1、 - 1 - 張輝鑫老師 金融市場 利率論的筆記 與 計算例整理 一 利率的 定義： 1 約成本面，利率是 使用資金 的 代價 利息是 成本。 2 約收益面，利率是 提供資金的報酬 利息是 收入。 (參考視頻 ) 複利的現象和利息的起源 http:/ 二 利率的 報價型式 ， 至少分三種 ： 1.年利率 ：一般用在金融市場的借貸及存放業務 ，含長短期債票券的 RP/RS 2.到期殖利率 YTM(Yield to Maturity)：主要用在長期債券的買賣斷計算 3.貼現率 (Discount Rate)：主要用在短期票券市場的買賣斷計算 (按：到期殖利率之計算俟 債券市場 再論。貼現率俟 貨幣
2、市場 再論。 ) 三 年利率 計算方式： 若以利率來表示成本或報酬時， 約期間論，分為二種： (1)期間報酬率 (2)年化報酬率 若有一筆投資 I,支出成本是 C ,收益是 R,則： 支出的年化成本 率 IC t365 100% ，其中 IC 是期間 成本 率 收益的年化 報酬率 IR t365 100% ，其中 IR 是期間報酬率 例： 某甲 台積電 抱股 10 年賺 60%(期間報酬率 )， 60%10 年 6%(年 化 報酬率 )某乙抱股 一個月賺 3%(期間報酬率 )， 3%12 個月 36%(年 化 報酬率 )乍聽之下某甲60%強過某乙的 3%，實則不然。 某乙的 36%勝過某甲的
3、6%。 因此以後聽到誰比誰投資厲害，都要約化為年報酬率，才能比較。 註：時間軸很重要，掌握投資的期間，才能真正評鑑個案的報酬率。 四 計息方式分兩種：主要依 是否 利 滾利 來區分 ： (一 ).單利 (不滾利 ) (參考視頻 ) 利息計算 _單利的計算 http:/ 單利計算： 利息 =本金利率計息次數 (一年內 ) ； I Pim 1.一般銀行活存及活儲業務以單利計息。 例： 本金 10000 元，利率 0.5%，一年計息一次，則其單利計算為何 ? 答： 100000.5%1 50 元 承上題，若改一年計息二次，則其 每次 利 息 為多少元 ? 答： 100000.5%2 25 元 - 2
4、 - 2.銀行 定存亦有採單利計息者，即 存本取息 業務 存本利息 定存業務 ： 期初存入一筆現金，按月領息，期末提回本金及最末期利息。 Im Poi12， Po I Po 12Im(按月取息，到期取本 ) 例： Po 500000，利率為 0.75%， N 為 1 年期，求每月利息為多少 ? 答： I 5000000.75%12=312.5 取 313 元 ，每月利息為 313 元 3.長短期債票券的 RP/RS 均以單 利計息 公債 (公司債 )的附條件交易 FV= Po【 1+t365rp 或 rs(1-10%)】 註： 依所得稅法修正案 ， 自 96年 1月 1日開始 ，包括公債等債券
5、、短期票券及金融資產證券化、不動產證券化受益證券，或資產基礎證券從事 附賣回條件交易 ，到期賣回金額超過原買入金額的融資利息，亦應採分離課稅，稅率明訂為 10%。 註： 自 99年 1月 1日開始 ， 領受 不動產證券化受益證券及資產基礎證券 分配利息 ，亦應採分離課稅，稅率明訂為 10%。 例：某甲於 99 年 3 月 10 日 (星期三 )洽凱基證券公司承做公債 RP 本金35,000,000 元，約定利率 rp=0.25%，為期 30 天，試問到期日幾月幾日？到期本利和若干？ 答： 到期日為 99 年 4 月 9 日 (星期五 ) 令到期本利和 =FV FV=Po【 1+t365rp 或
6、 rs(1-10%)】 = 35,000,000【 1+303650.25%(1-10%)】 = 35,006,472.6027 應取正整數 35,006,473 其中稅後 RP 利息為 6,473 元 (二 ).複利 (滾利 ) (參考視頻 ) 利息計算 _複利的計算 http:/ (參考視頻 ) 連續複利與自然對數底 e 的出現 http:/ 所謂滾利，指將前期應計利息，滾入下期本金， 再計息之意。若期數不止一期，則連續重複 利上滾利。 銀行 其他 定存 以及放款業務 多採複利計息 ： (1).整存整付 定存業務 ： 期初存入一筆現金，期間都不領息，期 末一次提回本金及利息。 本利和 P0
7、 I P0(1 12i ) n12 ；因 銀行皆 採按月複利，故取 12i 的月利率計算 例： P0 500000，利率為 0.85%， N 為 3 年期，求 FV(=P+I)為多少 ? - 3 - 答： P0 I 500000(1 12i ) n12 =500000(1+0.85%/12)(123) =512909.3231 取正整數 512,909 元 其中 P0 500,000 元 I 12,909 元 例：某甲以面額 5,000,000 元於發行日平價購入某公司債，該債券票面利率為3.125%， 3 年期，每年複利一次，到期一次還本付息，試問某甲於到期日可領得本利和若干 ? 答： 本利
8、和 FV P0 I 5000000(1+3.125%)3 =5,483,551.02539 應取正整數 5,483,551 元；其中 本金 P0 =5,000,000 元 債息 I = 483,551 元 例：承上題，若該債券每半年 複利一次，到期一次還本付息，試問到期日本利 和若干 ? 答： 本利和 FV P0 I 5000000(1+3.125%/2)(32) =5,487,446.5150 應取正整數 5,487,447 元；其中 本金 P0 =5,000,000 元 債息 I =487,447 元 例：承上題，若該債券每 毫 微 秒 複利一次，到期一次還本付息，試問到期日 本利和若干
9、? 答： 本利和 FV P0 I = 5000000(1+3.125%/)(3) 每毫微秒複利一次，相當於 3 年無限次 = 5000000e (3 3.125% )； e=2.718281828459045235360287. = 50000001.0982851403 = 5491425.702 = 5491426 元 註： e， 自然對數底 (Base of Natural Logarithm) 研究 e 的由來 (參考視頻 ) 連續複利與自然對數底 e 的出現 http:/ 本金 =1，年利率 =100%，一年計 息 一次，以複利計算， 本利和為 1（ 1100%） 提出 1 1（ 1
10、 100%） 2 本金 =1，年利率 =100%，半年計息一次，一年計 2 次，以複利計算， 本利和為 第一次 計息 1（ 150%） - 4 - 1（ 1 50%） 1.5 第一次 計息的應收付本息 第二次 計息 1.5（ 1.550%） 1.5（ 1 50%） 1（ 1 50%） （ 1 50%） 1（ 1 50%） 2 1（ 1 100%2） 2 2.25 第二次 計息的應收付本息 以此類推，本金 =1，年利率 =100%，一年計 4 次，以複利計算 1（ 1 25%） （ 1 25%） （ 1 25%） （ 1 25%） 1（ 1 100%/4） 4 2.44140625 如果一年計
11、10 次 1（ 1 100%/10） 10 2.5937424601 如果一年計 20 次 1（ 1 100%/20） 20 2.653297705144420133945430765152.小數位數已 超出計算機範圍 如果一年計 息無限 次 ， n=可得一公式 = 2.718281828459045235360287471352662497757.令為 e，此即 自然對數底 當一年計算的次數趨近無限大 ,本金 1 元利率 100%的 本利和就越接近這個數字 若求 t 年 當中複 計次數 m 趨近無限大 ， 本金 1 元 ， 利率 r 的 本利和 ， 為 e(rt) 或 利率 r， 複 計次數
12、 m 無限大 ， 求 t 年 後未來值 1 元的折現值，為 e(-rt) 上式在選擇權定價 模型引用布萊克休斯模型 (B-S model) 時，還要用到。 註：資料來源 http:/zh.wikipedia.org/wiki/E_(%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%B8%B8%E6%95%B0) (2).零存整付 定存業務 ： 每期期初存入一筆現金，連續一段期間，期末一次提回本金及利息。 公式推導 若每期 期初 存 1 元，每年存 1 次，則 n 年後之期末 年金 終值為 期末終值 FV P+I (1+i)n + +(1+i) (1+i)FV (1+i) 1n + + (1+i)2
13、解 得 FV i ii n )1()1( 1 這是每年存 1 元 連續 n 年的期末終值 若每期存 Po 元，則 n 年後之期末終值為 得 FV Po i ii n )1()1( 1 這是每年存 1 元連續 n 年的期末終值 若每期存 Po 元， 改 每月存 1 次，則 n 年後之期末終值為 FV Po12)121()121( 112iii n - 5 - (以上三段思維法，適用於所有年金的計算題 ) 例： 每月存 Po 5000，利率為 0.8%， N 為 3 年期，求 FV(=P+I)為多少 ? 答： P+I 500012%8.0)12 %8.01()12 %8.01( 1312 1822
14、37.3649 取整數 182,237 元 其中本金 P 5000(312)=180000 利息 I 2237 元 依此概念， 已 有銀行開辦週週存及雙週存的定存業務。計算期末一次可領 本利和的期末終值關鍵在期間利率 (年利率、月利率 、雙週利率 、週利率 )及總計息期數。 例： 每週 存 Po 5000，利率為 0.8%， N 為 3 年期，求 到期值 FV(=P+I)為多少 ? 答： P+I 500073 6 5%8.0)73 6 5%8.01()73 6 5%8.01( 13)7/365( 791,664.1009 取整數 為 791,664 元 其中 P 5000(365/7)3=78
15、2,142.8571 取整數 為 782,143 元 利息 I 9521 元 註：實務上銀行採混含支付本息，並不區分其中本金與利息各若干。否則難以說明每週存入 5000 的整數，何以總本金非為 5000 的整數倍金額。 例： 每兩週 存 Po 10000，利率為 0.8%， N 為 3 年期，求 FV(=P+I)為多少 ? 答： P+I 10000143 6 5%8.0)143 6 5%8.01()143 6 5%8.01( 13)14/365( 791,724.0858 取整數 791,724 元 其中 P 5000(365/14)3=782,142.8571 取整數 782,143 元 I
16、 9581.228682 元取整數 9,581 元 例： 每月 存 Po 20000，利率為 0.8%， N 為 3 年期，求 FV(=P+I)為多少 ? 答： P+I 2000012%8.0)12 %8.01()12 %8.01( 1312 728949.4598 取整數 728,949 元 其中本金 P 20000123=720,000 利息 I 8,949 元 - 6 - (3).整存 零 付 定存業務 期初存入一筆本金 M，之後 每 期提領固定本利和，至提清 全部本息 為止。 解題思惟，期初值的整存整付值，將等於每期取回本利和的期末終值。 故 M ni 12)121( Po121)12
17、1( 12ii n 即可解出每月取回本利和 Po 金額 例： 期初存入一筆 M 1,000,000 元， N 3 年，利率為 0.85%，求 每月可提領本利和 P0 若干？ 答： P0)12 %85.0/()1)12 %85.01()12 %85.01(1 0 0 0 0 0 0)3*12(312 28143.28591 取整數為 28,143 元 總共 3 年可領回 28,143123=1,013,148 元 例：某家長於開學時在銀行為子女存入一筆本金 M 元， 與銀行約定整存零付定存期間為 N 年，利率為 i，求其子女每月可提領本利和 P0 生活費若干？ 答：依據不同 約定內容，可 得 下
18、表。請同學自行驗算。 M N i P0(精算 ) P0(答案 ) 140000 2 0.70% 5875.96314 5876 150000 2 0.75% 6298.94507 6299 180000 3 0.80% 5061.9064 5062 200000 3 0.85% 5628.65718 5629 240000 4 0.90% 5092.41455 5092 250000 4 0.95% 5309.9795 5310 300000 4 1.00% 6378.43677 6378 例：期初存入一筆 M 1,000,000 元， N 3 年，利率為 0.85%，求每 兩週 可提領本利和
19、 P0 若干？ 答： P0 )143 6 5%85.0/()1)143 6 5%85.01()143 6 5%85.01(1 0 0 0 0 0 03*)14365(3)14365( 12951.17859 取整數為 12,951 元 總共 3 年可領回 12,951(365/14)3=1,012,953 元 例：期初存入一筆 M 1,000,000 元， N 3 年，利率為 0.85%，求每 週 可提領本利和 P0 若干？ - 7 - 答： P0 )73 6 5%85.0/()1)73 6 5%85.01()73 6 5%85.01(1 0 0 0 0 0 03*)7365(3)7365(
20、6475.06832 取 整數為 6,475 元 總共 3 年可領回 6,475(365/7)3=1,012,875 元 (4).本息定額法的放款 銀行期初貸出一筆本金 M，之後每月收回一筆固定的本利和 Po= Pt + It，至債務人清償為止。 說是 Pt + It，是因為每一期 (每個月 )的還本 Pt 付息 It 金額都不一樣。 解題思惟 ： 同整存零付概念，期初值的整存整付值，將等於每期取回本利和的期末終值。 因為銀行每月收繳 本利和 金額相同，故名 本息定額法 。 故 M ni 12)121( Po121)121( 12ii n 即可解出每月取回本利和 Po(=Pt+It)金額 例：
21、某甲向某乙銀行借入一筆現金 M 6,000,000 元，期限 N 15 年，放款利率為 2.75%， 求每月銀行以本息定額法應收繳本利和若干？ 答： 首 先計算每月應償還本利和 Po ，再去解各月的 Pt + It 套用公式， 6000000 1512)12%75.21( Po12%75.21)12 %75.21( 1512 解得 Po=Pt + It=40717.29825 元，銀行只能收付正整數，故 取 40717 元 。 再依序去求解 這筆 40717 元中隱含 各月應 繳本金 Pt 及利息 It 金額。 茲 將全部計算步驟 再 統整列述於後： (1).首先計算出每期應計本息定額，即每個
22、月的本利和 Po。 (2).利用 原 始 貸款本金 M， 計算 出第一個 月 應收利息 It=1 = M 12i 。 (3).由 每月應償還本利和 Po 扣除 上一程序所得本 月 利息 It，可算出本月 應償還本金 Pt。 (4).由 前 月 未 償還本 金餘額 Mt-1 扣除 本月應償還本金 Pt，得到本月未償還 本金餘額 Mt。 亦即 Mt-1 - Pt = Mt。 (5).以前月未償還本金餘額 Mt-1，計算出 本 月應計 利息 It It= Mt-1 12i 。 (6).連續前 三 程序至最末期。 最末期 未償還本金餘額必須歸零，才算是 徹底清償。 - 8 - (7).如 最末期未償還
23、本金餘額不是 0，表示本題存在有 累積 殘差值， 或正 數 或負 數 ， 則 應納入 最末 期本金一次清償。 此時應注意 最末期 本利和 數字並非前述之 Po，而是調整後的 Pt + It。 以下是 本題依照 本息定額法 計算所得之 銀行貸款償還本息明細表 M= 6000000 元 i = 2.75% N= 15 年 期數 償還 償還 償 還 未償還 本金 利息 本利和 本金餘額 1 26967 13750 40717 5973033 第一個月是利用原始貸款本金 M 計算應計利息 2 27029 13688 40717 5946004 3 27091 13626 40717 5918913 1
24、77 40346 371 40717 121661 178 40438 279 40717 81223 179 40531 186 40717 40692 180 40624 93 40717 68 最末期必須完全清償，不應該留有累積殘差值，應歸入本金一次清償 。 180 40624+68 = 40692 93 40692+93 = 40785 0 這才是最正確的最末期金額 (5).本金定額法的放款 銀行期初貸出一筆本金 M，之後每月要收回一筆固定的本金 Pt， 外加當月利息 ，至債務人清償為止。 解題思惟， 銀行 先求算各期應償還 定額 本金， 其 次計算每期未償還本金餘額，以前期未償還本金
25、餘額來計算 下 月應 計 利息，即可求解每月本利和。其中本金部分每月都相同，故名本金定額法。 例：某甲向某乙銀行借入一筆現金 M 6,000,000 元，期限 N 15 年，放款 利率為 2.75%，求每月銀行以本金定額法應收繳本利和若干？ 答： 銀行要每月定額收回本金，故先以 原始貸款 本金除以總期數算出每 月 應收本金餘額，取正整數。再依每月未償還本金餘額計算下期應收利息。最末期如有殘差值，應納入當期本金一次清償。 茲將全部計算步驟再統整列述於後： (1).首先計算出每月應收付本金定額，即 Pt= N12M ，這在每月是一個定額。 (2).利用原始貸款本金 M，計算出第一個月應收利息 It
26、=1 = M 12i 。 (3).由每期應收付本金定額 Pt 加計上一程序所得本月利息 It，可算出本月 應償還本金 Pt+It。 (4).由前月未償還本金餘額 Mt-1 扣除本月應償還本金 Pt，得到本月未償還 - 9 - 本金餘額 Mt。亦即 Mt-1 - Pt = Mt。 (5).以前月未償還本金餘額 Mt-1，計算出本月應計利息 It= Mt-1 12i 。 (6).連續前三程序至最末期。最末期未償還本金餘額必須歸零，才算是 徹底清償。 (7).如最末期未償還本金餘額不是 0，表 示本題存在有累積殘差值，或正 數 或負數，則應納入最末期本金一次清償。此時應注意最末期本利和 數字並非前述
27、之 Po，而是調整後的 Pt + It。 以下是本題依照 本 金 定額法 計算所得之 銀行貸款償還本息明細表 M= 6000000 元 i = 2.75% N= 15 年 期數 償還 償還 償還 未償還 本金 利息 本利和 本金餘額 1 33333 13750 47083 5966667 第一個月是利用原始貸款本金 M 計算應計利息 2 33333 13674 47007 5933334 3 33333 13597 46930 5900001 177 33333 306 33639 100059 178 33333 229 33562 66726 179 33333 153 33486 333
28、93 180 33333 77 33410 60 最末期 必須完全清償， 不應該留有 累積 殘差值，應歸入本金一次清償 。 180 33333+60 =33393 77 33393+77 =33470 0 這才是最 正確的最 末期金額 . 例：某甲向某乙銀行借入一筆現金 M 8,000,000 元，期限 N 18 年，放款 利率為 2.925%，請列出銀行分別以 本息定額法 及 本金定額法 計算出的 銀行貸款償還本息明細表 ？ . 例：某甲以定期定額方式，投資共同基金，每月投資 NT$5000，已知基金 每年平均報酬率為 25%，若擬於到期值 達 800 萬時，一次贖回 。 試問 某甲 應連續
29、至少投資多少年 又幾個月 ? . 解： FV Po121)121( 12ii n 移項整理後，得 - 10 - . 例：某甲以定期定額方式投資 某 共同基 金，每月投資 NT$5,000 元 。 若某甲 擬於 連續投資 20 年期滿日一次贖回 12,000,000 元。試問該基金年 平均報酬率至少幾 %？ (請求算到小數點第 5 位 ) . 答： 18.07245 % 請注意： 或謂 解此類題，必須求算到小數點後第 6 位再取四捨五入。 此說當為非。正確的答案，應該是直接求算到小數點後第 6 位， 俟可贖回資產價值已逾原定目標，再無 條件 進位取小數點後 第 5 位，這才是答案。 理由：若依原來所說解法，求算到小數點後第 6 位再取四捨五入， 則 將 此解代回原式 測算基金資產價值累積金額時，可能 驗算 結果 仍不足所要求的目標 。 + = ( + ) 取對數 ( . + ) = ( + ) = . + + . = . . . . = . ( 至少 還 要 4 個月 ) 答案是 14 年又 4 個月
