1、济学教育 初四上册第二单元二次函数-第二课时第 1 页 共 6 页二次函数概念及图象性质知识点一 二次函数的概念一、二次函数的定义1. 一般地，形如 （ 为常数， ）的函数称为 的二次函数，其中 为cbxay2a,0axx自变量， 为因变量， 分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数.,2. 任何二次函数都可以整理成 （ 为常数， ）的形式cxy2b,3. 判断函数是否为二次函数的方法： 含有一个变量，且自变量的最高次数为 2； 二次项系数不等于 0； 等式两边都是整式4. 二次函数自变量 的取值范围是全体实数x例 1、下列函数中是二次函数的是（ ）A B C D213yx32yx2yx2y
2、x练 1、下列函数中，哪些是二次函数？并指出二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项 ； ； ； ；2xy21x12xy)(xy)()(练 2、下列说法正确的是（ ）A二次函数的自变量的取值范围是非零实数B圆的面积公式 中， 是 的二次函数2SrSrC 不是二次函数142yxD 中一次项系数为 1练 3、已知函数 （ 为常数）21ayxxa当 为何值时，此函数为二次函数？a当 为何值时，此函数为一次函数？济学教育 初四上册第二单元二次函数-第二课时第 2 页 共 6 页练 4、已知函数 ， 当 是什么数时，函数是二次函数？这个二32-m1y-2XX）（）（ m次函数的解析式是多少？知识点二 二
3、次函数的图象性质一、二次函数 的性质2yax0（ ）1. 抛物线 的顶点是坐标原点（ 0，0） ，对称轴是 （ 轴）.0xy2. 函数 的图象与 的符号关系.2xy 当 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点；0a 当 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点.二、二次函数 的性质2(0)yaxc1. 抛物线 的顶点是坐标原点（0，c） ，对称轴是 （ 轴）.0xy2. 函数 的图象与 的符号关系.xy2a 当 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点；a 当 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点.03. 函数 的图象可以看做是由函数 的图象向上或向下平移 个单位得到的.cxy2 2axy|c三、二次函数 的性
4、质ba2）（ 0a1.对称轴： x2.顶点坐标： )4,2(2ac3.最值：济学教育 初四上册第二单元二次函数-第二课时第 3 页 共 6 页图1 图2 时有最小值 （如图 1）0aabc42 时有最大值 （如图 2）24.单调性：二次函数 （ ）的变化情况（增减性）cbxay20a 当 时，对称轴左侧 ， 随着 的增大而减小，在对称轴的右侧 ，0yx abx2随 的增大而增大；yx 当 时，对称轴左侧 ， 随着 的增大而增大，在对称轴的右侧 ，aabx2随 的增大而减小；四、二次函数 的性质khxy2)(）（ 01.对称轴： 2.顶点坐标： (,)k3.最值： 图1图2时有最小值 （如图 1
5、）0ak时有最大值 ；（如图 2）五、二次函数 的性质21()yax）（ 0a1. 对称轴： 2济学教育 初四上册第二单元二次函数-第二课时第 4 页 共 6 页2. 与 轴的交点坐标为x21(,0),x六、二次函数的图象与系数的关系1. 的符号决定抛物线的开口方向：a当 时，抛物线开口向上；0当 时，抛物线开口向下2. 决定抛物线的开口大小：a越大，抛物线开口越小；越小，抛物线开口越大3. 和 共同决定抛物线对称轴的位置（抛物线的对称轴： ）ab 2bxa当 时，抛物线的对称轴为 轴； 0y当 、 同号时，对称轴在 轴的左侧；当 、 异号时，对称轴在 轴的右侧ab简要概括为“左同右异” 4.
6、 的大小决定抛物线与 轴交点的位置（抛物线与 轴的交点坐标为 ）cyy0c，当 时，抛物线与 轴的交点为原点；0当 时，交点在 轴的正半轴；当 时，交点在 轴的负半轴cy七、根据二次函数的图象判断代数式符号1. 决定了函数图象与 轴的交点情况：24bacx当 ，有两个交点；0当 ，有一个交点；2c当 ，没有交点4ba2. 当 时，可以得到 的值；1xabc当 时，可以得到 的值济学教育 初四上册第二单元二次函数-第二课时第 5 页 共 6 页二 二次函数 的图象与性质2yax0【例 1】 在同一平面直角坐标系中作出下列函数图象： ； ； ； ；并探究2yx2x23y2x二次函数开口大小与 之间
7、的关系【例 2】 如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是 ； ； ； 。2yax2ybx2ycx2ydx则 、 、 、 的大小关系为（ ）abcd 4321xoyA abcdBCD三 二次函数 的图象与性质2yaxc0【例 3】 在同一平面直角坐标系中作出下列函数图象： ； ； ；并回答下21yx2x23yx列问题抛物线 、 、 的形状是否发生改变？1y23对称轴是否发生改变？将抛物线 向_平移_ 单位得到1 2y将抛物线 向_平移_单位得到2y 3【例 4】 函数 的图象可以看做是函数 的图象向_平移_个单位得到的。23x2yx【例 5】 二次函数 的图象开口_，当_时， 随 的增大而减小
8、；y yx二次函数 的图象开口_，当_时， 随 的增大而增大；25二次函数 的图象开口_，当_时， 随 的增大而增大。7x【例 6】 已知抛物线 与 轴有两个交点，且开口向下，则 的取值范围分别是（ 2(0)yabx ,ab）A B0， 0ab，C Dab， ，济学教育 初四上册第二单元二次函数-第二课时第 6 页 共 6 页【例 7】 已知函数 ，当 取 时，函数值相等，则当 取 时，函数值为25yx221()x， x21+_抛物线 、 、 的形状是否发生改变？1y23对称轴是否发生改变？将抛物线 向_平移_ 单位得到 ；1 2y将抛物线 向_平移_单位得到 。2y 3【例 8】 抛物线 的顶点坐标是_，对称轴是_；25x抛物线 的开口方向_，顶点坐标_，对称轴是34y_，当_时， 随 的增大而增大。yx24如图，已知抛物线 y= x2 x+2 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C（1）求点 A，B，C 的坐标；（2）点 E 是此抛物线上的点，点 F 是其对称轴上的点，求以 A，B，E，F 为顶点的平行四边形的面积；（3）此抛物线的对称轴上是否存在点 M，使得ACM 是等腰三角形？若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由
