1、机械能守恒专题一、单个物体的机械能守恒判断一个物体的机械能是否守恒有两种方法：（1）物体在运动过程中只有重力做功，物体的机械能守恒。（2）物体在运动过程中不受媒质阻力和摩擦阻力，物体的机械能守恒。所涉及到的题型有四类：（1）阻力不计的抛体类。 （2）固定的光滑斜面类。 （3）固定的光滑圆弧类。 （4）悬点固定的摆动类。（1）阻力不计的抛体类包括竖直上抛；竖直下抛；斜上抛；斜下抛；平抛，只要物体在运动过程中所受的空气阻力不计。那么物体在运动过程中就只受重力作用，也只有重力做功，通过重力做功，实现重力势能与机械能之间的等量转换，因此物体的机械能守恒。例 ：在高为 h 的空中以初速度 v0抛也一物体
2、，不计空气阻力，求物体落地时的速度大小？分析：物体在运动过程中只受重力，也只有重力做功，因此物体的机械能守恒，选水平地面为零势面，则物体抛出时和着地时的机械能相等得：2201tmvgh ghvt20（2）固定的光滑斜面类在固定光滑斜面上运动的物体，同时受到重力和支持力的作用，由于支持力和物体运动的方向始终垂直，对运动物体不做功，因此，只有重力做功，物体的机械能守恒。例 ，以初速度 v0 冲上倾角为光滑斜面，求物体在斜面上运动的距离是多少？分析：物体在运动过程中受到重力和支持力的作用，但只有重力做功，因此物体的机械能守恒，选水平地面为零势面，则物体开始上滑时和到达最高时的机械能相等得：sin21
3、0mghv sin20gv（3）固定的光滑圆弧类在固定的光滑圆弧上运动的物体，只受到重力和支持力的作用，由于支持力始终沿圆弧的法线方向而和物体运动的速度方向垂直，对运动物体不做功，故只有重力做功，物体的机械能守恒。例 ：固定的光滑圆弧竖直放置，半径为 R，一体积不计的金属球在圆弧的最低点至少具有多大的速度才能作一个完整的圆周运动？分析：物体在运动过程中受到重力和圆弧的压力，但只有重力做功，因此物体的机械能守恒，选物体运动的最低点为重力势能的零势面，则物体在最低和最高点时的机械能相等 22011tmvRgv要想使物体做一个完整的圆周运动，物体到达最高点时必须具有的最小速度为：所以 t gRv50
4、（4）悬点固定的摆动类和固定的光滑圆弧类一样，小球在绕固定的悬点摆动时，受到重力和拉力的作用。由于悬线的拉力自始至终都沿法线方向，和物体运动的速度方向垂直而对运动物体不做功。因此只有重力做功，物体的机械能守恒。例 ：如图，小球的质量为 m，悬线的长为 L，把小球拉开使悬线和竖直方向的夹角为，然后从静止释放，求小球运动到最低点小球对悬线的拉力分析：物体在运动过程中受到重力和悬线拉力的作用，悬线的拉力对物体不做功，所以只有重力做功，因此物体的机械能守恒，选物体运动的最低点为重力势能的零势面，则物体开始运动时和到达最低点时的机械能相等得： 由向心力的公式知：21)cos(tmvgL )cos1(2g
5、Lvt可知Tt2 cos3gT作题方法：一般选取物体运动的最低点作为重力势能的零势参考点，把物体运动开始时的机械能和物体运动结束时的机械能分别写出来，并使之相等。注意点：在固定的光滑圆弧类和悬点定的摆动类两种题目中，常和向心力的公式结合使用。这在计算中是要特别注意的。练习题1、三个质量相同的小球悬挂在三根长度不等的细线上，分别把悬线拉至水平位置后轻轻释放小球，已知线长 LaLbLc，则悬线摆至竖直位置时，细线中张力大小的关系是（ ）A TcTbTa B TaTbTc C TbTcTa D Ta=Tb=Tc2、一根长为 l 的轻质杆，下端固定一质量为 m 的小球，欲使它以上端 o 为转轴刚好能在
6、竖直平面内作圆周运动（如图） ，球在最低点 A 的速度至少多大？如将杆换成长为 L 的细线，则又如何？3、如图，一质量为 m 的木块以初速 V0从 A 点滑上半径为 R 的光滑圆弧轨道，它通过最高点 B时对轨道的压力 FN 为多少？4、一质量 m = 2 千克的小球从光滑斜面上高 h = 3.5 米高处由静止滑下斜面底端紧接着一个半径 R = 1 米的光滑圆环（如图）求：（1）小球滑至圆环顶点时对环的压力；（2）小球至少要从多高处静止滑下才能越过圆环最高点；（3）小球从 h0 = 2 米处静止滑下时将在何处脱离圆环（g =9.8 米/秒 2） 。二、系统的机械能守恒由两个或两个以上的物体所构成
7、的系统，其机械能是否守恒，要看两个方面（1）系统以外的力是否对系统对做功，系统以外的力对系统做正功，系统的机械能就增加，做负功，系统的机械能就减少。不做功，系统的机械能就不变。（2）系统间的相互作用力做功，不能使其它形式的能参与和机械能的转换。系统内物体的重力所做的功不会改变系统的机械能系统间的相互作用力分为三类：1）刚体产生的弹力：比如轻绳的弹力，斜面的弹力，轻杆产生的弹力等2）弹簧产生的弹力：系统中包括有弹簧，弹簧的弹力在整个过程中做功，弹性势能参与机械能的转换。3）其它力做功：比如炸药爆炸产生的冲击力，摩擦力对系统对功等。在前两种情况中，轻绳的拉力，斜面的弹力，轻杆产生的弹力做功，使机械
8、能在相互作用的两物体间进行等量的转移，系统的机械能还是守恒的。虽然弹簧的弹力也做功，但包括弹性势能在内的机械能也守恒。但在第三种情况下，由于其它形式的能参与了机械能的转换，系统的机械能就不再守恒了。归纳起来，系统的机械能守恒问题有以下四个题型：（1）轻绳连体类（2）轻杆连体类（3）在水平面上可以自由移动的光滑圆弧类。 （4）悬点在水平面上可以自由移动的摆动类。（1）轻绳连体类这一类题目，系统除重力以外的其它力对系统不做功，系统内部的相互作用力是轻绳的拉力，而拉力只是使系统内部的机械能在相互作用的两个物体之间进行等量的转换，并没有其它形式的能参与机械能的转换，所以系统的机械能守恒。例 ：如图，倾
9、角为的光滑斜面上有一质量为 M 的物体，通过一根跨过定滑轮的细绳与质量为 m 的物体相连，开始时两物体均处于静止状态，且 m 离地面的高度为 h，求它们开始运动后 m 着地时的速度？分析：对 M、m 和细绳所构成的系统，受到外界四个力的作用。它们分别是：M 所受的重力Mg，m 所受的重力 mg，斜面对 M 的支持力 N，滑轮对细绳的作用力 F。M、m 的重力做功不会改变系统的机械能，支持力 N 垂直于 M 的运动方向对系统不做功，滑轮对细绳的作用力由于作用点没有位移也对系统不做功，所以满足系统机械能守恒的外部条件，系统内部的相互作用力是细绳的拉力，拉力做功只能使机械能在系统内部进行等量的转换也
10、不会改变系统的机械能，故满足系统机械能守恒的外部条件。在能量转化中，m 的重力势能减小，动能增加，M 的重力势能和动能都增加，用机械能的减少量等于增加量是解决为一类题的关键可得221sinmvgh mMghv)sin(2需要提醒的是，这一类的题目往往需要利用绳连物体的速度关系来确定两个物体的速度关系例 ：如图，光滑斜面的倾角为，竖直的光滑细杆到定滑轮的距离为 a，斜面上的物体 M 和穿过细杆的 m 通过跨过定滑轮的轻绳相连，开始保持两物体静止，连接 m 的轻绳处于水平状态，放手后两物体从静止开始运动，求 m 下降 b 时两物体的速度大小？（2）轻杆连体类这一类题目，系统除重力以外的其它力对系统
11、不做功，物体的重力做功不会改变系统的机械能，系统内部的相互作用力是轻杆的弹力，而弹力只是使系统内部的机械能在相互作用的两个物体之间进行等量的转换，并没有其它形式的能参与机械能的转换，所以系统的机械能守恒。例 ：如图，质量均为 m 的两个小球固定在轻杆的端，轻杆可绕水平转轴在竖直平面内自由转动，两小球到轴的距离分别为 L、2L，开始杆处于水平静止状态，放手后两球开始运动，求杆转动到竖直状态时，两球的速度大小分析：由轻杆和两个小球所构成的系统受到外界三个力的作用，即 A 球受到的重力、B 球受到的重力、轴对杆的作用力。两球受到的重力做功不会改变系统的机械能，轴对杆的作用力由于作用点没有位移而对系统
12、不做功，所以满足系统机械能守恒的外部条件，系统内部的相互作用力是轻杆的弹力，弹力对 A球做负功，对 B 球做正功，但这种做功只是使机械能在系统内部进行等量的转换也不会改变系统的机械能，故满足系统机械能守恒的外部条件。在整个机械能当中，只有 A 的重力势能减小，A 球的动能以及 B 球的动能和重力势能都增加，我们让减少的机械能等于增加的机械能。有： 2212BAmvgLm根据同轴转动，角速度相等可知所以：BAvgLvBA52需要强调的是，这一类的题目要根据同轴转动，角速度相等来确定两球之间的速度关系（3）在水平面上可以自由移动的光滑圆弧类。光滑的圆弧放在光滑的水平面上，不受任何水平外力的作用，物
13、体在光滑的圆弧上滑动，这一类的题目，也符合系统机械能守恒的外部条件和内部条件，下面用具体的例子来说明例 ：四分之一圆弧轨道的半径为 R，质量为 M，放在光滑的水平地面上，一质量为 m 的球（不计体积）从光滑圆弧轨道的顶端从静止滑下，求小球滑离轨道时两者的速度？分析：由圆弧和小球构成的系统受到三个力作用，分别是 M、m 受到的重力和地面的支持力。m 的重力做正功，但不改变系统的机械能，支持力的作用点在竖直方向上没有位移，也对系统不做功，所以满足系统机械能守恒的外部条件，系统内部的相互作用力是圆弧和球之间的弹力，弹力对 m 做负功，对 M 做正功，但这种做功只是使机械能在系统内部进行等量的转换，不
14、会改变系统的机械能，故满足系统机械能守恒的外部条件。在整个机械能当中，只有 m 的重力势能减小，m 的动能以及 M 球的动能都增加，我们让减少的机械能等于增加的机械能。有： 221MvmgR根据动量守恒定律知 所以：Mmv0)(2)(2mMgRvmMgRvm（4）悬点在水平面上可以自由移动的摆动类。悬挂小球的细绳系在一个不受任何水平外力的物体上，当小球摆动时，物体能在水平面内自由移动，这一类的题目和在水平面内自由移动的光滑圆弧类形异而质同，同样符合系统机械能守恒的外部条件和内部条件，下面用具体的例子来说明例 ：质量为 M 的小车放在光滑的天轨上，长为 L 的轻绳一端系在小车上另一端拴一质量为
15、m 的金属球，将小球拉开至轻绳处于水平状态由静止释放。求（1）小球摆动到最低点时两者的速度？（2）此时小球受细绳的拉力是多少？分析：由小车和小球构成的系统受到三个力作用，分别是小车、小球所受到的重力和天轨的支持力。小球的重力做正功，但重力做功不会改变系统的机械能，天轨的支持力，由于作用点在竖直方向上没有位移，也对系统不做功，所以满足系统机械能守恒的外部条件，系统内部的相互作用力是小车和小球之间轻绳的拉力，该拉力对小球做负功，使小球的机械能减少，对小车做正功，使小车的机械能增加，但这种做功只是使机械能在系统内部进行等量的转换，不会改变系统的机械能，故满足系统机械能守恒的外部条件。在整个机械能当中
16、，只有小球的重力势能减小，小球的动能以及小车的动能都增加，我们让减少的机械能等于增加的机械能。有： 221mMvmgL根据动量守恒定律知 M0所以： )(2)(2mgLvgLvm当小球运动到最低点时，受到竖直向上的拉力 T 和重力作用，根据向心力的公式但要注意，公式中的 v 是 m 相对于悬点的速度，这一点是非常重要的LmvgT2解得：M2)(MgT23习题 1 如图 5315 所示，质量相等的甲、乙两小球从一光滑直角斜面的顶端同时由静止释放，甲小球沿斜面下滑经过 a 点，乙小球竖直下落经过 b 点， a、 b 两点在同一水平面上，不计空气阻力，下列说法中正确的是( )A甲小球在 a 点的速率
17、等于乙小球在 b 点的速率B甲小球到达 a 点的时间等于乙小球到达 b 点的时间C甲小球在 a 点的机械能等于乙小球在 b 点的机械能(相对同一个零势能参考面)D甲小球在 a 点时重力的功率等于乙小球在 b 点时重力的功率解析：由机械能守恒得两小球到达 a、 b 两处的速度大小相等，A、C 正确；设斜面的倾角为 ，甲小球在斜面上运动的加速度为 a gsin ，乙小球下落的加速度为 a g，由 t可知 t 甲 t 乙 ，B 错误；甲小球在 a 点时重力的功率 P 甲 mgvsin ，乙小球在 b 点时重va力的功率 P 乙 mgv，D 错误 答案：AC2图 5316一根质量为 M 的链条一半放在
18、光滑的水平桌面上，另一半挂在桌边，如图 5316(a)所示将链条由静止释放，链条刚离开桌面时的速度为 v1.若在链条两端各系一个质量均为 m的小球，把链条一半和一个小球放在光滑的水平桌面上，另一半和另一个小球挂在桌边，如图 5316(b)所示再次将链条由静止释放，链条刚离开桌面时的速度为 v2，下列判断中正确的是( ) A若 M2 m，则 v1 v2 B若 M2 m，则 v1 v2C若 M2 m，则 v1 v2 D不论 M 和 m 大小关系如何，均有 v1 v2 答案：D3.图 5317在奥运比赛项目中，高台跳水是我国运动员的强项质量为 m 的跳水运动员进入水中后受到水的阻力而做减速运动，设水
19、对他的阻力大小恒为 F，那么在他减速下降高度为 h 的过程中，下列说法正确的是( g 为当地的重力加速度)( )A他的动能减少了 Fh B他的重力势能增加了 mghC他的机械能减少了( F mg)h D他的机械能减少了 Fh解析：由动能定理， Ek mgh Fh，动能减少了 Fh mgh，A 选项不正确；他的重力势能减少了 mgh，B 选项错误；他的机械能减少了 E Fh，C 选项错误，D 选项正确 答案：D4图 5318如图 5318 所示，静止放在水平桌面上的纸带，其上有一质量为 m0.1 kg 的铁块，它与纸带右端的距离为 L0.5 m，铁块与纸带间、纸带与桌面间动摩擦因数均为 0.1.
20、现用力 F 水平向左将纸带从铁块下抽出，当纸带全部抽出时铁块恰好到达桌面边缘，铁块抛出后落地点离抛出点的水平距离为 s0.8 m已知 g10 m/s2，桌面高度为 H0.8 m，不计纸带质量，不计铁块大小，铁块不滚动求：(1)铁块抛出时速度大小；(2)纸带从铁块下抽出所用时间 t1；(3)纸带抽出过程产生的内能E.解析：(1)水平方向： s vt 竖直方向： H gt2 由联立解得： v2 m/s.12(2)设铁块的加速度为 a1，由牛顿第二定律，得 mg ma1 纸带抽出时，铁块的速度v a1t1联立解得 t12 s. (3)铁块的位移 s1 a1t 设纸带的位移为 s2；由题意知，12 21s2 s1 L由功能关系可得 E mgs 2 mg (s2 s1) 由联立解得 E0.3 J.答案：(1)2 m/s (2)2 s (3)0.3 J5.
