1、求函数的值域在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定，确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。函数的值域，就是已知函数的定义域，求函数值最值问题，或取值范围的过程。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。对于如何求函数的值域，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，是高考中每年必考知识，而且试题占比很大，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下。一、观察法求函数的值域1 2 3 4 5 6 7 xyx2xy2siny3xy1xy3cos2提示：（1）一次函数 。 （2
2、 ）二次函数 。Rbk, 0,2（3 ） 幂函数 。 （4 ）指数函数 。0,yx yax（5 ）反比例函数 。 （6 ）三角函数 1,cos,siny二、利用函数的单调性求值域1 已知 0,x，则函数 21yxx的值域是 21,3 .2 函数 4()(3,6)2f的值域为_ ,4_。3 已知函数 的值域 xx 24 已知函数 的值域 ),1y ),35 求函数 的值域。0,log225xx 81提示：（1）利用函数的单调性，将定义域的取值带入函数求值。三、分离常数法求函数的值域1 求函数 的值域xy3y2 求函数 的值域 2323 求函数 的值域 且54xyRy1y提示：（1）函数 。 （2
3、 ）函数acbd, efabcdycfexbadc且,)(四、二次函数的值域问题1 函数 在区间 的值域为（ ）2)(xf 4,0(10,2 函数 的值域是（ ）1,()y33 函数 的值域 42x,34 函数 的值域 68y)提示：（1）二次函数 ，当 。cbxay2 4,(,0);,4,022 abcyabcya （2 ） 函数 的最值，动轴定区间的值域问题，需要讨论对称轴与区间的关系。4,132x（3 ） 函数 的最值，定轴动区间的值域问题，需要讨论对称轴与区间的关系。,4ay五、判别式求函数的值域1 求函数 212x1 求函数 的值域 .3y10,(2 求函数 的值域12x 321,(
4、),32提示：（1）函数 ，不能求值域，需要转化为关于 的一元二次方程)0(12112 cxbacbay x，然后 ,解关于 的一元二次不等式。0)()( 22121 yxxay 42ay六、反解法求函数的值域1 求函数 的值域 2x1,(2 求函数 的值域 .32y0,2(提示：（1）把 看作一个整体，反解 ，得到 的表达式，然后根据分离常数的思路解 的取值范围。xx2 y六、换元法求函数的值域 （三角换元和根式换元）1 求函数 的值域；y211,(2 已知 为椭圆 上一点,求 到直线 的距离的最小值。P:39xyCPl03yx263 已知函数 的值域是 21y2,1提示：（1）上述 1 中
5、，将根式令为 ，然后转化为 ，利用二次函数的思路求值0tx21ty域。（2 ）三角函数换元，就是利用椭圆的参数方程解决最值问题，上述椭圆的参数方程为 ， （ 为参sin3coyx数） ，然后利用点到直线的距离即可。七、线性规划中的最值问题1 若 满足约束条件 ，则 的最小值为_-1_。,xy103xy3zxy2 设 满足约束条件： ；则 的取值范围为 ,xy,13xy2zxy3,提示：（1）已知约束条件围成一个区域，然后根据区域的顶点带入目标函数求最值。八、切线的斜率法1 求函数 的值域 .2cosiny3,2 求函数 的值域 x4i3,提示：（1）先根据参数方程三角换元，然后在利用斜率公式求
6、取值范围。九、三角函数中的值域问题1 函数 在区间 上的最大值是 ( )2()sin3sicofxx,42322 函数 的值域为)6(if 3,3 已知函数 （ ）的最小正周期为 ，求函数 在区间2 ()sin3sin2fxx0()fx上的取值范围。20， 0，提示：（1）这是三角函数 在某区间上的取值问题。bxAy)sin(十、基本不等式求最值问题1 已知 ，则 的最小值为 。1logl22x 22 已知正数 满足 ，则 的范围是 。y、 3xyx),93 若实数 满足 ，则 的最大值是_ _。,x213提示：（1）基本不等式形式中主要有： ， 。)0,(,2baba )0,(,2baa（2
7、 ） 2 )(,ab十一、双绝对值中的取值范围1 求函数 的值域 31xy2,2 已知函数 的值域 52xy3,3 若不等式 对任意的 恒成立，则 的取值范围aRxa3,(提示：（1）双绝对值是分段函数的另一种形式， 。,baybxy（2 ）三角不等式 bxbx)(十二、构造法求函数的值域1 求函数 的值域 5413622xxy ),432 函数 ()ln1)fx的值域为 .03 函数 的值域 xy2,0(提示：第 1,2 题将构造成两点间的距离；第 3 题构造成双曲线。十三、利用导数求函数的最值1 求函数 , 的最大值和最小值。 2 和-12326fxx1,2 已知函数 的最大值 -1ln)
8、(3 设函数 ，求 的最大值 l()1fxx)(xfln提示：上述用导数研究函数的单调性，先求导，再求极值点，然后通过函数的单调性求最值。习题1、 求下列函数的值域1 2 3 ,1)(xf 2,1)(xf 2,1log)(2xf4 5 6 4,0cosin,0cosin3x 1,)3(7 8 9 ,32)(xxf ,lg)(2xf ,l)2xf2、 有关函数的值域问题1 已知函数 的值域为 4,1y9,32 已知函数 的值域为 2xR3 已知函数 的值域为 y0y4 已知函数 的值域为 14x15 函数 的值域为（ ）32y4,(6 函数 21yx的值域为（ ）),27 已知函数 在 的最大值
9、为 11，求 的值32a4,1a8 函数 的值域为（ ）1xy)(9 函数 的值域为（ ）2,210 函数 的值域为 xyR11 函数 的值域为（ ）3)21(4,(12 函数 的值域为（ ）4xy),313 函数 的值域为（ ）)(2(14 函数 的值域为（ ）32xy),15 已知函数 在 上的最值42,116 已知函数 在 上的最大值与最小值的和62xy,17 已知函数 的值域为2cos3sinx0,418 函数 21yx的值域是_ )_。19 函数 的值域是( ).,(20 函数 的值域是( ).4,0log2xy 2,21 函数 的值域是 ( ).R22 函数 的值域是( ).8,)
10、(l2xy 7,6(23 函数 的值域是( ).416)4,024 函数 的值域是( ).xy25 函数 的值域为2log3f,26 函数 的值域是( ).)4xy),2(27 函数 的值域是( ).6l2128 函数 的值域是( ).)64(log21xy 1,(29 函数 的值域是( ).3,0),430 已知 求 的最小值 9,ba31 已知 ，满足 ，求 的最大值 yx, 142xyyx2510232 求函数 的值域 1,0(33 求函数 的值域 2)(2xxy 2134 求函数 的值域 。12434,35 求函数 的值域 12,),(cos)(sinxxy 23,436 求函数 的值
11、域 2i938,37 已知 ，且满足 ，求函数 的值域 1yxxyz3415,38 已知 ，且 ，求函数 的值域Ryx, 0543yx2z),39 求函数 的值域 21,40 若函数 的值域是 ，则函数 的值域是()yfx,3 1()()Fxfx102,341 下列函数中，其定义域和值域分别与函数 y=10lgx 的定义域和值域相同的是（ D ）（A） （B ） （C） （D）xyylgxy21yx42 若函数 6,23log,afx（ 0 且 1a ）的值域是 4,，则实数 a的取值范围是 (,243 已知 （1）求函数的定义域; （2）求函数的值域.2xf ),0(),(1,.44 若函数
12、 的定义域为 ，值域为 ，则 的取值范围是（ ）24yx0,m8,4m2,445 已知函数 （ ） ，若存在实数 ， （ ） ，使 的定义域为 时，值域为1()fxab()yfxab，则实数 的取值范围是（ ）(,)mab104m46 函数 的值域是( (0,4 )12xy）（47 若函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是_ _.lnfaRa),2,(48 已知函数 的值域 )1(22)xx )2,(49 已知函数 的值域 fcos3sin450 已知函数 的值域 )554(22lg)(xxx )1,(51 函数 ， 的值域是 fsinco,02,52 已知函数 ，求函数 在 上最大值和最小值
13、的和 0296)(3xxf )(xf3,053 函数 的值域是（ ）|1()3xy(1,054 函数 的值域为log93,55 已知函数 的定义域和值域都是 ，则 .()xfab(0,1)a1,0ab2356 函数 的最大值为 6cos2siny43257 若 ，则函数 的最大值为 -8 。4x3tanyx58 函数 在区间 上的最大值是 ( )2()sin3sicof,422359 函数 = ( ) 的值域是)(xfi1sinx0x1,60 函数 的最大值是 2 )i3f 61 等差数列 的前 项和为 ，已知 ， ，则 的最小值为 -49 nanS01251SnS62 求函数 的最小值 xe
14、f)(e63 求函数 的最小值为l64 求函数 的最大值 xfn)(e165 求函数 在 上的最大值和最小值的和为 034,66 函数 ，当曲线 的切线 的斜率为负数时，求 在 轴上截距的取值范围 2()xfe()yfxllx),30,(67 已知二次函数 ，且 .2(fxbc(3)1,(0)ff()求函数 的解析式；)2()fx()若函数 ， , ，求函数 的最值4(afxg )(xg68 已知二次函数 满足 且方程 有等根bx2)0)2(ff（）求 的解析式； ；（）求 的值域；(xff)()(x0,8（）是否存在实数 、 ，使 的定义域为 、值域为 若存在，求出 的值；mn)(xf,nm
15、4nnm,若不存在，请说明理由 0,269 已知函数 满足()fx1)(2xf（1）求 的解析式及定义域； （2）求 的值域.f )1(2xf )(xf 1,()xf70 设函数 且 。()yxlg)l3lgyx（）求 的解析式及定义域 ;（）求 的值域。f (0,()fx274(1,071 在 中，已知内角 ，边 .设内角 ， 的面积为 .ABC3A2BCBACy（1）求函数 的解析式和定义域； （2）求函数 的值域.yfx yfx(1) ，定义域为 ；（2）函数 的值域为 ;3sin6fx0,3f0,372 设定义域都为 的两个函数 的解析式分别为 ，8,2 )(xgf和 2log)(4log)(42xxf和（1）求函数 的值域；（2）求函数 的值域)()(xgfxFxG（） 的值域为 。 （） 的值域为 ,47)(1,8
