1、1-2-1-3.等差数列的认识与公式运用.题库 教师版 page 1 of 12等差数列应用题例题精讲【例 1】 100 以内的自然数中。所有是 3 的倍数的数的平均数是 。【考点】等差数列应用题 【难度】1 星 【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，复赛，第 3 题，5 分【解析】 100 以内的自然数中是 3 的倍数的数有 0， 共 33 个，他们的和是,69,，则他们的平均数为 168334=49.5。0934179682【答案】 .5【例 2】 一群小猴上山摘野果，第一只小猴摘了一个野果，第二只小猴摘了 2 个野果，第三只小猴摘了3 个野果，依次类推，后面的小猴都比它前面的小猴多摘一个
2、野果。最后，每只小猴分得 8 个野果。这群小猴一共有_只。【考点】等差数列应用题 【难度】2 星 【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，二试，第 7 题【解析】 平均每只猴分 8 个野果，所以最后一只猴摘了 只果，共有 15 只猴.821=5【答案】 只猴子15【例 3】 15 位同学排成一队报数，从左边报起思思报 10从右边报起学学报 12那么学学和思思中间排着有 位同学【考点】等差数列应用题 【难度】2 星 【题型】填空【关键词】学而思杯，1 年级【解析】 因为从左边起思思报 10，所以，思思的右边还有 （个） ；又因为从右边起学学报 12，150所以，学学的左边还有 （个） ， （个）学
3、学和思思中间排着 5 位同学15364排队问题【答案】 位5【例 4】 体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数。如果冬冬报 17，阿奇报 150，每位同学报的数都比前一位多 7，那么队伍里一共有多少人？ 【考点】等差数列应用题 【难度】2 星 【题型】解答 【 解析解析 】 首项=17，末项=150，公差=7，项数= （150-17）7+1=20【答案】 20【例 5】 一个队列按照每排 2，4，6，8 人的顺序可以一直排到某一排有 100 人 ，那么这个队列共有多少人？ 【考点】等差数列应用题 【难度】2 星 【题型】解答 【 解析解析 】 （方法一）利用
4、等差数列求和公式：通过例 1 的学习可以知道，这个数列一共有 50 个数，再将和为 102 的两个数一一配对，可配成 25 对1-2-1-3.等差数列的认识与公式运用.题库 教师版 page 2 of 12所以 2469810 =2+5=10325（ ）（方法二）根据 ，从这个和中减去 的和，239 1357.9就可得出此题的结果，这样从“反面求解”的思想可以给学生灌输一下，为今后的学习作铺垫【答案】 50【例 6】 有一个很神秘的地方，那里有很多的雕塑，每个雕塑都是由蝴蝶组成的第一个雕塑有 3 只蝴蝶，第二个雕塑有 5 只蝴蝶，第三个雕塑有 7 只蝴蝶，第四个雕塑有 9 只蝴蝶，以后的雕塑按
5、照这样的规律一直延伸到很远的地方，学学和思思看不到这排雕塑的尽头在哪里，那么，第102 个雕塑是由多少只蝴蝶组成的呢？由 999 只蝴蝶组成的雕塑是第多少个呢？ 【考点】等差数列应用题 【难度】2 星 【题型】解答 【 解析解析 】 也就是已知一个数列：3、5、7、9、11、13、15、 ，求这个数列的第 102 项是多少？999是第几项？由刚刚推导出的公式第 项 首项 公差 ，n1n（ ）所以，第 102 项 ；由“项数 (末项 首项) 公差 ”，999 所处的项数是：3105（ -） 296498（ ）【答案】 49【例 7】 如右图，用同样大小的正三角形，向下逐次拼接出更大的正三角形。其
6、中最小的三角形顶点的个数(重合的顶点只计一次 )依次为：3，6，10，15，21，问：这列数中的第 9 个是多少？【考点】等差数列应用题 【难度】2 星 【题型】填空【关键词】华杯赛，初赛，第 6 题【解析】 这列数第一项为 3，第二项比第一项多 3，以后每项比前项多项数加 1，所以第 9 项为33456101234561055。【答案】【例 8】 有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有 5 根圆木，每向下一层增加一根，一共堆了 28 层问最下面一层有多少根? 【考点】等差数列应用题 【难度】2 星 【题型】解答 【 解析解析 】 将每层圆木根数写出来，依次是：5，6，7，8，9，10
7、，可以看出，这是一个等差数列，它的首项是 5，公差是 1，项数是 28求的是第 28 项我们可以用通项公式直接计算解： ()nad28(根)3故最下面的一层有 32 根【答案】 32【 巩固巩固 】 建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第 2 层 6 块砖，第 3 层 10 块砖，依次每层都比其上面一层多 4 块砖，已知最下层 2106 块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？ 1-2-1-3.等差数列的认识与公式运用.题库 教师版 page 3 of 12【考点】等差数列应用题 【难度】2 星 【题型】解答 【 解析解析 】 项数=（2106-2）4+1=527，因此，层数为
8、奇数，中间项为（2+2106）2=1054，数列和=中间项项数=1054527=555458，所以中间一层有 1054 块砖，这堆砖共有 555458 块。【答案】 548【例 9】 一个建筑工地旁，堆着一些钢管（如图） ，聪明的小朋友，你能算出这堆钢管一共有多少根吗？【考点】等差数列应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【 解析解析 】 (方法一）不难发现，这堆钢管每一层都比上一层多 1 根，也就是从上到下每层钢管的数量构成了一个等差数列，而且首项为 3，末项为 10，项数为 8由等差数列求和公式可以求出这堆钢管的总数量： （根）310825（ ）（方法二）我们可以这样假想：通过对几何图形进
9、行旋转，从而达到配对的目的是解决问题的关键（如图）这个槽内的钢管共有 8 层，每层都有 （根） ，所以槽内钢管的总数为：310（根） 取它的一半，可知例题图中的钢管总数为： （根）3104（ ） 10425【答案】 52【 巩固巩固 】 某剧院有 20 排座位，后一排都比前一排多 2 个座位，最后一排有 70 个座位，这个剧院一共有多少个座位？【考点】等差数列应用题 【难度】2 星 【题型】解答 【 解析解析 】 第一排座位数： （个） ，一共有座位： （个） 70(1)3(3270)210【答案】 102【 巩固巩固 】 一个大剧院，座位排列成的形状像是一个梯形，而且第一排有 10 个座位，
10、第二排有 12 个座位，第三排有 14 个座位，最后一排他们数了一下，一共有 210 个座位，思考一下，剧院中间一排有多少个座位呢？这个剧院一共有多少个座位呢? 【考点】等差数列应用题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】 如果我们把每排的座位数依次记下来，10、12、14、16、 容易知道，是一个等差数列210是第 排，中间一排就是第 排，那么中间一排有：21010n（ ） 10251（ ）（个）座位根据刚刚学过的中项定理，这个剧场一共有：5（ ）1-2-1-3.等差数列的认识与公式运用.题库 教师版 page 4 of 12（块） 1010【答案】【例 10】 有码放整齐的一堆球，从上往
11、下看如右图，这堆球共有多少个？【考点】等差数列应用题 【难度】5 星 【题型】填空【关键词】华杯赛，初赛，第 10 题【解析】 从图中可以看出，除去最上层 1 个球外，第二层（次上层）有（12345）15 个球，以后每层比上一层多 6、7、8、9、10 个球，共 7 层.15621，21728，28836，36945，451055，1152128364555201。答：共有 201 个球。【答案】 个球201【例 11】 某年 4 月所有星期六的日期数之和是 54，这年 4 月的第一个星期六的日期数是 。【考点】 等差数列应用题 【难度】2 星 【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，二试，第
12、14 题【解析】 4x+(+7) +(+14) +(+21)=54，x=3【答案】 3【例 12】 一辆双层公共汽车有 66 个座位，空车出发，第一站上一位乘客，第二站上两位乘客，第三站上三位乘客，依此类推，第几站后，车上坐满乘客？ 【考点】等差数列应用题 【难度】2 星 【题型】解答 【 解析解析 】 通过尝试可得： ，即第 11 站后，车上坐满乘客记住自然131126 （ ）数 的和对于解一些应用题很有帮助，需要尝试求解时能够较快找到大概的数10【答案】【例 13】 时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟敲一下问：时钟一昼夜打多少下？【考点】等差数列应用题 【难度】3 星 【
13、题型】解答 【 解析解析 】 时钟每个白天敲打的次数是每个整点敲打次数的和加上 12 个半点敲打的一下，即：（下） ，123121)2178290（ ） （所以一昼夜时钟一共敲打： （下） 90【答案】 80【例 14】 已知： ， ，则 、 两个数中，较大的数比1351a 2469810b ab较小的数大多少？ 【考点】等差数列应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【 解析解析 】 （方法一）计算： ， ，所以 比 大，大0501（ ） 520（ ） ab1-2-1-3.等差数列的认识与公式运用.题库 教师版 page 5 of 1226015（方法二）通过观察， 中的加数从第二个数起依次比
14、 中的加数大 1，所以 比 大，abab324981051ab（ ） （ ） （ ） （ ）【答案】 51【例 15】 小明进行加法珠算练习，用 ，当加到某个数时，和是 1000在验算时发现重复1234加了一个数，这个数是多少？ 【考点】等差数列应用题 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】迎春杯 【 解析解析 】 通过尝试可以得到 于是，重复计算的数是13414290 （ ）109【答案】【例 16】 编号为 的 9 个盒子里共放有 351 粒糖，已知每个盒子都比前一个盒子里多同样数量的糖如果 1 号盒子里放 11 粒糖，那么后面的盒子比它前一个盒子里多放几粒糖？ 【考点】等差数列应用题
15、【难度】3 星 【题型】解答 【 解析解析 】 根据题意，灵活运用有关等差数列的求和公式进行分析与解答由等差数列求和公式“和 首项 末项 项数 ”，可得：末项 和 项数 首项（ ） 22则第 9 个盒子中糖果的粒数为： （粒）51967题目所求即公差 （粒） ，则后面盒子比前一个盒子多放 7 粒糖678（ ） （ ）【答案】 7【 巩固巩固 】 例题中已知如果改为 3 号盒子里放了 23 粒糖呢？ 【考点】等差数列应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【 解析解析 】 等差数列有个规律：首项 末项 第 2 项 倒数第 2 项 第 3 项 倒数第 3 项 ，所以我们可以得到等差数列求和公式的一个
16、变形，假设等差数列有 n 项，则和 第 项 第 项（ a1n，则倒数第 3 个盒子即第 个盒子中糖果的粒数为： （粒）n） 291（ ） 51295题目所求即公差 （粒） ，则后面盒子比前一个盒子多放 8 粒糖5273248（ ） （ ）【答案】 8【例 17】 小王和小高同时开始工作。小王第一个月得到 1000 元工资，以后每月多得 60 元；小高第一个月得到 500 元工资，以后每月多得 45 元。两人工作一年后，所得的工资总数相差多少元？ 【考点】等差数列应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【 解析解析 】 小王：1000+60 （12-1）=1660， （1000+1660）122=
17、15960小高：500+45（12-1 ）=995， （500+995 ）122=8970 ， 15960-8970=6990即一年后两人所得工资总数相差 6990 元。【答案】 690【 巩固巩固 】 王芳大学毕业找工作。她找了两家公司，都要求签工作五年的合同，年薪开始都是一万元，但两个公司加薪的方式不同。甲公司承诺每年加薪 1000 元，乙公司答应每半年加薪 300 元。以五年计算，王芳应聘 公司工作收入更高。【考点】等差数列应用题 【难度】3 星 【题型】解答1-2-1-3.等差数列的认识与公式运用.题库 教师版 page 6 of 12【关键词】走美杯，3 年级，决赛 【解析】 甲公司
18、五年之内王芳得到的收入为： (元)1012031406乙公司五年之内王芳得到的收入为： 536939503(元) 所以，王芳应聘乙公司工作收入更高45630【答案】【例 18】 在一次数学竞赛中，获得一等奖的八名同学的分数恰好构成等差数列，总分为 656，且第一名的分数超过了 90 分（满分为 100 分） 。已知同学们的分数都是整数，那么第三名的分数是多少？【考点】等差数列应用题 【难度】2 星 【题型】解答 【 解析解析 】 他们的平均分为 6568=8282+1、82+2、82+3 都有可能成为第四名，相对应的，公差分别为12=2、 22=4、32=6若第四名为 82+1=83 分，则第
19、一名为 83+（4-1）2=89 分，不符合题意，舍；若第四名为 82+2=84 分，则第一名为 84+（4-1）4=96 分，不符合题意；若第四名为 82+3=85 分，则第一名为 85+（4-1）6=103 分，不符合题意。因此，第四名为 84 分，公差为 4，所以第三名为 84+4=88 分【答案】 8【例 19】 若干个同样的盒子排成一排，小明把 50 多个同样的棋子分装在盒中，其中只有一个盒子没有装棋子，然后他外出了，小光从每个有棋子的盒子里各拿了一个棋子放在空盒内，再把盒子重新排了一下，小明回来后仔细查看了一下，没有发现有人动过这些盒子和棋子共有多少个盒子？【考点】等差数列应用题
20、【难度】3 星 【题型】解答 【 解析解析 】 这道看似蹊跷的题想要求出共有多少个盒子，必须先弄清楚小明盒子中的棋子是怎样放的我们设除了空盒子以外一共有 n 个盒子小明回来查看时，原来那个空盒子现在不空了，但是小明却没有发现有人动过这些盒子和棋子，那么一定是有另一个盒子现在变成了空盒子这样，原来小明放置棋子时必有一个盒子只装着一个棋子原来只装着一个棋子的盒子变成了空盒子以后，还需要一个盒子装一个棋子来代替它，那么这个代替它的盒子原来一定只装着 2 个棋子，依此类推，可以推断出小明所放的棋子依次是0，1，2，3， ，n根据这个等差数列的和等于 50 多，通过尝试求出当 时，10n10105 （
21、）满足题意，其余均不满足这样，只能是 ，即共有 11 个盒子【答案】 1【例 20】 某工厂 12 月份工作忙，星期日不休息，而且从第一天开始，每天都从总厂陆续派相同人数的工人到分厂工作，直到月底，总厂还剩工人 250 人如果月底统计总厂工人的工作量是 9455个工作日（1 人工作 1 天为 1 个工作日） ，且无 1 人缺勤那么这月由总厂派到分厂工作的工人共有多少人【考点】等差数列应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】迎春杯，决赛1-2-1-3.等差数列的认识与公式运用.题库 教师版 page 7 of 12【 解析解析 】 260 人工作 31 天，工作量是 （个）工作日假设每天
22、从总厂派到分厂 a 个工人，260318第一天派去分厂的 a 个工人在总厂的工作量为 0 个工作日；第二天派去分厂的 a 个工人在总厂的工作量为 a 个工作日；第三天派去分厂的 a 个工人在总厂的工作量为 2a 个工作日；第 31 天派去分厂的 a 个工人在总厂的工作量为 30a 个工作日从而有： 945023086a861133465a（ ）（ ）求得 那么这月由总厂派到分厂工作的工人共有 （人） 319【答案】 9【例 21】 右图中，每个最小的等边三角形的面积是 12 平方厘米，边长是 1 根火柴棍如果最大的三角形共有 8 层，问：最大三角形的面积是多少平方厘米？整个图形由多少根火柴棍摆
23、成？【考点】等差数列应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【 解析解析 】 最大三角形共有 8 层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：层 1 2 3 4 5 6 7 8小三角形数 1 3 5 7 9 11 13 15火柴数 3 6 9 12 15 18 21 24由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列 最大三角形面积为： (平方厘米)15121582768（ 火柴棍的数目为： (根) 369430 （【答案】 76808【 巩固巩固 】 如右图，25 个同样大小的等边三角形拼成了大等边三角形，在图中每个结点处都标上一个数，使得图中每条直线上所标的数
24、都顺次成等差数列已知在大等边三角形的三个顶点放置的数分别是 100，200，300求所有结点上数的总和【考点】等差数列应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】走美杯【 解析解析 】 如下图，各结点上放置的数如图所示从 100 到 300 这条直线上的各数的平均数是 200，平行于这条直线的每条直线上的各数的平均数都是 200所以 21 个数的平均数是 200，总和为20141-2-1-3.等差数列的认识与公式运用.题库 教师版 page 8 of 12220200180120 140160180200220240 260280 300240 260220200180160140100【
25、答案】 420【 巩固巩固 】 用 3 根等长的火柴棍摆成一个等边三角形，用这样的等边三角形，按图所示铺满一个大的等边三角形，如果这个大的等边三角形的底边放 10 根火柴，那么一共要放多少根火柴？10根【考点】等差数列应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【 解析解析 】 如果把图中最上端的一个三角形看作第一层，与第一层紧相连的三个三角形(向上的三角形 2 个，向下的三角形 1 个)看作第二层，那么这个图中一共有 10 层三角形这 10 层三角形每层所需火柴数就是构成上图中所有阴影三角形的边数和自上而下依次为：3，6，9， 它们成等差数列，而且首项为 3，公差为 3，项数为 10310求火柴的
26、总根数，就是求这个等差数列各项的和，即(根)369301023516 （ ）所以，一共要放 165 根火柴【答案】 15【例 22】 盒子里放有编号 19 的九个球，小红先后三次从盒子中取球，每次取 3 个，如果从第二次起每次取出的球的编号的和都比上一次的多 9，那么他第一次取的三个球的编号为_【考点】等差数列应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】走美杯，3 年级，初赛【解析】 根据题意知道这九个小球的编号和为： ，若想每次去球都比上一次的多12345 1-2-1-3.等差数列的认识与公式运用.题库 教师版 page 9 of 129，则从数论角度来看本题就是将 45 拆三个数字和，
27、并且三个数字和的公差为 9，所以第一次取球为 ，所以第一次去的 3 个求的编号为：1、2、3.459236【答案】1、2、3.【例 23】 小明练习打算盘，他按照自然数的顺序从 1 开始求和，当加到某一个数的时候，和是 1997，但他发现计算时少加了一个数，试问：小明少加了哪个数？【考点】等差数列应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【 解析解析 】 用 表示小明少加的那个数， ， ，两个相邻的自然x1972xn（13942nx（数的积比 3994 大一些，因为 和 比较接近，可以先找 3994 附近的平方数，最明显的（2要数 ，而后试算两个相邻自然数的乘积 ， ，3606786390，所以
28、，正确的和是 2016，少加的数为: 4263n 01【答案】 19【例 24】 黑板上写有从 1 开始的一些连续奇数：1，3，5，7，9，擦去其中一个奇数以后，剩下的所有奇数的和是 2008，那么擦去的奇数是 【考点】等差数列应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】走美杯【 解析解析 】 1，3，5，7， ，( )，这 个奇数之和等于 ， ，擦去的奇数是 21n2n450208【答案】【 巩固巩固 】 小明住在一条胡同里一天，他算了算这条小胡同的门牌号码他发现，除掉他自己家的不算，其余各门牌号码之和正好是 100请问这条小胡同一共有多少户(即有多少个门牌号码) ？小明家的门牌号码是多
29、少？【考点】等差数列应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【 解析解析 】 这道题目的具体数值只有一个，所以我们要通过估算的方法解决问题！我们都知道：，所以和在 100 附近的应该为 114、或 115，1205 ，小明家门牌号为 5，共有 14 户人家；14 ，小明家门牌号为 20，不再 115 的范围，所以不符合题意2【答案】共有 14 户人家；门牌号为 5【例 25】 在 51 个连续的奇数 1，3，5， ，101 中选取 k 个数，使得它们的和为 1949，那么 k 的最 大值是多少？【考点】等差数列应用题 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】华杯赛，决赛，第二大题，第 4 题，10
30、 分【解析】 显然，选的数越小，可以使选出的数的个数越多。首先考虑从 45 个连续的奇数 1，3，5，7，99 中选出 n 个数，使它们的和不超过 1949。由 得 1949。2135n n因为 1949，且 45 个奇数的和不小于 1949，所以 44。24013589205 n若选取 44 个奇数，因为偶数个奇数的和为偶数，而 1949 为奇数，所以不可能选取 44 个奇数，使得它们的和为 1949。所以 43。1-2-1-3.等差数列的认识与公式运用.题库 教师版 page 10 of 12因为 1949，2025194976，且 76 是偶数，241936所以至少从 1，3，5，89
31、中删除两个奇数，并使它们的和为 76。如，去掉 1，3，5，89 中的两个奇数 37 和 39，即选 1，3，35，41，87，89。易验证 。413892057694 所以 n 的最大值为 43。【答案】 4【例 26】 小丸子玩投放石子游戏，从 出发走 1 米放 1 枚石子，第二次走 4 米又放 3 枚石子，第三次走A7 米再放 5 枚石子，再走 10 米放 7 枚石子， 照此规律最后走到 处放下 35 枚石子问从 B到 路程有多远？AB【考点】等差数列应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【 解析解析 】 先计算投放了多少次由题意依次投放石子数构成的数列是：1，3，5，7， ，35这是一
32、个等差数列，其中首项 ，公差 ，末项 ，那么1a 2d= 35na；再看投放石子每次走的路程依次组成的数列：1518nad（1，4，7，10，这又是一个等差数列，其中首项 ，公差 ，项数 末项1（ ,3d1 8n，其和为 (米), , 35n（ ,125247nnSa【答案】【例 27】 如图，把边长为 1 的小正方形叠成“金字塔形”图，其中黑白相间染色如果最底层有 15 个正方形，问其中有多少个染白色的正方形，有多少个染黑色的正方形？【考点】等差数列应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【 解析解析 】 由题意可知，从上到下每层的正方形个数组成等差数列，其中 ， ， ，所以1a 2d15na，所以，白色方格数是：1528n（ 123836 （黑色方格数是： 7 （【答案】 8【 巩固巩固 】 有若干根长度相等的火柴棒，把这些火柴棒摆成如下图的图形照这样摆下去，到第 行为止10一共用了 根火柴棒【考点】等差数列应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】小机灵杯【 解析解析 】 横向： 行： 根；1行： 根；23行： 根；5行：10179
