1、 第二类曲线积分的计算定义 设 , 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线 上的函数,对)(yxPQABL任一分割 ,它把 分成 个小弧段 ；其中 =ABLTABLniiM1),2(n.记各个小弧段 弧长为 ,分割 的细度为 ,又nM,0 ii1isTmax1iniS设 的分点的坐标为 ,并记 ,)(iiyx1,iiiiii yx. ),21(i在每个小弧段 上任取一点 ,若极限ii1ini iiTxP10),(lmni iiTyQ10),(lm存在且与分割 与点 的取法无关,则称此极限为函数 , 在有i )(xPyQ向线段 上的第二类曲线积分,记为ABL或 dyxQyxP)()(ABdyxQyx
2、P),(),(也可记作 或 LLyxyx),(),( ABAByxyx),(),(注：(1) 若记 = , 则上述记号可写成向量形式:F,QPds,.Lsd(2) 倘若 为 光滑或分段光滑的空间有向连续曲线, , 为定义在 上的函数,则可按上述办法定义沿空间)(zyxP)(zQ),(zyxRL有向曲线 的第二类曲线积分,并记为L dzyxRdzyxQdzyxPL ),(),(),(按照这一定义 , 有力场 沿平面曲线 从点 到点, ,PFLA所作的功为 .第二类曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 . BABW对二类曲线积分有 ,定积分是第二类曲线积分中当曲线为 轴上的BA x线段时的特例.可类似
3、地考虑空间力场沿空间曲线 所作的功. 为空间曲),( ,)( ,)(),( zyxRzyxQzyxPzyxF ABL线 上的第二类曲线积分ABL.AB dzyxdzyxdzyx),(),(),(与第一类曲线积分的区别首先要弄清楚两类积分的定义，简单地说，第一类曲线积分就是 201(,)lim(,)niilfxydss第二类曲线积分就是01(,)(,)li(,)(,)niiiilPxydQyPxQy（1）这两种曲线积分的主要区别就在于，第一型曲线积分的积分中是乘的 ， 是一小段弧的弧长， 总是正值；而第二类曲线积分和积分和中是乘的一段弧的坐标的增量 ， ， 与 是可正可负的。当积分的, =1=1
4、 路径反向时， 不变，而 与 反号，因此第一类曲线积分不变而第二类曲线 积分反号，在这一性质上，第二类曲线积分与定积分是一样的。 计算曲线积分的基本方法是利用的参数方程将其转化成定积分，但两类曲线积分有些不同。设曲线的参数方程为 =()=() 则第一类曲线积分的计算公式为222 ()()()dsxyxtdytt这里要注意 ，即对 t 的定积分中，下限比上限小时才有 ，也就有 0，这样才有上述计算公式。 这个问题在计算中也要特别注意。沿曲线上|=的点由 A 变到 B，即 t 的下限 对应曲线积分的起点 A，他的上限 对应曲线积分 的起点 A，t 的上限 对应终 点 B。历年真题1、设曲线 ， 具
5、有一阶连续偏导数，过第二象限内的点 M 和第L:(,)=1(,)四象限内的点 N， 为 L 上从点 M 到点 N 的一段弧，则下列小于零的选项是(A) (B) (,) (,)(C) (D)(,) (,)+(,)(2007，数一，4 分)【解析】设点 ， 的坐标分别为 ， ，则有题设可知 (1,1) (2,2)(,)=210(,)=210(,)+(,)=0+0=0答案为 B。2、计算曲线积分 ，其中 是曲线 上从点 到2+2(21) = (0,0)点 的一段。(,0)(2008，数一，9 分)【解析】2+2(21)=2+2(21)=22=222|0+2=22+22|01202=223、设 是柱面
6、 与平面 的交线，从 轴正方向往 轴负方向看去 2+2=1 =+ 为逆时针方向，则曲线积分 +22=(2011，数一，4 分)【解析】采用斯托克斯公式直接计算+22=+=2+21(1)=2010(1)=4、已知 是第一象限中从点 沿圆周 到点 ,再沿圆周 (0,0) 2+2=2 (2,0)到点 的曲 线段， 计算曲线积分2+2=4 (0,2) =32+(3+2)(2012，数一，10 分)【解析】=(+)+(22+)+22=02(2)=245、已知 的方程 ，起点为 ，终点为 ，计算 = 222= (0,2,0) B(0,- 2,0)曲线积分 =(+)+(22+)+22(2015，数一，10 分)【解析】曲线 L 的参数方程为： = 2=(+)+(22+)+22=22( 2+)+ 22222= 2222= 22
