1、 第 1 页函数的性质(奇偶性，单调性，周期性，对称性) 定义域优先一、奇偶性常用性质：1 是既奇又偶函数； 0)(xf2奇函数若在 处有定义，则必有 ； 0)(f3偶函数满足 ； )()xff4奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于 y 轴对称；5 除外的所有函数奇偶性满足：0)(xf奇函数奇函数=奇函数 奇函数奇函数=偶函数 奇函数偶函数=非奇非偶 奇函数偶函数=奇函数 偶函数偶函数=偶函数 偶函数偶函数=偶函数6任何函数 可以写成一个奇函数 和一个偶函数)(xf 2)()(xfx的和。2)(x二、函数 图象本身的对称性（自身对称）)(xfy若 ，则 具有周期性；若 ，则)afb()fx(
2、)()faxfbx具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性” 。()fx1、 图象关于直线 对称)()(xbfaf)(xfy2)(baxax推论 1： 的图象关于直线 对称a推论 2、 的图象关于直线 对称)2()xfxf )(xfyax推论 3、 的图象关于直线 对称2、 的图象关于点 对称cxbfaf)()()(xfy),2(cb推论 1、 的图象关于点 对称ba2a推论 2、 的图象关于点 对称xfx)()(xfy),(b推论 3、 的图象关于点 对称三、函数周期性的几个重要结论1、 ( ) 的周期为 ， ( )也是函数的周期()fxTf0)(xfyTkZ第 2 页2、 的周期为()
3、()fxafb)(xfyabT3、 的周期为x24、 的周期为)(1(faxf )(xfya5、 的周期为)(xff)(fT26、 的周期为)(1)(faxf)(xfya7、 的周期为()(ff)(f2T8、 的周期为)(1)(xfaxf )(xfya49、 的周期为2ff)(xfyT610、若 .2,)()(,0pTpxfp则11、 有两条对称轴 和 周期xyab()a)(xfy)(2ab推论：偶函数 满足 周期)(f)(xffT12、 有两个对称中心 和 周期xfy0,()(xfy)(推论：奇函数 满足 周期)(f)(xaffa413、 有一条对称轴 和一个对称中心 的xfyx)0,(b(
4、)fx)(bT跟踪练习1、定义在 R 上的奇函数 ，周期为 6，那么方程 在区间 上的根的)(xf )(xf6,个数可能是 A.0 B.1 C.3 D.52、f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数，且 f(2)0，则方程 f(x)0 在区间(0,6)内解的个数至少是( )A1 B4 C3 D23、已知 是 R 上的偶函数 , 是 R 上的奇函数,且 = ,那么xf )(xg)(xg1f)320(fA.0 B.2 C. D.第 3 页4、已知 ，那么12)(xf )8(6)4(2)0()4(6 ffffA.14 B.15 C. D.16 15、已知 的定义域为 R，若 都为奇函数，则)
5、(f )()(xff、A. 为偶函数 B. 为奇函数 C. = D. 为奇函数xx)2(f)3(xf6、定义在 R 上的函数 对任意的实数 都有 ，则下列结论一)(fx1定成立的是A. 的周期为 4 B. 的周期为 6 )(xf )(fC. 的图像关于直线 对称 D. 的图像关于点(1 , 0) 对称1xx7、定义在 R 上的函数 满足: , ，当 , 1)(f )()(ff)1()xf1时， ，则3)(xf20A. B.0 C.1 D.218、定义在 R 上的函数 对任意的实数 都有 ，并且 为)(fx)2()(xff)1(xf偶函数. 若 ，那么3f)10fA.1 B.2 C.3 D.49
6、、已知 f(x)(x R)为奇函数，f(2)1，f(x2)f(x)f(2)，则 f(3)等于( )A. B1 C. D212 3210、若奇函数 f(x)(xR)满足 f(3)1，f(x3)f(x) f (3)，则 f 等于( )(32)A0 B1 C. D12 1211、已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x4) f (x)，且在区间0,2上是增函数，则( )Af(25) D与 a 的取值无关14、若函数 为奇函数，且当 时， ，则当 时，有 （ fx0x1fx0x）A B C 0 D 0fffx015、已知函数 在区间 上是减函数，则实数 的取值范围212fxax4,a是（ ）A
7、a3 B a3 Ca 5 Da316、已知函数 , , ，0fxx1)(xg)0()(2xh则 的奇偶性依次为 （ ）,ghA奇函数，偶函数，奇函数 B奇函数，奇函数，偶函数 C奇函数，奇函数，奇函数 D奇函数，非奇非偶函数，奇函数17、已知函数 对任意实数 都有221,fxaxbaRx成立，若当 时， 恒成立,则 的取值范围是（ 1f0fxb） A B C D不能确定0b2b或18、已知函数 ，那么 （ 223fx）A 在区间 上是增函数 B 在区间 上是增函数y1, yfx,1C 在区间 上是减函数 D 在区间 上是减函数f19、函数 在 上是增函数，函数 是偶函数，则下列结论中正x0,2
8、2f确的是 （ ）A B C571ff 571ffD72f 122f20、设函数 是 R 上的奇函数，且当 时， ，则 等于（ fx0x3xf2f）A B C1 D141421、设函数 是 R 上的偶函数,且在 上是减函数,且 ,则)(xf 01210xx，A. B. C. D.不能确定21)(21xff)(21ff第 5 页22、函数 与 的定义域相同，且对定义域中任何 有yfxygxx，0f，若 的解集是 ，则函数 是（ 1g1021fFfxg）A奇函数 B偶函数 C既奇又偶函数 D非奇非偶函数23、已知函数 ，若 ，则实数 取值范围是)(xf0,1sinxe )(2(affA. ( )
9、B. ( ) C. ( ) D. ( ) )1,2,12,1(24、已知 是定义在 R 上的不恒为零的偶函数，且对任意 都有f xxff那么 =)5(A0 B1 C2 D3 二、填空题：24、设 是 上的减函数，则 的单调递减区间为 yfxR3yfx25、已知 为偶函数， 是奇函数，且 ，则 、gx2gxfx分别为 ; g26、定义在 上的奇函数 ，则常数 ， ；1,21mfnxn27、已知 f (x)是定义在实数集上的函数，且 则,32)1(,)( fxff若f (2005)= .28、函数 定义域为 ，且对于一切实数 都有 ，试判断()fxR,xy()()fyfy的奇偶性.f29、设 是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x 恒满足 ，当)(xf )()2(xff时2,02x求证： 是周期函数；)(xf当 时，求 的解析式；4,)(f计算： )0(f12)05(f第 6 页30、已知 1，若函数 在区间1 ，3上的最大值为 ，最小3a21fxaMa值为 ，令 NgMN（1）求 的函数表达式；（2）判断函数 在区间 ，1上的单调性，并求出ga31的最小值 .ga
