1、 中 国 教 育 培 训 领 军 品 牌全力以赴 赢在环雅 18.2 空间点、线、面之间的位置关系教学目标1理解空间直线、平面位置关系的定义2了解可以作为推理依据的公理和定理3能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题学习内容知识梳理1 平面的基本性质及推论(1)平面的基本性质：基本性质 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内基本性质 2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面基本性质 3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线(2)平面基本性质的推论：推论 1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个
2、平面推论 2：经过两条相交直线有且只有一个平面推论 3：经过两条平行直线有且只有一个平面2 直线与直线的位置关系(2)判断两直线异面：与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点 的直线是异面直线注：异面直线定义中“不同在任何一个平面内的两条直线”是指“不可能找到一个平面能同时经过这两条直 线 ”， 也可 以 理 解 为 “既 不 平 行 也 不 相 交 的 两 条 直 线 ”， 但 是 不 能 理 解 为 “分 别 在 两 个 平 面 内 的 两 条 直 线 ”(3) 异面直线所成的角：已知两条异面直线 a，b，经过空间任一点 O 作直线 aa，bb，把 a与 b所成的锐角(或直角) 叫做
3、异面直线 a 与 b 所成的角 (或夹角)异面直线所成角的范围是 若两条异面直线所成的角是直角，则(0，2称两条异面直线互相垂直，所以空间两条直线垂直分为相交垂直和异面垂直例题讲解中 国 教 育 培 训 领 军 品 牌全力以赴 赢在环雅 2题型一 平面基本性质的应用例 1 如图所示，正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、F 分别是 AB 和AA1 的中点求证：(1)E、C、D 1、F 四点共面；(2)CE、D 1F、DA 三线共点思维启迪 (1)两条相交直线或两条平行直线确定一个平面；(2)可以先证 CE 与 D1F 交于一点，然后再证该点在直线 DA 上证明 (1)连接 EF，CD 1，
4、A 1B.E、F 分别是 AB、AA 1 的中点，EFBA 1.又 A1BD 1C，EF CD 1，E、C、D 1、F 四点共面(2)EFCD 1，EF (ACBD )；12 12MN (ACBD) ；MN (ACBD) 12 12其中正确的是_答案 解析 如图，取 BC 的中点 O，连接 MO、NO，则 OM AC，ON BD，12 12在MON 中，MNOMON (ACBD) ，12正确.B 组1 若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的( )A充分非必要条件 B必要非充分条件C充分必要条件 D既非充分又非必要条件答案 A解析 “两条直线为异面直线”“两条
5、直线无公共点” “两直线无公共点”“两直线异面或平行” 故选 A.2 若空间三条直线 a，b，c 满足 ab，bc，则直线 a 与 c ( )A一定平行B一定相交C一定是异面直线D平行、相交、是异面直线都有可能中 国 教 育 培 训 领 军 品 牌全力以赴 赢在环雅 7答案 D解析 当 a，b，c 共面时，ac；当 a，b，c 不共面时， a 与 c 可能异面也可能相交3 设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1， 和 a，且长为 a 的棱与长为 的棱异面，则 a 的取值范围是2 2( )A(0， ) B(0， )2 3C(1， ) D(1 ， )2 3答案 A解析 此题相当于一个正方形沿着
6、对角线折成一个四面体，长为 a 的棱长一定大于 0 且小于 .选 A.24. 如图所示，平面 平面 l ，A，B，ABl D ，C ，Cl，则平面 ABC 与平面 的交线是 ( )A直线 ACB直线 ABC直线 CDD直线 BC答案 C解析 易知 D，D平面 ABC，C ，C平面 ABC.平面 ABC平面 CD .5 设 P 表示一个点，a、b 表示两条直线，、 表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是( )Pa，P aabP，b aab，a，Pb，P b b，P，PPbA B C D答案 D解析 当 aP 时，P a ，P，但 a，错；aP 时，错；如图，ab，Pb，Pa，由直线 a
7、 与点 P 确定唯一平面 ，又 ab，由 a 与 b 确定唯一平面 ，但 经过直线 a 与点 P， 与 重合， b，故正确；两个平面的公共点必在其交线上，故正确6 平面 、 相交，在 、 内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定 _个平面答案 1 或 4解析 若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行，则确定一个平面；否则确定四个平面中 国 教 育 培 训 领 军 品 牌全力以赴 赢在环雅 87 a，b，c 是空间中的三条直线，下面给出四个命题：若 ab，bc，则 ac ；若 a 与 b 相交，b 与 c 相交，则 a 与 c 相交；若 a平面 ，b平面 ，则 a，b 一定是异面直
8、线上述命题中正确的命题是_( 只填序号) 答案 解析 由公理 4 知正确；当 a 与 b 相交，b 与 c 相交时，a 与 c 可以相交、平行，也可以异面，故不正确；a，b，并不能说明 a 与 b“不同在任何一个平面内” ，故不正确8. 如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M、N 分别为棱 C1D1、C 1C 的中点，有以下四个结论：直线 AM 与 CC1 是相交直线；直线 AM 与 BN 是平行直线；直线 BN 与 MB1 是异面直线；直线 AM 与 DD1 是异面直线其中正确的结论为_(注：把你认为正确的结论的序号都填上)答案 解析 直线 AM 与 CC1 是异面直线，直线 AM
9、与 BN 也是异面直线，故 错误9 如图，空间四边形 ABCD 中，E、F、G 分别在 AB、BC、CD 上，且满足 AEEBCFFB21，CGGD31，过 E、F、G的平面交 AD 于点 H.(1)求 AHHD ；(2)求证：EH 、 FG、BD 三线共点(1)解 2，EFAC，AEEB CFFBEF平面 ACD，而 EF平面 EFGH，平面 EFGH平面 ACDGH，EFGH，ACGH. 3.AHHD CGGDAHHD 3 1.(2)证明 EFGH，且 ， ，EFAC 13 GHAC 14EFGH，EFGH 为梯形令 EHFG P，则 PEH，而 EH平面 ABD，又 PFG，FG平面 B
10、CD，中 国 教 育 培 训 领 军 品 牌全力以赴 赢在环雅 9平面 ABD平面 BCDBD ，PBD.EH、FG 、BD 三线共点10在三棱锥 PABC 中，E 是 PC 的中点求证：AE 与 PB 是异面直线证明 假设 AE 与 PB 共面，设平面为 ，A，B，E，平面 即为平面 ABE，P平面 ABE，这与 P平面 ABE 矛盾，所以 AE 与 PB 是异面直线C 组1 l1，l 2，l 3 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 ( )Al 1l 2，l 2l 3l 1l 3Bl 1l 2，l 2l 3l 1l 3Cl 1l 2l 3l 1，l 2，l 3 共面Dl 1，l 2，l
11、 3 共点l 1，l 2，l 3 共面答案 B解析 当 l1l 2，l 2l 3 时，l 1 与 l3 也可能相交或异面，故 A 不正确；l 1l 2，l 2l 3l 1l 3，故 B 正确；当l1l 2l 3 时，l 1，l 2，l 3 未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故 C 不正确；l 1，l 2，l 3 共点时，l 1，l 2，l 3 未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故 D 不正确2. 如图是正四面体(各面均为正三角形 )的平面展开图， G、H、M、N 分别为 DE、BE 、EF、EC 的中点，在这个正四面体中，GH 与 EF 平行；BD 与 MN 为异面直线；GH 与 MN
12、成 60角；DE 与 MN 垂直以上四个命题中，正确命题的序号是_答案 解析 还原成正四面体知 GH 与 EF 为异面直线，BD 与 MN 为异面直线，GH 与 MN 成 60角，DEMN.3 正方体 ABCDA1B1C1D1 中，P、Q 、R 分别是 AB、AD、B 1C1 的中点那么，正方体的过 P、Q、R 的截面图形形状是_边形答案 六解析 延长 PQ 或(QP )分别交 CB 延长线于 E，交 CD 延长线于 F，取 C1D1 中点 M，连接中 国 教 育 培 训 领 军 品 牌全力以赴 赢在环雅 10RM，连接 RE 交 BB1 于 S，连接 MF 交 DD1 于 N，连接 NQ，P
13、S，则六边形 PQNMRS 即为正方体 ABCDA1B1C1D1 的过 P、Q、R 三点的截面图形4. 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，O 为正方形 ABCD 的中心，H 为直线 B1D 与平面 ACD1 的交点求证：D 1、H、O 三点共线证明 连接 BD，B 1D1，则 BDACO，BB 1綊 DD1，四边形 BB1D1D 为平行四边形，又 H B1D，B1D平面 BB1D1D，则 H平面 BB1D1D，平面 ACD1平面 BB1D1DOD 1，H OD 1.即 D1、H、O 三点共线5 定线段 AB 所在的直线与定平面 相交，P 为直线 AB 外的一点，且 P 不在 内，若
14、直线 AP、BP 与 分别交于C、D 点，求证：不论 P 在什么位置，直线 CD 必过一定点证明 设定线段 AB 所在直线为 l，与平面 交于 O 点，即 lO.由题意可知，AP C ，BPD，C ，D.又APBPP，AP、BP 可确定一平面 ，且 C ，D .CD.A ，B ，l ，O.O.即 OCD.不论 P 在什么位置，直线 CD 必过一定点归纳总结方法与技巧1 主要题型的解题方法(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内 (即“纳入法”)(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据基本性质 3 可知这些点在交线上，因此共线2 判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过该点 B 的直线是异面直线(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面失误与防范1正 确 理 解 异 面 直 线 “不 同 在 任 何 一 个 平 面 内 ”的 含 义 ， 不 要 理 解 成 “不 在 同 一 个 平 面 内 ”
