点问题1、已知点 0(,)Pxy是椭圆2:1xEy上任意一点, 直线 l的方程为 012xy,直线 0l过 P 点与直线 l垂直,点M(-1,0)关于直线 0l的对称点为 N,直线 PN 恒过一定点 G,求点 G 的坐标。2、已知 椭圆两焦点 1F、 2在 y轴上,短轴长为 2,离心率为 2, P是椭圆在第一象限弧上一点,且 12PF,过 P 作关于直线 F1P 对称的两条直线 PA、PB 分别交椭圆于 A、B 两点。 (1)求 P 点坐标;(2)求证直线 AB 的斜率为定值;3、已知动直线 与椭圆 相交

5、于 、 两点,已知点 , 求证: 为定值.(1)ykx2:153xyCAB7(,0)3MAMB4、 在平面直角坐标系 xOy中,已知椭圆2:13xCy.如图所示,斜率为 (0)k 且不过原点的直线 l交椭圆 C于 A,B两点,线段 A的中点为 E,射线 交椭圆 于点 G,交直线 3x于点 ,Dm.()求 2k的最小值;()若 2OGD E,求证:直线 l过定点;椭圆中的取值范围问题一、常见基本题型:对于求曲线方程中参数范围问题,应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式,通过解不等式求得参数的范围;或建立关于参数的目标函数,转化为函数的值域来解.(1)从直线和二次曲线的位置关系出发,利

6、用判别式的符号,确定参数的取值范围。 5、已知直线 与 轴交于点 ,与椭圆 交于相异两点 A、 B,且 ,求 的取值范围 ly(0,)Pm2:1Cxy3Pm(2)利用题中其他变量的范围,借助于方程产生参变量的函数表达式,确定参数的取值范围. 6、已知点 (4, 0)M, (1, )N, 若动点 P满足 6|MNP()求动点 P的轨迹 C的方程;()设过点 的直线 l交轨迹 于 A, B两点,若 181275NAB ,求直线 l的斜率的取值范围 .来源(3)利用基本不等式求参数的取值范围7、已知点 为椭圆 : 上的 一动点,点 的坐标为 ,求 的取值范围QE218xyA(3,1)APQ8.已知椭

7、圆的一个顶点为 (0,1)A,焦点在 x轴上.若右焦点到直线 20xy的距离为 3.(1)求椭圆的方程.(2)设直线 ykxm与椭圆相交于不同的两点 ,MN.当 |A时,求 m的取值范围.9. 如图所示,已知圆 MAyxC),01(,8)1(:2定 点为圆上一动点,点 P在 AM上,点 N在 C上,且满足NAMPA点,0,2的轨迹为曲线 E.(I)求曲线 E的方程;(II)若过定点 F(0,2)的直线交曲线 于不同的两来源:学科网 ZXXK点 ,GH(点 在点 ,之 间) ,且满足 FHG,求 的取值范围.10、.已知椭圆 E的中心在坐标原点 O,两个焦点分别为 )0,1(A、 ),(B,一个

8、顶点为 )0,2(H.(1)求椭圆 的标准方程;(2)对于 x轴上的点 )0,(tP,椭圆 E上存在点 M,使得 HP,求 t的取值范围. 11.已知椭圆 的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线2:1xyCab(0)2相切0xy()求椭圆 的方程;()若过点 (2,0)的直线与椭圆 相交于两点 ,设 为椭圆上一点,且满足 ( O 为坐标原MC,ABPPtBA点) ,当 时,求实数 取值范围PBA253t椭圆中的最值问题一、常见基本题型:(1)利用基本不等式求最值,12、已知椭圆两焦点 1F、 2在 y轴上,短轴长为 2,离心率为 2, P是椭圆在第一象限弧上一点,且12PF

9、,过 P 作关于直线 F1P 对称的两条直线 PA、 PB 分别交 椭圆于 A、B 两点,求 PAB 面积的最大值。(2)利用函数求最值,13.如图, DPx轴,点 M 在 DP 的延长线上,且 |2|DMP当点 P 在圆 21xy上 运动时。 (I)求点 M的轨迹 C 的方程;()过点 2(0,)1Tty作 圆 x的切线 l交曲线 C 于 A,B 两点,求AOB 面 积 S 的最大值和相应的点 T 的坐标。14、已知椭圆 .过点 作圆 的切线 交椭圆 G 于 A,B 两点.2:14xGy(,0)m21xyl将| AB|表示为 m 的函数,并求|AB|的最大值.选做1、已知 A、B、C 是椭圆

10、 )0(1:2bayxm上的三点,其中点 A 的坐标为 )0,32(,BC 过椭圆 m 的中心,且 |2|,CBCA(1)求椭圆 的方程;(2)过点 ),(tM的直线 l(斜率存在时)与椭圆 m 交于两点 P,Q,设 D 为椭圆 m 与 y 轴负半轴的交点,且|DQP.求实数 t 的取值范围2.已知圆 : 及定点 ,点 是圆 上的动点,点 在 上,点 在 上, 且满足M22()()xmynr(1,0)NPMQNPGMNP2 Q, GNP 0(1)若 ,求点 的轨迹 的方程;1,4nrGC(2)若动圆 和(1)中所求轨迹 相交于不同两点 ,是否存在一组正实数 , 使得直线 垂直平分线段,AB,m

11、nrN,若存在,求出这组正实数;若不存在,说 明理由AB3、已知椭圆 的中心在坐标原 点,焦点在 轴上,椭圆 上的点到焦点距离的最大值为 ,最小值为 CxC31()求椭圆 的标准方程;() 若直线 与椭圆 相交于 , 两点( 不是左右顶点) ,且以 为直径的圆过椭圆 的右顶:lykxmCAB, ABC点,求证:直线 过定点,并求出该定点的坐标l4.如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 M(2,1) ,平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m(m0) ,l 交椭圆于 A、B 两个不同点。(1)求椭圆的方程;(2)求 m 的取值范围; (3)求证

12、直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形. 参考答案1、解:直线 0l的方程为 00()2()xyx,即 002yxy 设 ),(M关于直线 l的对称点 N的坐标为 (,mn则00012xnmy,解 得320042048()xxny直线 PN的斜率为432008(4)nyxxk从而直线 的方程为: 43200 00()()xyx即320042()18yxx从而直线 PN恒过定点 (1,)G 2、解:(1)设椭圆方程为2yxab,由题意可得 ,abc,所以椭圆的方程为214yx则 12(0,)(,)F,设 00(,),)Px则 02PxyFy21()1来源:学_科_网 Z_X_X_K点

13、 0(,)xy在曲线上,则20.4xy22004yx从而22004()1,得 0,则点 P的坐标为 (1,)。(2)由(1)知 1/PFx轴,直线 PA、PB 斜率互为相反数,设 PB 斜率为 (0)k,则 PB 的直线方程为: 2(1)ykx 由 214yx得 2 2()()()40kx设 (,)Bxy则22()1B kk同理可得2A,则 24ABxk28(1)()ABABkykx所以直线 AB 的斜率 Ayx为定值。3、 解: 将 代入 中得 (1)ykx215322(3)6350kxk, 422236()480k,1221x2531x所以 122277(,)(,)()3MAByy 212

14、127()()3xkx211249)kxkxk225649(1)(k。42236594、 解:()由题意:设直线 :(0)lykxn,由 213ykxn消 y 得: 22(3)63,2264()(1)knkn2(1)0kn设 A 1(,)xy、B 2,AB 的中点 E 0,xy,则由韦达定理得: 来源:学科网2= 3k,即 0231xk, 231k213nk,所以中点 E 的坐标为 (n2),因为 O、E、D 三点在同一直线上,所以 kK,即 13mk, 解得 1k,所以 2m= 2,当且仅当 时取等号, 即 2mk的最小值为 2.()证明:由题意知:n0,因为直线 OD 的方程为 3yx,所

15、以由 231yx得交点 G 的纵坐标为2Gm,又因为 23Enyk, Dym,且 2OD E,所以2231nmk,又由()知: 1mk,所以解得 kn,所以直线 l的方程为 :lykx,即有 :()lyx, 令 1得,y=0,与实数 k 无关,5、 解:(1)当直线斜率不存在时: 2(2)当直线斜率存在时:设 与椭圆 C 交点为 l12(,)(,)AxyB得 21ykxm22()0kxkm(*) ()44()2121,xxkk , ,3APB23 . 消去 ,得 ,12xx211()40x223()40km整理得 24时,上式不成立; 时, , 2114221mk , 或204mk把 代入(*)得 或22121 或 综上 m 的取值范围为 或 。21m6、解:()设动点 (, )Pxy,则 (4, )Mxy, (3, 0)N, (1, )Pxy. 由已知得 221643,化简得 2xy,得23xy.所以点 P的轨迹 C是椭圆 , 的方程为 1342yx. ()由题意知,直线 l的斜率必存在,不妨设过 N的直线 l的方程 为 (1)ykx,设 A, B两点的坐标分别为 1, A, 2, By.

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