1、赛思教育 函数定义域，值域，解析式专题函数的定义域（1）函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合（2）求函数定义域的注意事项分式分母不为零； 偶次根式的被开方数大于等于零；零次幂的底数不为零； 实际问题对自变量的限制若函数由几个式子构成，求其定义域时要满足每个式子都要有意义（取“交集” ） 。（3）抽象复合函数定义域的求法已知 y=f（x ）的定义域是 A，求 y=f（g（x ） ）的定义域，可通过解关于 g（x）A 的不等式，求出 x 的范围已知 y=f（g（x ） ）的定义域是 A，求 y=f（x ）的定义域，可由 xA，求 g（x）的取值范围（即 y=g（x ）的值
2、域） 。例 1函数 的定义域为 ( )41xfA. ( ，4) B. 4，) C. (，4 D. ( ，1)(1,4【答案】D【解析】要使解析式有意义需满足： ，即 且401x41x所以函数 的定义域为(，1)(1,4 故选：D41xf例 2函数 的定义域为( )22yA. B. C. 1 D. -1,1|x或 |1x【答案】D【解析】函数 可知: ,解得： .22yx210x1x函数 的定义域为-1,1.故选 D.221yxx例 3已知函数 的定义域为 ，函数 定义域为_.f2,fx【答案】 【解析】由函数 的的定义域为(2,2)，得： ，, 1yfx213x赛思教育 函数定义域，值域，解析
3、式专题故函数 f(x)的定义域是 .1,3例 4若函数 的定义域为 ,则函数 的定义域是（ ）yf0221fxgA. B. C. D. 0,1,1,4,【答案】A 函数 的定义域是 ， ，解不等式组： ，故选 A.yfx0,22 10x01x例 5已知函数 的定义域是 ，则 的定义域是（ ）1f,32yfA. B. C. D. 1,40,62,4【答案】C【解析】解：由条件知： 的定义域是 ，则 ，1fx2,31x4所以 ，得2x,例 6已知函数 定义域是 ，则 的定义域是（ ）yfx()123， yfx()A B. C. D. 052， 4， 5， 7，【答案】A 【解析】 52,14,14
4、,02xxx例 7函数 的定义域为_1y【答案】 【解析】要使函数有意义，则 ，即 ，即 ，故函3,42x210x34x数的定义域为 ，故答案为 .3,4函数值域定义：对于函数 y=f（x ） ，xA 的值相对应的 y 值叫函数值，函数值得集合f（x）|xA 叫做函数的值域。（2）求函数值域的常用方法观察法：通过解析式的简单变形和观察（数形结合） ，利用熟知的基本初等函数的值域，求出函数的值域。配方法：若函数是二次函数形式，即可化为 y=ax2+bx+c(a=0)型的函数，则可通过配方再赛思教育 函数定义域，值域，解析式专题结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间的二次函数最值得求法（可结合
5、图像） 。换元法:通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数划归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围求函数的值域。分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分数转化为“反比例函数”的形式，便于求值域。y= 型 y= 值域：y |y + + + 判别式法：它主要适用于分式型二次函数，或可通过换元法转化为二次函数的一些函数求值域问题。但在用判别式法求值域时因忽视一些“着重点”而容易出错。充分利用函数的单调性，对单调性未知的，应该先判断其单调性。在通过定义域进行判断其函数取值范围。注意：值域对基础函数、不等式、开方，绝对值等的要求较高，学生需要注意这些方面的掌握。例 1函数 的值域为
6、（ ）24fxA. B. C. D. ,4,4,4,【答案】D ，故函数的值域为 ，故选 D.2fx例 2若函数 的定义域为 ，值域为 ，则 的取值范围是（ ）34y0,m25,4mA B C D0,425,3,3,2【答案】C【解析】试题分析：函数 对称轴为 ，当 时 ，当 时 ，24yxx54y0xy所以结合二次函数图像可知 的取值范围是m3,例 3函数 的值域为（ ）29yxA. B. C. D.|x|03x|3x|3x【答案】B【解析】试题分析：由于 ，所以 ，故选 B.29209例 4函数 的值域是 _.21yx赛思教育 函数定义域，值域，解析式专题【答案】【解析】由 ，得 ，解之得
7、 。10,221yx211,20xxRyy12y例 5已知 ,则 f（x ）的值域为_xf53)(【答案】y|y-1 【解析】主要考查函数值域的求法。由 = =1 ，因xf53)()855x为 0，所以 1 ，故 f（x）的值域为y|y-1 。8xxf)(例 6求函数2y的值域。【 解 析 】 思路分析：1）题意分析：这是求分式型函数的值域，而且分子、分母是同次幂。2）解题思路：分离出常数，使问题简化。解：分离常数，得2213xy。由 21x ，得 230x，即有 y . 所以函数的值域是 12，。解题后的思考：该方法适用于分式型函数，且分子、分母是同次幂，这时可以通过多项式的除法，分离出常数
8、，使问题简化。例 7 求函数 的值域。321xy解 原式变形为 （*）0)13()()( yx（1）当 时，方程（* ）无解；2y（2）当 时， ， ，解得 。Rx0)13(24)( yy 213y由（1） 、 （2）得，此函数的值域为 1,03例 8 求函数 的值域。1xy解 令 ，则 t 0，得 ， ，t12tx43212tty又 0， ， 故原函数的值域为t4322ty ,y函数解析式的表达方式待定系数法：若已知函数模型(如一次函数、二次函数等)，可用待定系数法求解。赛思教育 函数定义域，值域，解析式专题换元法：已知复合函数 f(g(x)的解析式，可用换元法，但此时要注意换元法之后自变量
9、的组织范围。解方程组法:已知函数 f（x）满足某个等式，这个等式除 f（x）是未知量外，外出现其他未知量，如 f（-x） ，f（ ）等，必须根据已知等式（如用-x 或者 替换 x）再构造其他等式1 1组成方程组，通过解方程组求 f（x ）的解析式。例 1已知 是一次函数，且 ， ，则 的解析式为（ ）()fx3(1)25f2(0)1f()fxA B C D32fx3x23【答案】A 试题分析：设一次函数 ，依题意有 ，fkb5kb，联立方程组，解得 ，所以 . 考点：待定系数法求解析式.21bk3,2kb()2fx例 2已知 是一次函数，且满足 则)(xf ,17)(xfA. B. C. D.
10、 53132x3252x【答案】A【解析】因为 是一次函数，且满足 则)(f f(x)ab,f(1)3a()b2x17,，选 A)(xf532例 3已知 ，则函数 的解析式为（ ）1fx()fxA. B. 2()f 21C. D.xx()fxx【答案】C【解析】试题分析：设 则 代入已知可得1t2,(1)tt函数 的解析式为 考点：函数的解析2()1fttt()fx21fxx式例 4若 的解析式为 （ ）()63,()21,fgxgxf且 则A3 B C D 6【答案】B 试题：令 ，则 ，所以 = ，故 ，选 B.)(xt 2t 3216)(tftxf3)(赛思教育 函数定义域，值域，解析式
11、专题练习题1函数 f(x)= 的定义域是 ( )2+2|A. x| 1x2 B. x| 1x0 或 0x2 C. x|1x0 D. x|0x2【答案】C【解析】由题设可得 ，应选答案 C。2200 |102函数 xy1的定义域是 （ ）A )， B )0, C 0,1|xx且 D ),1(【答案】C【解析】试题分析： ，解得： 且 ，故选 C.考点：函数的定义域3 如果函数 的值域为 ，则 的值域为（ ）yfx,ab1fxA. B. C. D. 1,ab1,ab【答案】C【解析】函数 的值域为 ,yfx而函数 是把函数 向左平移 1 个单位得到的,纵坐标不变,yfx的值域为 .所以 C 选项是
12、正确的.1f,ab4函数 yx 22x 的定义域为 0,1,2,3，那么其值域为 ( )A. 1,0,3 B.0,1,2,3 C.y|1y3 D.y|0y3【答案】A【解析】把 x 0,1,2,3 分别代入 yx22x，即 y0，1,3.5定义在 R上的函数 ()yf的值域为 ,ab，则函数 (1)fx的值域为( )A 1,ab；B ,ab；C 1；D无法确定 【答案】 B【解析】函数 ()yfx的图象可以视为函数 ()yfx的图象向右平移一个单位而得到，所以，它们的值域是一样的6函数 24yx的值域是（ ）A. 2, B.1, C. 0, D. 2,【答案】C【解析】 22224()4,4,
13、40xxxx20,0y；7已知 ，则 的表达式是（ ）215fxxfx赛思教育 函数定义域，值域，解析式专题A. B. C. D. 26x287x23x2610x【答案】A【解析】令 , 1t1t2456fttt故 A 正确2fx点睛:在求解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域如已知 f( )x1，求函数 f(x)的解析式，通过换元的方法可得 f(x)x 21，函数 f(x)的定义域是0，)，而不是(，)8已知函数 ，则函数 的解析式为（ ）(1)fxA.B. C. D.()2f(fx1()fx1()2fx【答案】A【解析】试题分析:令 ，则 ，所以 ，即1tt12tf.故选 A.考点
14、：函数的解析式.1()xf9已知 ，则 的表达式为（ ）2)f()fxA B(1x21)C D2)f(fx【答案】B【解析】试题分析：由题意得，设 ，则 ，所以 ，tx1t2(1)2ftt所以函数的解析式为 ，故选 B2()1fx考点：函数的解析式10已知 ，则 f(x)的表达式为1()fA B C Dxx1x21x【答案】A【解析】试题分析：设 tt1txff考点：换元法求函数解析式11设函数 cxf4)(2，则下列关系中正确的是 （ ）.A. 0)1f B. )2(0)1(ff C. )2(f D. 1【答案】B【解析】试题分析：函数是开口向上的抛物线，对称轴是 ，离对称轴越远，函数值越大
15、，所以2x，故选 B.考点：二次函数的单调性01ff赛思教育 函数定义域，值域，解析式专题12若一次函数 满足 ，则 的解析式是xf8923xf xfA. B.89xf 23fC. D. 或43x43xf【答案】B 分析： 29862fx f考点：函数求解析式13函数 ,若 ，则函数 的解析式是（ ）()(0)fkb,1,y()yfxA. B. 21yx()2xC. 或 D.21yxy【答案】A【解析】试题分析：由函数解析式可知函数为增函数，所以 121bkyxk考点：函数求解析式14函数 则 （ ）),12(),32)(xgfxg )(fA. B. C. D.12x5454x14x【答案】B
16、【解析】试题分析： ，312f，故选 B.考点：复合函数xf15已知 ，则函数 的解析式为（ ）1f ()fxA. B.2()fx 21xC. D.x()f【答案】C【解析】试题分析：设 则 代入已知可得1xt2,()tt函数 的解析式为 2()1fttt()f 21fxx16若 f(x)对于任意实数 x 恒有 2f(x)f(x)3x1，则 f(x)( )Ax1 Bx1 C2x1 D3x3【答案】B 【解析】2f(x)f(x)3x1，将中 x 换为x，则有 2f(x)f(x)3x1，2得 3f(x)3x3， f(x)x1.考点：复合函数解析式求法17已知 2)1(xf， 6)(mf则 等于 (
17、 )A. 23 B. 3 C. 41 D. 41赛思教育 函数定义域，值域，解析式专题【答案】D【解析】试题分析：令 ，所以 ，因为Rtxt,2,1-2则 7432ttf6)(mf所以 4。m即,674考点：函数解析式的求法。点评：用换元法求函数的解析式一定要注意新元的取值范围。18已知 ，则 的值为 （ ）04)(xxf )3(fA2 B2 C3 D3 【答案】C【解析】本题考查分段函数的概念.求分段函数的函数值，首先确定自变量在哪一段的自变量取值范围内，然后把自变量代入该段的对应关系式求出函数值。故选 C(3)41,()4,(3).fff19若函数 ,则 的值为( )21)(xf2fA.
18、B. C. D.181567689【答案】A【解析】 故选 A2115(2)4,().46ff20设 1gxmx（1）若 的定义域为 ，求 的范围；（2）若 的值域为 ，求 的范围.Rgx0,m【答案】(1) ；（2） .,40,4【解析】试题分析：（1）讨论 与 ，两种情况，使得 恒成立，列出关于 的m210x不等式，从而可得结果；（2）讨论 与 ，两种情况， 能取到一切大于或等于 0 的实数，0f解不等式即可得结果.试题解析：（1）由题知 恒成立.21fx当 时， 不恒成立；0m0当 时，要满足题意必有 ， ， 140m14综上所述， 的范围为 .,4（2）由题知， 能取到一切大于或等于
19、0 的实数.21fxm赛思教育 函数定义域，值域，解析式专题当 时， 可以取到一切大于或等于 0 的实数；0m1fx当 时，要满足题意必有 ， ，综上所述， 的范围为 . 4m14mm10,421已知二次函数 ,且满足 .()=2+4+1 (1)=(3)(1)求函数 的解析式;()(2)若函数 的定义域为 ,求 的值域.() (2,2 ()【答案】(1) . (2)()=22+4+1 ()在 (2,2上的 值 域 为 (15,3【解析】试题分析：(1)利用函数值相等，确定函数的对称轴，由此计算得到 的值，确定函数的解析式；(2)利用函数已知，定义域已知，直接求解函数的值域.试题解析：(1) 可
20、得该二次函数的对称轴为 ,由 (1)=(3) =1即 从而得 ,42=1 =2所以该二次函数的解析式为 .()=22+4+1(2)由(1)可得 ,()=2(1)2+3所以 .()在 (2,2上的 值 域 为 (15,322函数 y= 的定义域为_；.最大值为_.12【答案】 -1，1 0【解析】由 得 -1，1,所以定义域为-1，1120 最大值为 0120,11,023函数 的定义域是_（用区间表示） 1xy【答案】 【解析】 需满足的条件为： ，0,21021x0xx， 即 ，定义域为： 故答案为： 0,24已知 的定义域是 ，则 的定义域是_1yfx13yfx【答案】 33,22【解析】 的定义域为 ， ， ，则1yfx1,1x02032,13x的定义域是 .3f,325函数 的定义域为_.【答案】12xf|12 x且
