1、错解剖析得真知 第八章 平面向量与空间向量8.1 平面向量及其运算一、知识导学1.模（长度）：向量 的大小，记作| |。长度为的向量称为零向量，长度等于个单位长度的向量，叫做单位向量。2.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共线向量。3.相等向量：长度相等且方向相同的向量。4.相反向量：我们把与向量 长度相等，方向相反的向量叫做 的相反向量。记作- 。5.向量的加法：求两个向量和的运算。已知 ， 。在平面内任取一点，作 = ， = ，则向量 叫做 与 的和。记作 + 。6. 向量的减法：求两个向量差的运算。已知 ， 。在平面内任取一点 O，作 = ， = ，则向量 叫做 与
2、的差。记作 - 。 7.实数与向量的积：（1）定义： 实数 与向量 的积是一个向量，记作 ，并规定： 的长度| |=| |；当 0 时， 的方向与 的方向相同；当 0 时， 的方向与 的方向相反；当 0 时， =（2）实数与向量的积的运算律：设 、 为实数，则( )=() (+) = +( + )= +8.向量共线的充分条件：向量 与非零向量 共线的充要条件是有且只有一个实数 ，使得 。另外，设 =（x 1 ,y1）, = (x2,y2)，则 / x1y2x 2y1=09.平面向量基本定理：如果 、 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 1、 2使 1
3、 2 ，其中不共线向量 、 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。10.定比分点设 P1，P 2是直线 l 上的两点，点 P 是不同于 P1，P 2的任意一点则存在一个实数 ,使= ， 叫做分有向线段所成的比。若点 P1、P、P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x,y)，(x 2,y2)，则有特别当 =1，即当点 P 是线段 P1P2的中点时，有11.平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量 和 ，它们的夹角为 ，则数量| | |cos 叫做 与的数量积(或内积)，记作 ，即 | | |cos规定：零向量与任一向量的数量积是 0。(2)几何意义：数量积 等于 的长度| |与 在 的方向
4、上的投影| |cos 的乘积。(3)性质：设 ， 都是非零向量， 是与 方向相同的单位向量， 是 与 的夹角，则 | |cos ， 0当 与 同向时， | | |当 与 反向时， | | |特别地， | |2或| |cos | | | |(4)运算律： (交换律)( ) ( ) ( )( ) （5）平面向量垂直的坐标表示的充要条件：设 =（x 1 ,y1）, = (x2,y2)，则 =| | |cos90=0x1x2+y1y2=012.平移公式：设 P（x，y）是图形 F 上的任意一点，它在平移后图形 F/上对应点为 P/（x /，y /），且设 的坐标为（h，k），则由 ，得：（x /，y
5、/）（x，y）+（h，k）二、疑难知识导析1向量的概念的理解，尤其是特殊向量“零向量”向量是既有大小，又有方向的量向量的模是正数或 0，是可以进行大小比较的，由于方向不能比较大小，所以向量是不能比大小的两个向量的模相等，方向相同，我们称这两个向量相等，两个零向量是相等的，零向量与任何向量平行，与任何向量都是共线向量；2在运用三角形法则和平行四边形法则求向量的加减法时要注意起点和终点；3对于坐标形式给出的两个向量，在运用平行与垂直的充要条件时，一定要区分好两个公式，切不可混淆。因此，建议在记忆时对比记忆；4定比分点公式中则要记清哪个点是分点；还有就是此公式中横坐标和纵坐标是分开计算的；5平移公式
6、中首先要知道这个公式是点的平移公式，故在使用的过程中须将起始点的坐标给出，同时注意顺序。三、经典例题导讲例 1 和 = (3,4)平行的单位向量是_；错解：因为 的模等于 5，所以与 平行的单位向量就是 ，即 (，)错因：在求解平行向量时没有考虑到方向相反的情况。正解：因为 的模等于 5，所以与 平行的单位向量是 ，即(，)或(，)点评：平行的情况有方向相同和方向相反两种。读者可以自己再求解“和 = (3,4)垂直的单位向量”，结果也应该是两个。例 2已知 A（2，1），B（3，2），C（-1，4），若 A、B、C 是平行四边形的三个顶点，求第四个顶点 D 的坐标。错解：设 D 的坐标为（x，
7、y），则有 x-2=-1-3，y-1=4-2 ，即 x=-2，y=3。故所求 D 的坐标为（-2，3）。错因：思维定势。习惯上，我们认为平行四边形的四个顶点是按照 ABCD 的顺序。其实，在这个题目中，根本就没有指出四边形 ABCD。因此，还需要分类讨论。正解：设 D 的坐标为（x，y）当四边形为平行四边形 ABCD 时，有 x-2=-1-3，y-1= 4-2 ，即 x= -2，y= 3。解得 D 的坐标为（-2，3）；当四边形为平行四边形 ADBC 时，有 x-2=3-（-1），y-1= 2-4 ，即 x= 6，y= -1。解得D 的坐标为（6，-1）；当四边形为平行四边形 ABDC 时，有
8、 x-3=-1-2，y-2= 4-1 ，即 x= 0，y= 5。解得 D 的坐标为（0，5）。故第四个顶点 D 的坐标为（-2，3）或（6，-1）或（0，5）。例 3已知 P1(3,2)，P 2（8，3），若点 P 在直线 P1P2上，且满足|P 1P|=2|PP2|，求点 P 的坐标。错解：由|P 1P|=2|PP2|得，点 P 分 P1P2所成的比为 2，代入定比分点坐标公式得P（ ）错因：对于|P 1P|=2|PP2|这个等式，它所包含的不仅是点 P 为 P 1，P 2 的内分点这一种情况，还有点 P 是 P 1，P 2的外分点。故须分情况讨论。正解：当点 P 为 P 1，P 2 的内分
9、点时，P 分 P1P2所成的比为 2，此时解得 P（ ）；当点 P 为 P 1，P 2 的外分点时，P 分 P1P2所成的比为-2，此时解得 P（13，4）。则所求点 P 的坐标为（ ）或（13，4）。点评：在运用定比分点坐标公式时，要审清题意，注意内外分点的情况。也就是分类讨论的数学思想。例 4 设向量 ， ， ，则“ ”是“ ”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件分析：根据向量的坐标运算和充要条件的意义进行演算即可解：若 ， ，则 ，代入坐标得： ，即 且 消去 ，得 ；反之，若 ，则 且 ，即则 ，故“ ”是“ ”的充要条件答案：C点评：本题意在
10、巩固向量平行的坐标表示例 5已知 =（1，-1）， =（-1，3）， =（3，5），求实数 x、y，使 =x +y 分析：根据向量坐标运算和待定系数法，用方程思想求解即可解：由题意有x +y =x（1，-1）+y（-1，3）=（x-y，-x+3y）又 =（3，5）x-y=3 且-x+3y=5解之得 x=7 且 y=4点评：在向量的坐标运算中经常要用到解方程的方法例 6已知 A（-1，2），B（2，8）， = ， = - ，求点 C、D 和向量的坐标分析：待定系数法设定点 C、D 的坐标，再根据向量 ， 和 关系进行坐标运算，用方程思想解之解：设 C、D 的坐标为 、 ，由题意得=（ ）， =（
11、3，6）， =（ ）， =（-3，-6）又 = ， = -（ ）= （3，6）， （ ）=- （-3，-6）即 ( )=(1,2) ， ( )=(1,2) 且 ， 且 且 ，且 点 C、D 和向量 的坐标分别为（0，4）、（-2，0）和（-2，-4）小结：本题涉及到方程思想，对学生运算能力要求较高四、典型习题导练 1. ，则有（ ）A. B. C. D. 2.（2006 年高考浙江卷）设向量 满足 , ,则 (A)1 (B)2 (C)4 (D)53. 将函数 y= 4x8 的图象 L 按向量 平移到 L/， L/的函数表达式为 y= 4x，则向量= 4. 从点 沿向量 方向取线段 AB，使 ，
12、则 B 点坐标为 5. 、 是单位向量， 的夹角为 ，以 、 为邻边作平行四边形。求平行四边形对角线的长。6.（2006 年高考辽宁卷）已知 的三内角 所对边的长分别为 设向量, ,若 ,则角 的大小为(A) (B) (C) (D) 错解剖析得真知（二十六） 8.2 平面向量与代数、几何的综合应用一、知识导学1.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和，减去这两边与它们夹角的余弦的积的 2 倍,即2.正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 二、疑难知识导析1初中学过的勾股定理只是余弦定理的一种特殊情况。如当 = 时， =0，此时有 ；2由于
13、本节内容与代数、几何联系比较紧，故读者需对解斜三角形、解析几何中的圆锥曲线等知识非常熟悉方可。三 经典例题导讲例 1在 ABC 中，已知 a2b 2bcc 2，则角 A 为( )A B C D 或错解：选 A错因：公式记不牢，误将余弦定理中的“减”记作“加”。正解：a 2b 2bcc 2b 2c 22bc( )b 2c 22bccosA选 C.例 2在ABC 中，已知 ，试判别其形状。错解：等腰三角形。错因：忽视了两角互补，正弦值也相等的情形。直接由 得，即 ，则 。接着下结论，所求三角形为等腰三角形正解：由 得， ，即则 或 ，故三角形为直角三角形或等腰三角形。例 3在 中 ，试求 周长的最
14、大值。并判断此时三角形的形状。错解：由于题目中出现了角和对边，故使用余弦定理，进一步想使用不等式或二次函数求最值错因：其实这种思路从表面上看是可行的，实际上处理过程中回遇到无法进行下去的困难。正解：由正弦定理,得 a=2( )sinA, b=2( )sinB.a+b=2( )(sinA+sinB)=4( )sin cossin =sin75o=a+b=( )2 cos ( )2=8+4 .当 a=b 时,三角形周长最大,最大值为 8+4 + . 此时三角形为等腰三角形.例 4在 中， ，其内切圆面积为 ，求 面积。分析：题中涉及到内切圆，而内切圆直接与正弦定理联系起来了，同时正弦定理和余弦定理
15、又由边联系起来了。解：由已知,得内切圆半径为 2 . 由余弦定理,得三角形三边分别为 16,10,14.例 5已知定点 A(2,1)与定直线 :3x-y+5=0,点 B 在 上移动,点 M 在线段 AB 上,且分 AB 的比为 2,求点 M 的轨迹方程.分析:向量的坐标为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁,形成了代数与几何联系的新纽带 .解:设 B(x0,y0),M(x,y) =(x-2,y-1), =(x0-x,y0-y),由题知 =2 由于 3x0-y0+5=0,3 - +5=0化简得 M 的轨迹方程为 9x-3y+5=0例 6过抛物线:y 2=2px(p0)顶点 O 作两条互相垂直
16、的弦 OA、OB(如图),求证:直线 AB 过一定点,并求出这一定点.分析: 对于向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),有 a/b x1y2-x2y1=0.可以用来处理解析几何中的三点共线与两直线平行问题.证明:由题意知可设 A 点坐标为( ,t1),B 点坐标为( ,t2) =( ,t1), =( ,t2),OAOB, ? =0 ? +t1?t2=0t1?t2=-4p2 设直线 AB 过点 M(a,b),则 =(a- ,b-t2), =( - ,t1-t2),由于向量 与 是共线向量,（a- ）(t 1-t2)= (b-t2)( - ) 化简得 2p(a-2p)=b(t1+t2) 显
17、然当 a=2p,b=0 时等式对任意的成立直线 AB 过定点,且定点坐标为 M(2p,0)四 典型习题导练1已知锐角三角形的边长分别为 2，3，x，则第三边 x 的取值范围是（ ）A1x5 B x C x 5 D1x2 三顶点 ，则 的面积为 _ _。3ABC 中，若边 a：b：c ：(1 )：2，则内角 A 。4某人在 C 点测得塔顶 A 在南偏西 80，仰角为 45，此人沿南偏东 40方向前进 10米到 0，测得塔顶 A 仰角为 30，则塔高 。5在ABC 中，已知 B30，b50 ，c150，解三角形并判断三角形的形状。 6在ABC 中，已知 ，判定ABC 是什么三角形。8.3 空间向量
18、及其运算 一、知识导学1 空间直角坐标系：（ 1） 若 空 间 的 一 个 基 底 的 三 个 基 向 量 互 相 垂 直 ， 且 长 为 ， 这 个 基 底 叫单 位 正 交 基 底 ， 用 表 示 ； （2）在空间选定一点 和一个单位正交基底 ，以点 为原点，分别以 的方向为正方向建立三条数轴： 轴、 轴、 轴，它们都叫坐标轴我们称建立了一个空间直角坐标系 ，点 叫原点，向量 都叫坐标向量通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为 平面， 平面， 平面；2空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系 中，对空间任一点 ，存在唯一的有序实数组 ，使 ，有序实数组 叫作向量 在空间直角坐标系 中的坐标，记作 ， 叫横坐标， 叫纵坐标， 叫竖坐标3空间向量的直角坐标运算律：（1）若 ， ，则 ， ， ，
