1、高中平面几何定理汇总及证明1. 共边比例定理有公共边 AB 的两个三角形的顶点分别是 P、Q，AB 与 PQ 的连线交于点M，则有以下比例式成立： PAB 的面积： QAB 的面积 PM：QM. 证明：分如下四种情况，分别作三角形高，由相似三角形可证SPAB=(SPAM-SPMB)=(SPAM/SPMB-1)SPMB=(AM/BM-1)SPMB(等高底共线，面积比 =底长比）同理，S QAB=(AM/BM-1)SQMB所以，S PAB/SQAB=SPMB/SQMB=PM/QM(等高底共线，面积比=底长比）定理得证！特殊情况：当 PBAQ 时，易知PAB 与QAB 的高相等，从而 SPAB=SQ
2、AB，反之，S PAB=SQAB，则 PBAQ。 2. 正弦定理在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆半径的 2 倍”，即 a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=R（r 为外接圆半径， R 为直径）证明：现将ABC ，做其外接圆，设 圆心为 O。我们考虑C 及其对边AB。设 AB 长度为 c。若C 为直角，则 AB 就是O 的直径，即 c= 2r。 （特殊角正弦函数值） 若C 为锐角或钝角，过 B 作直径 BC交 O 于 C，连接 CA，显然 BC= 2r=R。若C 为锐角 ，则 C与 C 落于 AB 的同侧，此时C=C（同弧所对的圆周角相等）在
3、 RtABC中有若C 为钝角 ，则 C与 C 落于 AB 的异侧，BC 的对边为 a，此时C= A ，亦可推出 。考虑同一个三角形内的三个角及三条边，同理，分别列式可得。3. 分角定理在ABC 中，D 是边 BC 上异于 B,C 或其延长线上的一点，连结AD，则有 BD/CD=(sinBAD/sinCAD)*(AB/AC)。证明：SABD/SACD=BD/CD (1.1)SABD/SACD=(1/2)ABADsinBAD/(1/2) ACADsinCAD= (sinBAD/sinCAD) (AB/AC) (1.2)由 1.1 式和 1.2 式得BD/CD=(sinBAD/sinCAD) (AB
4、/AC) 4. 张角定理在ABC 中，D 是 BC 上的一点，连结 AD。那么 。 + = 证明：设 1=BAD，2=CAD由分角定理，SABD/SABC=BD/BC=(AD/AC)*(sin1/sin BAC) (BD/BC)*(sinBAC/AD)=sin1/AC (1.1)SACD/SABC=CD/BC=(AD/AB)*(sin2/sin BAC) (CD/BC)*(sinBAC/AD)=sin2/AB (1.2)(1.1)式+(1.2)式即得 sin1/AC+sin2/AB=sinBAC/AD 5. 帕普斯定理直线 l1 上依次有点 A,B,C，直线 l2 上依次有点 D,E,F，设
5、AE,BD 交于 G，AF,DC 交于I，BF,EC 交于 H，则 G,I,H 共线。6. 蝴蝶定理设 S 为圆内弦 AB 的中点，过 S 作弦 CF 和 DE。设 CF 和 DE 各相交 AB 于点 M 和 N，则 S 是 MN 的中点。证明：过 O 作 OL ED，OTCF，垂足为 L、T，连接 ON，OM，OS，SL，ST，易明ESDCSFES/CS=ED/FC根据垂径定理得：LD=ED/2，FT=FC/2ES/CS=EL/CT又E=CESLCSTSLN= STMS 是 AB 的中点所以 OSABOSN=OLN=90O，S ，N，L 四点共圆，（一中同长）同理，O，T，M，S 四点共圆S
6、TM=SOM，SLN=SONSON=SOMOS ABMS=NS 7. 西姆松定理过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线上的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）。证明：若 L、M、N 三点共线，连结 BP，CP，则因 PLBC，PMAC，PNAB，有B、L、P、N 和 P、M、C、L 分别四点共圆，有NBP = NLP = MLP= MCP.故 A、B、P、C 四点共圆。若 A、P、B、C 四点共圆，则NBP= MCP。因 PLBC，PMAC，PNAB，有 B、L、P、N 和 P、M、C、L 四点共圆，有NBP = NLP= MCP= MLP.故 L、M、N 三点共线。西
7、姆松逆定理：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。证明：PMAC，PNAB ,所以 A,M,N,P 共圆8. 清宫定理设 P、Q 为ABC 的外接圆上异于 A、B、C 的两点，P 关于三边 BC、CA、AB 的对称点分别是 U、V、W，且 QU、QV、QW 分别交三边 BC、CA、AB 或其延长线于D、E、F，则 D、E、F 在同一直线上.证明：A、B、P、C 四点共圆，因此PCE=ABP点 P 和 V 关于 CA 对称所以PCV=2PCE又因为 P 和 W 关于 AB 对称，所以PBW=2ABP从这三个式子，有PCV=PBW另一方面，因为PCQ 和PBQ 都是弦
8、 PQ 所对的圆周角，所以PCQ=PBQ两式相加，有PCV+PCQ=PBW+PBQ即QCV=QBW即QCV 和QBW 有一个顶角相等，因此但是 ， ，所以同理，于是根据梅涅劳斯定理的逆定理，D、E、F 三点在同一直线上。9. 密克定理三圆定理：设三个圆 C1, C2, C3 交于一点 O，而 M, N, P 分别是 C1 和 C2, C2 和C3, C3 和 C1 的另一交点。设 A 为 C1 的点，直线 MA 交 C2 于 B，直线 PA 交 C3 于C。那么 B, N, C 这三点共线。逆定理：如果是三角形，M, N, P 三点分别在边 AB, BC, CA 上，那么AMP、BMN、CPN
9、 的外接圆交于一点 O。完全四线形定理如果 ABCDEF 是完全四线形，那么三角形的外接圆交于一点 O，称为密克点。四圆定理设 C1, C2,C3, C4 为四个圆，A1 和 B1 是 C1 和 C2 的交点，A2 和 B2 是 C2 和 C3 的交点，A3 和 B3 是 C3 和 C4 的交点，A4 和 B4 是 C1 和 C4 的交点。那么 A1, A2, A3, A4 四点共圆当且仅当 B1, B2, B3, B4 四点共圆。证明：在ABC 的 BC,AC,AB 边上分别取点 W,M,N，对 AMN,BWN 和CWM 分别作其外接圆，则这三个外接圆共点。该定理的证明很简单，利用“圆内接四
10、边形对角和为 180 度”及其逆定理。现在已知 U 是 和 的公共点。连接 UM 和 UN，四边形 BNUW 和四边形 CMUW 分别是 和 的内接四边形，UWB+UNB=UNB+UNA=180 度UWB=UNA。同理UWB+UWC=UWC+UMC=180 度UWB=UMC。UMC+UMA=180 度UNA+UMA=180 度，这正说明四边形 ANUM 是一个圆内接四边形，而该圆必是 ，U 必在 上。10. 婆罗摩笈多定理圆内接四边形 ABCD 的对角线 ACBD，垂足为 M。EFBC，且 M 在 EF 上。那么 F 是A D 的中点。证明：ACBD，MEBCCBD=CMECBD=CAD，CME=AMFCAD=AMFAF=MFAMD=90，同时MAD+MDA=90FMD=FDMMF=DF，即 F 是 AD 中点逆定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则一边中点与对角线交点的连线垂直于对边。证明：MAMD，F 是 AD 中点AF=MFCAD=AMFCAD=CBD，AMF=CMECBD=CMECME+BME=BMC=90CBD+BME=90EFBC
