1、求函数值域（最值）的方法函数是中学数学的一个重点,而函数值域(最值) 的求解方法更是一个常考点, 对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，因此能熟练掌握其值域(最值)求法就显得十分的重要，求解过程中若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文旨在通过对典型例题的讲解来归纳函数值域( 最值) 的求法，希望对大家有所帮助。一、值域的概念和常见函数的值域函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域.常见函数的值域：一次函数 的值域为 R.0ykxb二次函数 ，当 时的值
2、域为 ，当2ac0a24,acb时的值域为 .，0a24,b反比例函数 的值域为 .0kyx0yR指数函数 的值域为 .1a且 对数函数 的值域为 R.logya且正，余弦函数的值域为 ，正，余切函数的值域为 R.,二、求函数值域（最值）的常用方法1. 直 接 观 察 法适用类型：根据函数图象.性质能较容易得出值域(最值) 的简单函数例 1、求函数 y= 的值域21x解： 显然函数的值域是：2,00,1例 2、求函数 y=2 的值域。解： 0 0 2 2xxx故函数的值域是：- ，2 2、配方法适用类型：二次函数或可化为二次函数的复合函数的题型。配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。对于形如
3、或 类的函数的值域问题，20yaxbc20Fxafbfxca均可用配方法求解.例 3、求函数 y= -2x+5，x -1，2的值域。2解：将函数配方得：y=（x-1） +4， x -1，2，由二次函数的性质2可知：当 x=1 时， y =4min当 x=-1，时 =8ax故函数的值域是：4，8 例 4、求函数的值域： 265yx解：设 ，则原函数可化为： .又因为2650xy，所以 ，故， ，所以，2234040,2的值域为 .yx,3、判别式法 2适用类型：分子.分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为 的形式，再利用判别式加以判断。0)()(2yCxByA例 5、求函数的值域2
4、1x解： 恒成立， 函数的定义域为 R.210x由 得 。2y2120yxy 当 即 时， ；030,R 当 即 时， 时，方程 恒2yyx2120yxy有实根. 且 .2214yA15原函数的值域为 .,5例 6、 求函数 y=x+ 的值域。 )2(x解：两边平方整理得：2 -2（y+1）x+y =0（1）2x R， =4 （y+1） -8y02解得：1- y1+但此时的函数的定义域由 x（2-x）0 ，得：0x2。由0，仅保证关于 x 的方程：2 -2（y+1 ）x+y =0 在实数集 R 有22实根，而不能确保其实根在区间0，2上，即不能确保方程（1）有实根，由0 求出的范围可能比 y
5、的实际范围大，故不能确定此函数的值域为 ， 。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。230x2， y=x+ 0，)2(x=0，y=1+ 代入方程（1） ，解得： = 0，2，即ymin21x24当 = 时，原函数的值域为：0 ，1+ 。1x24注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。4、反函数法适用类型：分子.分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型), 也可用于其它易反解出自变量的函数类型。例 7、求函数 的值域。12xy分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型,易反解出 x,从而便于求出反函数。反解得 即12xyy
6、x2x2知识回顾：反函数的定义域即是原函数的值域。故函数的值域为： 。),(),(y5、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。适用类型：一般用于三角函数型，即利用 等。1,cos,1sinxx例 8、求函数 y= 的值域。1xe解：由原函数式可得： =xe1y0， 0 xe1y解得：-1y1。故所求函数的值域为(-1,1) .例 9、求函数 y= 的值域。3sincox解：由原函数式可得：ysinx-cosx=3y 可化为： sinx（x+）=3y12y即 sinx（x+ ）= 132yxR，sinx（x+ ）-1 ，1。即-1 1132y解
7、得：- y 故函数的值域为- ， 。4246、函数单调性法适用类型：一般能用于求复合函数的值域或最值。 （原理：同增异减）例 10、求函数 的值域。)4(log221xy分析与解：由于函数本身是由一个对数函数（外层函数）和二次函数（内层函数）复合而成，故可令： 配方得：)0(4)(2xfxf由复合函数的单调性（同增异减）知：)4,0(4)2()（所 以 xfxf。,y例 11、 求函数 y= （2x10）的值域25xlog31x解：令 y = ， = ，则 y ， 在2，10 上都是增函数。15x231y所以 y= y + 在2，10上是增函数。1当 x=2时， y = + = ，min3lo
8、g3128当 x=10时， = + =33。ax59故所求函数的值域为： ，33。例 12、求函数 y= - 的值域。1x解：原函数可化为： y= 12x令 y = ， = ，显然 y ， 在1，+ ）上为无上界的增函数，1x2y1x2所以 y= y + 在1，+）上也为无上界的增函数。1所以当 x=1 时，y=y + 有最小值 ，原函数有最大值 = 。12y 2显然 y0，故原函数的值域为(0, 。7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。适用类型:无理函数、三角函数（
9、用三角代换）等。例 13、求函数 y=x+ 的值域。1解：令 x-1=t， （t0）则 x= +12ty= +t+1= + ，又 t0，由二次函数的性质可知2t2)1(t43当 t=0 时，y =1，当 t0 时，y+ 。min故函数的值域为1，+） 。例 14、求函数 y=x+2+ 的值域2)1(x解：因 1- 0，即 12)1(x故可令 x+1=cos， 0，。y=cos+1+ =sin+cos+1 = sin（+/4）+1B2cos 20，0+/45/4 - sin（+/4）12 0 sin（+/4）+11+ 。 2故所求函数的值域为0，1+ 。例 15、求函数 y= 的值域1243x解
10、：原函数可变形为：y=- 22x可令 x=tg，则有 =sin2， =cos221x21y=- sin2 cos2=- sin4 214当 =k/2-/8 时， = 。maxy当 =k/2+/8 时，y =-in1而此时 tg 有意义。故所求函数的值域为- ， 。4例 16、求函数 y=（sinx+1） （cosx+1） ，x-/12/2 的值域。解：y=（sinx+1） （cosx+1）=sinxcosx+sinx+cosx+1令 sinx+cosx=t，则 sinxcosx= （ -1）21ty= （ -1）+t+1=21t)(t由 t=sinx+cosx= sin（x+/4）且 x-/1
11、2，/22可得： t 当 t= 时， = + ，当 t= 时， y= + 2maxy232432故所求函数的值域为 + ， + 。4例 17、求函数 y=x+4+ 的值域25x解：由 5-x0，可得 x故可令 x= cos，0，y= cos+4+ sin= sin（+/4）+455100， /4+/45/4当 =/4 时， =4+ ，当 =时，y =4- 。maxymin5故所求函数的值域为：4- ，4+ 。5108 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。适用类型:函数本身可和其几何意义相
12、联系的函数类型.例 18、求函数 y= + 的值域。)2(x)8(2解：原函数可化简得：y=x-2+x+8 上式可以看成数轴上点 P（x）到定点 A（2） ，B（-8）间的距离之和。由上图可知：当点 P 在线段 AB 上时，y=x-2+ x+8 =AB=10当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时，y=x-2+ x+8 AB=10故所求函数的值域为：10，+）例 19、求函数 y= + 的值域1362x542x解：原函数可变形为：y= +)0(2)10(22上式可看成 x 轴上的点 P（x，0）到两定点 A（3，2） ，B（-2，-1 ）的距离之和，由图可知当点 P 为线段与 x 轴的
13、交点时， y =AB=min= ，)12(343故所求函数的值域为 ，+ ） 。例 20、求函数 y= - 的值域1362x542x解：将函数变形为：y= -)0(2)10(22上式可看成定点 A（3，2）到点 P（x，0）的距离与定点 B（-2，1）到点 P（x， 0）的距离之差。即： y=AP-BP 由图可知：（1）当点 P 在 x 轴上且不是直线 AB 与 x 轴的交点时，如点 P，则构成ABP，根据三角形两边之差小于第三边，有 AP- BP AB= = )12(36即：- y 26（2）当点 P 恰好为直线 AB 与 x 轴的交点时，有 AP-BP=AB= 。26综上所述，可知函数的值域为：（- ，- 。 注：由例17，18 可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使 A，B 两点在 x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使两点 A，B 在 x 轴的同侧。如：例 17 的 A，B 两点坐标分别为：（3，2） ， （-2，- 1） ，在 x 轴的同侧；例 18 的 A，B 两点坐标分别为：（3，2） ， （2，-1） ，在 x 轴的同侧。例 21、求函数 的值域.xycosin分析与解:看到该函数的形式,我们可联想到直线中已知两点求直线的
