1、过一点求曲线的切线方程的三种类型舒云水 过一点求曲线的切线方程有三种不同的类型，下面举例说明1.已知曲线 上一点 ，求曲线在该点处的切线方)(xfy)(,0xfP程这是求曲线的切线方程的基本类型，课本上的例、习题都是这种类型其求法为：先求出函数 的导数 ，再将 代入)(xf)(xf0求出 ，即得切线的斜率，后写出切线方程 =)(xf)(0xf )(xfy)(0f，并化简0例 1 求曲线 在点 处的切线方程3)(23xf )1,(P解：由题设知点 在曲线上，P ，曲线在点 处的切线斜率为 ，所xy632 ),( 3)1(f求的切线方程为 ，即 )1(343xy2. 已知曲线 上一点 ，求过点 的
2、曲线的切线xfy)(,1fAA方程这种类型容易出错，一般学生误认为点 一定为切点，事实上可能存在过点 而点 不是切点的切线，如下面例 2，这不同于以前A学过的圆、椭圆等二次曲线的情况，要引起注意，这类题型的求法为：设切点为 ，先求出函数 的导数 ，再将 代入)(,0xfP)(xf)(xf0求出 ，即得切线的斜率（用 表示） ，写出切线方程)(xf)(0f 0= ，再将点 坐标 代入切线方程得0yx0A),(1yx= ，求出 ，最后将 代入方程 =)(1f)(f)100)(0xfy求出切线方程)(0xf0例 2 求过曲线 上的点 的切线方程xy23)1,(解：设切点为点 ， ，切线斜率为 ， )
3、,(00 23xy 230x切线方程为 )(3)0230xxy又知切线过点 ，把它代入上述方程，得1,()1(2)20003xx解得 ，或 所求切线方程为 ，或 ，)(3)1(xy )21(43)18(xy即 ，或 02yx045x上面所求出的两条直线中，直线 是以 为切点的02yx)1,(切线，而切线 并不以 为切点，实际上它是经过了点1yx)1,(且以 为切点的直线，如下图所示这说明过曲线上一点)1,()87,2(的切线，该点未必是切点3. 已知曲线 外一点 ，求过点 作的曲线的切)(xfy)(,1xfAA线方程这种类型的题目的解法同上面第二种类型例 3 过原点 作曲线 的切线，求切线方程O6324xy（2009 年全国卷文 21 题改编 ）解：由题设知原点 不在曲线上，设切点坐标为OP， ，切线斜率为（ ） ，切线方程)63,(2040xxy643 0364x为：)()3( 030204 xxxy又知切线过点 ，把它代入上述方程，得,)(64()( 030204 xxx整理得： )12解得 ，或 0x0x所求切线方程为： 或 y2y2练习：1.求曲线 在点 处的切线方程14)(3xf ),(P2. 求过曲线 上的点 的切线方程1xy),(3.过点 作抛物线 的切线，求切线方程)2,0(2x答案：1. ；2. 或 ；3.035yx04y02yx或 3yx
