1、0 / 102010 年高校招生全国统一考试理数（陕西卷）理科数学（必修+选修）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）.1.集合 A= ，B= ，则 =（ D ）|12x|1x()RACBA. B. C. D.|2x|12x2.复数 在复平面上对应的点位于（ A ）1izA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.对于函数 f(x)=2sinxcosx，下列选项中正确的是（ B ）A. 在 上是递增的 B. 的图象关于原点对称()fx,)42()fxC. 的最小正周期为 D. 的最大值为 24. 展开式
2、中 的系数为 10，则实数 等于（ D ）5axR3xaA.-1 B. C.1 D.2 125.已知函数 若 ，则实数 等于（ C ）,()xfa(0)4faA. B. C.2 D.9 12456.右图是求样本 ， ， 平均数 的程序框图，1x210x图中空白框中应填入的内容为（ A ） A. B.nSnxSC. D. 17.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ C ）A. B. 1323C.1 D.2 1 / 108.已知抛物线 的准线与圆 相切，则 p 的值为2(0)ypx2670xy（ C ）A. B. 1 C.2 D.4 129.对于数列 ， “ ”是“ 为递增数列”的
3、（ B ）na(.)na， 2， naA.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 10.某学校要召开学生代表大会，规定各班每 10 人推选一名代表 ，当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 y=x( x表示不大于 x 的最大整数)可以表示为（ B ） A. B. C. D. y103y10x4y10x5y10二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）.11.已知向量 a=（2，-1） ，b=（-1，m） ，c=（-1,
4、2） ，若（a+b）c，则 m= -1 .12.观察下列等式： ， ， ，根321332163321410据上述规律，第五个等式为 .24513.从如图所示的长方形区域内任取一个点 M(x，y)，则点 M 取自阴影部分部分的概率为 .1314.铁矿石 A 和 B 的含铁率 a ，冶炼每万吨铁矿石的的 排2CO放量 b 及每万吨铁矿石的价格 c 如下表：a B(万吨) C（百万元）A 50 1 3B 70 0.5 6某冶炼厂至少要生产 1.9（万吨）铁，若要求 的排放量不超过 2（万吨）则2O购买铁矿石的最少费用为 15 （万元）.2 / 1015.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多
5、做，则按所做的第一题评分）A （不等式选做题）不等式 的解集为 .x321xB. (几何证明选做题)如图，已知 RtABC 的两条直角边 AC,BC 的长分别为 3cm,4cm，以 AC 为直径的圆与 AB 交于点 D，则 .BA169C.(坐标系与参数方程选做题)已知圆 C 的参数方程为 （a 为参数）cos1inxy以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为，则直线 l 与圆 C 的交点的直角坐标系为 (-1,1),(1,1) .sin1三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共 6 小题，共 75 分）16.（本小题满分 12 分）已知 是公
6、差不为零的等差数列， 且 成等比数列na1a139,a（1） 求数列 的通项公式n（2） 求数列的前 n 项和 nS解：（1）由题设知公差 d0由 且 成等比数列得1a139,a12d8解得 d=1,d=0（舍去） 故 的通项na(1)nn（2）由（1）知 ，由等比数列前 n 项和公式得2na3 1().2nnS17. （本小题满分 12 分）如图，A，B 是海面上位于东西方向相距 海里的两个观测点，现位于53A 点北偏东 45，B 点北偏西 60的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西 60且与 B 点相距 海里的 C 点的救援船立即即前往营救，其航行033 / 10速度为 30
7、 海里/小时，该救援船到达 D 点需要多长时间？解：由题意知 海里，3)AB=5(+906,45,D1在 中，由正弦定理得ABsinsi5(3)sin45(3)sin45i 10ico60coD= （海里） ，53(1)2又 海里，30(96)0,23DBCABCBC在 中，由余弦定理得22cosD= 13010329030（海里） ，则需要的时间 （小时） 。CDt18. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA平面 ABCD，AP=AB=2,BC= ,E,F 分别是 AD,PC 的中点。2（）证明：PC平面 BEF；（）求平面 BEF 与平面 BAP 夹角的大小。解法
8、一：（）如图，以 A 为坐标原点，AB,AD,AP 所在直线分别为 x,y,z 轴建立 空间直角坐标系。 ，四边形 ABCD 是矩形2,2APBCD A,B,C,D,P 的坐标为 (0,)(,0)(2,),(02,)(,02)ABCDP又 E,F 分别是 AD,PC 的中点，4 / 10 ,(0,2),(1,)EF(2,),(1,2)(10)PCBFEF 400PCBEFAA ,PC 平面, B（）由（）知平面 BEF 的法向量 ,1(2,)nPC平面 BAP 的法向量 ， =82(0,2)nAD 12nA设平面 BEF 与平面 BAP 的家教为 ，则 ，1212|8cos|(,)24n ，
9、平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为45 45解法二：（）连接 PE,EC，在 和 中，RtPAEtCDPA=AB=CD,AE=DE, PE=CE,即 是等腰三角形，又 F 是 PC 的中点， EFPC，又 是 PC 的中点，2,BAPBCF 又CEPBEF平 面（） PA平面 ABCD, PABC, 又 ABCD 是矩形， ABBC, BC平面 BAP，BCPB, 又由（）知 PC平面 BEF, 直线 PC 与 BC 的夹角即为平面 BEF 与平面 BAP 的夹角，在 中，PB=BC, , PBCA90PBC45B所以平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 19. （本小题满分 12 分）
10、为了解学生升高情况，某校以 10%的比例对全校 700 名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：5 / 10（）估计该校男生的人数；（）估计该校学生身高在 170185cm 之间的概率；（）从样本中身高在 165180cm 之间的女生中任选 2 人，求至少有 1 人身高在 17018cm 之间的概率。解：（）样本中男生人数为 40，由分层抽样比例为 10%估计全校男生人数为400 人。（）由统计图知，样本中身高在 170185cm 之间的学生有 14+13+4+3+1=35 人，样本容量为 70，所以样本中学生身高在 170180cm 之间的概率 p=0.5（）样本中女生身高在
11、 165180cm 之间的人数为 10，身高在 170180cm 之间的人数为 4，设 A 表示事件“从样本中身高在 165180cm 之间的女生中任取 2人，至少有 1 人身高在 170180cm 之间” ，则 （或 ）2610()3CPA12640()3CPA20. （本小题满分 13 分）如图，椭圆 的顶点为 ，焦点为2:xyab12,B，12,F1|7AB1212ABFSA（）求椭圆 C 的方程；（）设 n 是过原点的直线， 是与 n 垂直相交于 F 点、l与椭圆相交于 A,B 亮点的直线，| |=1，是否存在上述直线 使 成OPl1APB立？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明
12、理由。l6 / 10解：（）由 知 ， 1|7AB27ab由 知 a=2c， 1212FS又 ， bc由解得 ，故椭圆 C 的方程为24,3ab2143xy（）设 A，B 两点的坐标分别为 ，12(,),xy假设使 成立的直线 存在，1Pl（）当 不垂直于 x 轴时，设 的方程为 ，由 与 垂直相交于 P 点l ykxmln且| |=1 得 ，即O2|1mk21k ，| |=1， APB()()OABPOBA= 2PA= 1+0+0-1=0,即 120xy将 代入椭圆方程，得km22(34)8(41)0kxm由求根公式可得 ， 12212234xk121210()xymx= 221(xk= 1
13、22()x将，代入上式并化简得2222(1)4)8(34)0kmkk将 代入并化简得 ，矛盾 即此时直线 不存在22m5(10l7 / 10（）当 垂直于 x 轴时，满足 的直线 的方程为 x=1 或 x=-1，l |1OPl当 X=1 时，A,B,P 的坐标分别为 ，3(,),(0)2 ， 3(0,)(0,)2APB 914AB当 x=-1 时，同理可得 ，矛盾 即此时直线 也不存在1APl综上可知，使 成立的直线 不存在l21. （本小题满分 14 分）已知函数 (),()ln,Rfxgax（）若曲线 与曲线 相交，且在交点处有共同的切线，求 a 的yf()yg值和该切线方程；（）设函数
14、，当 存在最小值时，求其最小值 的解()()hxfx()h()析式；（）对（）中的 和任意的 ，证明：()a0,b.()2()2aab 解：（） ，1(),()0)fxgx由已知得 解得 ，ln,12ax2,eax 两条直线交点的坐标为 ，切线的斜率为 ，2(,) 21()kfe 切线的方程为 1yex（）由条件知 ()ln(0),hxa 122x（）当 a0 时，令 ，解得 ，()0h 24a 当 时， 在 上递减；204xa,x(,)8 / 10当 时， 在 上递增24xa()0,()hx24,)a 是 在 上的唯一极值点，从而也是 的最小值点 ()hx最小值 22()ln(1ln)a（）当 时， 在 上递增，无最小值，0a(0,ahxhx,故 的最小值 的解析式为()hx)()21ln)(0a（）由（）知 (2lna对任意的 0,b()lll422aba2ln()n()nabA()lll4abba 故由得 ()2()2ab 9 / 10
