1、第 1 课时 直线的倾斜角与斜率【预习导航】1.在直角坐标系中,对于一条与 轴相交的直线 ,把 轴( 正方向)按逆时针绕着交点旋xlx转到和直线 重合所成的角 ,叫做直线 的_,当直线 与 轴平行时,直线的倾斜角为l l_,倾斜角 的取值范围为_.2.若 ,则 , 两点所在直线的斜率 _.12x1()Axy2()Bk参考答案: 1.倾斜角, ,0802. 21kx【基础自测】1.若一条直线的倾斜角为 ,则这条直线的斜率为( )30(A) (B) (C) (D)1232.若一条直线经过 , 两点,则这条直线的倾斜角为( )(21)A0B(A) (B) (C) (D)45601353.若经过 ,
2、两点的直线的斜率为 ,则 ( )(,21)m()1m(A) (B) (C) (D)3024.以下说法正确的是( )(A)直线的倾斜角增大时,其斜率增大(B)直线的倾斜角增大时,其斜率减小(C)斜率为正的直线不可能经过第四象限(D)过第一、二、三象限的直线斜率为正参考答案: 1.C 2.A 3.B 4.D【典例剖析】题型 1: 倾斜角与斜率的概念例 1 在下列四个命题中,正确的有_个.(1)在坐标平面内的任何一条直线都有倾斜角和斜率；(2)直线倾斜角的取值范围为 ；0,18(3)若直线的倾斜角为 ,则此直线的斜率为 ；tank(4)若直线向上的方向与 轴正方向所成角为 ,则直线的倾斜角为 或 .
3、y90思路分析根据倾斜角与斜率的定义对各个命题逐一进行判断即可.解由于当直线的倾斜角为 时,其斜率不存在,故(1),(3)均不对；由倾斜角的定义可知90直线倾斜角的范围为 ,故(2)不对；对于(4),当 时,直线的倾斜角为 ,符合,18) =090题意；当直线向上的部分在 轴左侧时,直线的倾斜角为 ,当直线向上的部分在 轴y9y左侧时,直线的倾斜角为 ,符合题意；当 时,直线的倾斜角为 ,符合题意；故90(4)正确.综上可知,正确的命题个数为 .1规律技巧掌握直线的倾斜角与斜率的概念是解决此类问题的关键.1已知直线 的倾斜角的变化范围为 ，求该直线斜率的变化范围；思路点拨：已知角的范围，通过正
4、切函数的图像，可以求得斜率的范围，反之，已知斜率的范围，通过正切函数的图像，可以求得角的范围解析： ， 总结升华：在知道斜率的取值范围求倾斜角的取值范围，或知道倾斜角的取值范围求斜率的取值范围时，可利用 在 和 上是增函数分别求解.当 时，；当 时， ；当 时， ；当 不存在时， .反之，亦成立.变式训练下列叙述中不正确的是( )A.若直线的斜率存在,则必有倾斜角与之对应B.每一条直线都有且只有一个倾斜角C.与坐标轴垂直的直线的倾斜角为 或09D.若直线的倾斜角为 ,则这条直线的斜率为 ；tan解:当直线的倾斜角 时 , 没有意义,从而可知 D 选项不正确,答案为 D.=90tan2如图，直线
5、 l 经过二、三、四象限， l 的倾斜角为 ，斜率为 k，则 ( )A ksin0 B kcos0C ksin0 D kcos0解析：显然 k0. 2答案：B变式：直线 过 两点，则直线 的倾斜角的取值范围为 l(4,1)A23,)(BaRl。（2010 山东潍坊，模拟）直线 的倾斜角的范围是A B C D 【答案】B解析：由直线 ，所以直线的斜率为 设直线的倾斜角为 ，则 又因为 ，即 ，所以 题型 2: 直线的斜率公式及其应用2已知ABC 为正三角形，顶点 A 在 x 轴上，A 在边 BC 的右侧，BAC 的平分线在 x轴上，求边 AB 与 AC 所在直线的斜率. 思路点拨：本题关键点是求
6、出边 AB 与 AC 所在直线的倾斜角，利用斜率的定义求出斜率.解析：如右图，由题意知BAO=OAC=30直线 AB 的倾斜角为 180-30=150，直线 AC 的倾斜角为 30，k AB=tan150= kAC=tan30=总结升华：在做题的过程中，要清楚倾斜角的定义中含有的三个条件直线向上方向 轴正向小于 的角，只有这样才能正确的求出倾斜角.若 三点共线,求实数 的值.(2,4)(3),(1ABmC， m解:点 共线,)， ,即 .ABCk43(2)1()解得 .1m变式训练变式：1.若三点 A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab0)共线，则 + 的值等于a1b_.答案： 21【
7、变式 1】如图，直线 的斜率分别为 ，则( )A BC D【答案】由题意， ，则本题选题意图：对倾斜角 变化时， 如何变化的定性分析理解.选 B.【变式 1】过两点 ， 的直线 的倾斜角为 ，求 的值【答案】由题意得：直线 的斜率 ，故由斜率公式 ，解得 或 经检验 不适合，舍去.故 【变式 2】为何值时，经过两点 (- ，6) ， (1， )的直线的斜率是 12【答案】，即当 时， ， 两点的直线的斜率是 123.若一个直角三角形的三条边所在直线的斜率分别为 k1， k2， k3，且 k1k2k3，则下列说法中一定正确的是 ( )A k1k21 B k2k31 C k10 D k20解析：结
8、合图形知， k10.答案：C5已知两点 A(1，5)， B(3，2)，若直线 l 的倾斜角是直线 AB 倾斜角的一半，则 l的斜率是_解析：设直线 AB 的倾斜角为 2，则直线 l 的倾斜角为 ，由于 02180，0 90 ，由 tan2 ，得 tan ，即直线 l 的斜率为 .答案： 2 ( 5)3 ( 1) 34 13 13 13题型 3: 直线的倾斜角与斜率关系的应用例 3 设点 在函数 的图像上,且 ,求 的最大值和最小值.(,)Pmn82yx23mn思路分析由消元可将原问题转化为函数求解；由 可看成点 与坐标原点连0nm(,)Pmn线的斜率来求解.在此,我们用后者.解在函数 的图像上
9、 的点为 , 的点为 ,82yx2m(4)A3(2)B又由于 ,故 表示线段 上的点 与坐标原点连线的斜率,而0nmnBPmn, ,42OAk23OBk故 的最大值为 ,最小值为 .n规律技巧本题将代数式的几何意义进行了挖掘,是数形结合法的典型应用,值得大家学习和借鉴.另外需要注意的是,本题中的 在临界状态 与 之间,而有的题目可能在临界nmOAkB状态之外,需要注意体会.6.已知两点 A(3,4)、 B(3，2)，过点 P(2，1)的直线 与线段 AB有公共点.l(1)求直线 的斜率 k的取值范围 .l(2)求直线 的倾斜角 的取值范围.变式训练设点 在函数 的图像上,且 ,求 的取值范围.
10、(,)Pmn5yx23mn解:在函数 的图像上 的点为 , 的点为 ,5yx2(7)A(2)B又由于 ,故 表示线段 上的点 与坐标原点连线的斜率,而0nnBPn, ,72OAk203OBk故 或 .nm10.若关于 x 的方程| x1| kx0 有且只有一个正实数根，则实数 k 的取值范围是_解析：数形结合在同一坐标系内画出函数 y kx， y| x1|的图象如图所示，显然k1 或 k0 时满足题意. 答案： k1 或 k011(2009青岛模拟 )已知点 A(2,3)， B(5,2)，若直线 l 过点 P(1,6)，且与线段 AB相交，则该直线倾斜角的取值范围是_解析：如图所示，kPA 1
11、，直线 PA 的倾斜角为 ，6 3 1 2 34kPB 1，直线 PB 的倾斜角为 ，6 2 1 ( 5) 4从而直线 l 的倾斜角的范围是 ， 答案： ， 4 34 4 34例 6.已知两点 M(2，3)、 N(3，2)，直线 l过点 P(1，1)且与线段 MN相交，则直线的斜率 k的取值范围是 ( ) 新 疆学 案王 新 敞lA.k 或 k4 B.4 k C. k4 D. k434343【课时作业】一、选择题1.过点 的直线的倾斜角为( )(3,2)(,3AB，(A) (B) (C) (D)45601520答案:A. 因 .32()ABk2.若过点 的直线的斜率为 ,则 的值为( )(,)
12、,8m1m(A) (B) (C) (D)1212答案:D. 由 得 .()ABk3.若过 两点的直线的倾斜角为锐角,则 的取值范围为( )(2,1)mm(A) (B)1(C) (D)答案:B. 由 可得 .012ABkm4.下列各组中,三点共线的是( )(A) ,4(,)(3,5C(B) 2,7,6,)AB(C) 1(,0),)(,23(D) ,4,C答案:C. 由斜率公式计算可得答案.二、填空题5.若直线的倾斜角为 ,则该直线的斜率为_；若直线的斜率不存在,则该直线的倾0斜角为_.答案: ,不存在 .06.若点 所在直线的斜率与点 所在直线的斜率相等,则实数 的值(4,2)5,ABm(1,2
13、)34CDm为_.答案: . 由 得 .342531ABk7.已知直线 的斜率分别为 ,若点 的坐标分别为 ,则点 的坐标,PMN74,MN(5,3)2P为_.答案: . 设点 的坐标为 ,则由题意可得 ,且 ,于是可解得(1,5)()xy25yx734yx.,xy8.若将直线沿 轴负方向平移三个单位,再沿 轴正方向平移一个单位后,又回到了原来的xy位置,则原直线的斜率为_.答案: . 设 是原直线上任意一点,则平移两次后的点 也在原直线上,13()Pmn (3,1)Qmn由此求得 的斜率即可.Q.13PQnkm三、解答题9.已知直线 过点 ,根据以下条件求实数 的值.l(2,3)(1)AmB
14、(1)直线 的倾斜角为 ；90(2)直线 的倾斜角为 ；l5(3)点 也在直线 上.(3,)Cml解:(1)因 ,故 .21(2)因 ,故 .()tan351m(3)因 ,故 .3()22m310.已知 为坐标原点,且点 在函数 的图像上,求直线O(,)Pn24103yx(2)x倾斜角 的取值范围.OP解 :由题意可知函数的图像是下图中的曲xy 2-1BA PO线段 ,其中点 分别为 和 .从而可求得 :AB,(1,)A(2,)B, ,10Ok20OBk于是直线 的斜率 满足:P或 .1k又由于 ,且 ,故可得:tank0或 ,且 .t11解得: 或 .3242另外,直线 的倾斜角能取到 .O
15、P综上可知,直线 倾斜角 的取值范围为 .34一、选择题1.直线 与直线 的位置关系是( )2xya2xybA.平行 B.垂直 C.相交 D.重合答案:B 由题意可知直线 的斜率为 ,直线 的斜率为 ,且xya12kxyb21k,故两直线垂直.12k2.过点 ,且与 平行的直线的方程为( )(3)230xyA. B.70xy1C. D.255xy答案:A 由于直线 的斜率为 ,故所求直线方程为 ,也即是2301213()2yx.270xy3.若直线 : 与 平行,则 在两坐标轴上的截距和为( )lxayyxlA. B. C. D.2126答案:C 由两直线平行可得 ,再依次令 得 ,令 得 ,
16、从而可得1a0x4y02x.4(2)4.过点 ,且与 垂直的直线的方程为( )13230xyA. B.70xy5C. D.251xy答案:D 由于直线 的斜率为 ,故所求直线方程为 ,也即是2301232(1)yx.210xy二、填空题5.若直线 , 的斜率分别是一元二次方程 的两个不同实根,则直线 与 的位置1l2 215x1l2关系为_答案:垂直 由韦达定理可知两直线斜率之积为 ,故两直线互相垂直.6.若过 两点的直线平行于直线 ,则 _.(2,)(,4AmB210xym答案: . 由题知 ,故 .828m7.若直线 平行于 ,则 的值为_.(3)(4)10kxky(3)20kxyk答案: 或 . 由两直线平行可得 : ,解得 或 .经检验,5 (4)(3)3k5当 或 时, 两直线均平行而不重合 ,符合题意.3k8.顺次连接点 , , 及 得到的四边形为_(43)A(25)B(63)C(,0)D答案:直角梯形. 由四点坐标可得四边所在直线的斜率依次为:, ,512(4)3ABk162BCk, .06()CD034()AD从而可得 , ,以及BCkBCk,故 是直角梯形.1ABDk三、解答题9.已知直线 与直线 : 平行,且直线 与两坐标轴所围成的三角形的面积为 ,1l2l350xy1l 6求直线 的方程 .1l
