1、1定义域、解析式、值域方法总结（一）定义域：1. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致 (两点必须同时具备)2. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 例 ： 函 数 的 定 义 域 是yx432lg（ 答 ： ， ， ， ）0函数定义域求法： 分式中的分母不为零； 偶次方根下的数（或式）大于或等于零； 指数式的底数大于零且不等于一；对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。 正切函数 xytankxR,2,且 反三角函数的定义域 函数 yarcsinx 的定义域是 1, 1 ，值域是 ，函数 yarccosx 的定义域是
2、 1, 1 ，值域是 0, ，函数yarctgx 的定义域是 R ，值域是 .，函数 yarcctgx 的定义域是 R ，值域是 (0, ) .当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。3. 如何求复合函数的定义域？ 的 定， 则 函 数，的 定 义 域 是如 ： 函 数 )()(0)( xfxFabxf 义域是_。 （ 答 ： ， ）复合函数定义域的求法：已知 的定义域为 ，求)(xfynm,的定义域，可由 解出 x 的范围，即为)(xgfyngm的定义域。例 若函数 的定义域为 ，则 的定义域为 )(xfy2,1)
3、(log2xf。2分析：由函数 的定义域为 可知： ；所以)(xfy2,12x中有 。)(log2xfy2log1解：依题意知： 2log1x解之，得 42 的定义域为)(log2xf|x二函数解析式求法 一、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。例 1 设 是一次函数，且 ，求)(xf 34)(xf)(xf解：设 ，则ba0baxbxfxf 2)()(342ba31a 或 2)(1)( xfxf 或 二、 配凑法：已知复合函数 的表达式，求 的解析式， 的表达g()fx()fgx式容易配成 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数 的定义域不是原复()gx ()f合函数的定
4、义域，而是 的值域。 ()例 2 已知 ，求 的解析式21(xxf)0()fx解： ， )12(2xf(三、换元法：已知复合函数 的表达式时，还可以用换元法求 的解析式。与)fgx()fx配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。例 3 已知 ，求xf2)1()1(f解：令 ，则 ， tt2tx3xxf2)1(,1)(2ttt)(2xfx2)12)0(四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。例 4 已知：函数 的图象关于点 对称，求 的解析式)(2gyxy与 )3,2()(xg解：设 为 上任一点，且 为 关于点 的对称点),(xM)(,yxMx3,2则 ，解得：
5、，32yyx64点 在 上 ),(x)(gy2把 代入得：x64)()(2xy整理得 76)(2xxg五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。例 5 设 求,)1(2)(xfxff 满 足 )(f解 x显然 将 换成 ，得：,0x fxf1)(21解 联立的方程组，得：f3)(4例 6 设 为偶函数， 为奇函数，又 试求 的解)(xf)(xg,1)(xgxf )(xgf和析式解 为偶函数， 为奇函数，)(f)(,xgxf又 ，1)(gf用 替换 得： x1)(xxf即 )(f解 联立的方程组，得， 1)(2xf xg2)
6、(六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。例 7 已知： ，对于任意实数 x、y，等式 恒成)0(f )12()(yxfyxf立，求 x解 对于任意实数 x、y，等式 恒成立，)12()(yxfyxf不妨令 ，则有 0 1(0) 2y再令 得函数解析式为：xy)(2xf七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。例 8 设 是定义在 上的函数，满足 ，对任意的自然数 都有)(xfN1)(f ba,，求abbaf )( )(xf解
7、 ，f,)()，不妨令 ，得： ，1,x xfxf)1()又 1)()1(ff故分别令式中的 得：,2xn5(2)1,3(),ffnn 将上述各式相加得： ， nf32)1(321)(f Nxx,（二）：函数值域的求法1、直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例 求函数 y= 的值域 y=3+(23x) 的值域x12、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例、求函数 y= -2x+5，x -1，2的值域。2求函数 y=( +x+2)的值域3、判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面
8、点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域下面，我把这一类型的详细写出来，希望你能够看懂. 12.22222ba y型 ： 直 接 用 不 等 式 性 质k+x型 ,先 化 简 ， 再 用 均 值 不 等 式mn 例 ： y1xc 型 通 常 用 判 别 式nxdy型 法 一 ： 用 判 别 式法 二 ： 用 换 元 法 ， 把 分 母 替 换 掉x1（ +） （ x1） 1 例 ： y（ x+） 264、反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例 求函数 y= 值域。6543x5、函数单调性法通常和导数结合，是最
9、近高考考的较多的一个内容例求函数 y= （2x10）的值域25xlog31求函数 y=4x1-3x(x1/3)的值域6、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角 。以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数值域中同样发挥作用。例 求函数 y=x+ 的值域。1xy=x-3+2x+17 、不等式法利用基本不等式 a+b2 ，a+b+c3 （a，b，c ） ，求abc3R函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例： 3()12x(3-)0x1.5)+-2x = (应 用 公 式 abc时 ， 应 注 意 使 3者 之 和 变 成 常 数 ）c多种方法综合运用总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。332(0)1132x =x(应 用 公 式 abc时 ， 注 意 使 者 的 乘 积 变 成 常 数 ）a
