1、函数对称性、周期性和奇偶性规律一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、 周期性：对于函数 ，如果存在一个不为零的常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有)(xfy都成立，那么就把函数 叫做周期函数，不为零的常数 T 叫做这个函数的周)fTxf)(xfy期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。2、 对称性定义（略） ，请用图形来理解。3、 对称性：我们知道：偶函数关于 y（即 x=0）轴对称，偶函数有关系式 )(xff奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式 0)x上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的探讨：（1）函数 关于 对称)(x
2、fya(aff也可以写成 或 (af)2)xx)2()xaf简证：设点 在 上，通过 可知，,1(fff，即点 上，而点 与点)2()1fxfy ,1y也 在 ,1y关于 x=a 对称。得证。,2(1若写成： ，函数 关于直线 对)()xbfaf)(xfy22)()(baxa称（2）函数 关于点 对称)(fy),(abxfaf)()(或 bxf22上 述 关 系 也 可 以 写 成 fa)(简证：设点 在 上，即 ，通过 可知，,1xx1fyxf2，所以 ，所以点bfaf)( 112)()( yxf也在 上，而点 与 关于 对称。得2,1y),),),(ba证。若写成： ，函数 关于点 对称c
3、xff()( )(xfy2,(cba（3）函数 关于点 对称:假设函数关于 对称，即关于任一个 值，都有两个 y)(fybyx值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于 对称。但在曲线 c(x,y)=0，by则有可能会出现关于 对称，比如圆 它会关于 y=0 对称。04),(2xyc4、 周期性：（1）函数 满足如下关系系，则)(xfyTxf)(的 周 期 为A、 B、T )(1)(1xfxffT或C、 或 （等式右边加负号亦成立）)(1)2(xfTxf)(1)2xfTfD、其他情形（2）函数 满足 且 ，则可推出fy(aff )(xbff即可)(22)() abfabxxaxf
4、 以得到 的周期为 2(b-a)，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于 x 轴两条直线对f称，则函数一定是周期函数”（3）如果奇函数满足 则可以推出其周期是 2T，且可以推出对称轴为)()(fTf，根据 可以找出其对称中心为 （以kTx2z)2Tx)0(kT，z上 ）0如果偶函数满足 则亦可以推出周期是 2T，且可以推出对称中心为)()(fTxf，根据 可以推出对称轴为 ),2(kTz)2TxkTx2)(z（以上 ）0（4）如果奇函数 )(xfy满足 )()(ff（ 0） ，则函数 )(fy是以 4T 为周期的周期性函数。如果偶函数 xy满足 )(xf（ ） ，则函数)(xfy是以 2T
5、为周期的周期性函数。定理 3：若函数 在 R 上满足 ，且 （其中xaff)( xbff)(） ，则函数 以 为周期.baxfyba2定理 4：若函数 在 R 上满足 ，且 （其中f xaff)( xbff)(） ，则函数 以 为周期.baxyba2定理 5：若函数 在 R 上满足 ，且 （其中f xaff)( xbff)(） ，则函数 以 为周期.baxyba4二、 两个函数的图象对称性1、 )(f与 )(f关于 X 轴对称。换种说法： 与 若满足 ，即它们关于 对称。xyg)(xgf0y2、 )(f与 )(f关于 Y 轴对称。换种说法： 与 若满足 ，即它们关于 对称。()(f x3、 )
6、(xfy与 )2(xaf关于直线 a对称。换种说法： 与 若满足 ，即它们关于 对称。gy2gxfa4、 与 关于直线 对称。ffy换种说法： 与 若满足 ，即它们关于 对称。)(xfy)(gaxgf2)(ay5、 关于点(a,b)对称。2)(abf与换种说法： 与 若满足 ，即它们关于点(a,b)对称。)(f)( bf)()6、 与 关于直线 对称。(xafyy2bax7、 函数的轴对称：定理 1：如果函数 满足 ，则函数 的图象关于直线 对xfyxbfafxfy2bax称.推论 1：如果函数 满足 ，则函数 的图象关于直线 对称.xfyxaffxfyax推论 2：如果函数 满足 ，则函数
7、的图象关于直线 （y 轴）对称.特fff0别地，推论 2 就是偶函数的定义和性质.它是上述定理 1 的简化.8、 函数的点对称：定理 2：如果函数 满足 ，则函数 的图象关于点 对xfybxaff2xfyba,称.推论 3：如果函数 满足 ，则函数 的图象关于点 对称.xfy0xaff xfy0,a推论 4：如果函数 满足 ，则函数 的图象关于原点 对称.特别地，fff,推论 4 就是奇函数的定义和性质.它是上述定理 2 的简化.三、总规律：定义在上的函数 ，在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中，只要有两条存在，则第三xfy条一定存在。四、试题1已知定义为 R 的函数 满足 ，且函数 在区间
8、上单调递增.如果xf4xff xf,2，且 ，则 的值（A ）.2x42121A恒小于 0 B恒大于 0 C可能为 0 D可正可负.分析： 形似周期函数 ，但事实上不是，不过我们可以取特殊值代入，4xff 4xf通过适当描点作出它的图象来了解其性质.或者，先用 代替 ，使 变形为2x4xff.它的特征就是推论 3.因此图象关于点 对称. 在区间 上单调递增，22xff 0,2xf,2在区间 上也单调递增.我们可以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位.,，且函数在 上单调递增，所以124x,2，又由 ，12ff 4xff有 ，11114)4( ffxff .选 A.21fx11xf011xf
9、当然，如果已经作出大致图象后，用特殊值代人也可猜想出答案为 A.2：在 R 上定义的函数 是偶函数，且 .若 在区间 上是减函数，则 ( B )()fx()fx2)f(fx1,2fxA.在区间 上是增函数，在区间 上是减函数,13,4B.在区间 上是增函数，在区间 上是减函数C.在区间 2,上是减函数，在区间 ,上是增函数D.在区间 1上是减函数，在区间 34上是增函数分析：由 可知 图象关于 对称，即推论()fx()fx11 的应用.又因为 为偶函数图象关于 对称，可得到 为周0()fx期函数且最小正周期为 2，结合 在区间 上是减函数，可得如右()f,2草图.故选 B()fx3.定义在 R
10、 上的函数 既是奇函数，又是周期函数， 是它的一个正周期.若将方程 在闭区间)(xf T0)(xf上的根的个数记为 ，则 可能为（ D ）T,nA.0 B.1 C.3 D.5 分析： ， ， ()0ffT()()(22TTffff ，则 可能为 5，选 D.(2n4已知函数 的图象关于直线 和 都对称，且当 时， .求xfx410xxf的值.519f分析：由推论 1 可知， 的图象关于直线 对称，即 ，xf2xxff2同样， 满足 ，现由上述的定理 3 知 是以 4 为周期的函数.xf4x，同时还知 是偶函数，所以5.345.9.f50.ff f.0.0ff5 ，则 ， ， ，39821583
11、214fxfxfxfx0f1f2f中最多有（ B ）个不同的值.9A.165 B.177 C.183 D.199 分析：由已知 39821583214fxfxfxfx1056f.176074fxff又有 39821583214ffxfxfx1056f，21506f004fffx于是 有周期 352，于是 能在 中找到.)(xf,1,9ff 0,1,35ff又 的图像关于直线 对称，故这些值可以在 中找到.又 的)(f23x23,4,fff )(xf图像关于直线 对称，故这些值可以在 中找到.共有 177 个.选 B. 19x,19f6：已知 ， ， ， ，3f1fxf21fxf1nnfxf则
12、（ A ）.204fA. B. C. D.3 1735分析：由 ，知 ， ， .3xf1xf213xff3fxf为迭代周期函数，故 ， ， .)(xf nff204ff204127ff选 A.7：函数 在 R 上有定义，且满足 是偶函数，且 ， 是奇函数，则)(xf )(xf025f1gxf的值为 .205f解： ， ，令 ，则11gxfgxf1fxfx1yx，即有 ，令 ，则 ，其中 ，2fy20fna20na025a， ，10a5nni55205ii. 或有 ，得2fxf0319ffff.10f8设函数 为奇函数， 则 （ c ）)(Rx),2()2(,1)(fxff 5fA0 B 1 C
13、 D55分析：答案为 B。先令 f（1）= f（-1+2）=f（-1）+f（2）=1/2 ，根据奇函数的定义可求得 f（-1 ）=-1/2，所以，f（2）=1 ，f （5）=f（3）+f （2）=f（1）+f（2）+f（2）=5/2，所以，答案为 c。9 设 f（x）是定义在 R 上以 6 为周期的函数，f（x ）在(0,3)内单调递减，且 y=f（x）的图象关于直线 x=3 对称，则下面正确的结论是 （ B ）(A) ； (B) ；1.5fff3.51.6.5fff(C) ； (D)6531分析：答案为 B。做这种带周期性、单调性的试题，通常的做法是将 f（x）设成正弦或余弦函数，具体到本题
14、，可将f（x）设成正弦函数或余弦函数，令其周期为 6，通过平移使其满足在（0,3）内单调递减，根据图像，即可求出，答案为 B。10设函数 与 的定义域是 ,函数 是一个偶函数， 是一个奇函数，且()fgxxR1()fx()gx，则 等于（C）1()fx()fA. B. C. D.22x12x12x分析：答案为 C. 本题是考察函数奇偶性的判定，并不难，根据奇偶性的定义，即可得出答案为 C 11：已知函数 f(x)在(1，1)上有定义，f( )=1,当且仅当 00,1x 1x20， 0,12又(x 2x 1)(1 x 2x1)=(x21)( x1+1)0，x 2x 11x 2x1,0 1,由题意
15、知 f( )0，2121x即 f(x 2)f(x1). f(x)在(0 ，1)上为减函数，又 f(x)为奇函数且 f(0)=0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j f(x)在(1，1)上为减函数.12. 已知函数 yf (x)是定义在 上的周期函数，周期 T=5，函数 是奇函数 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j又知 yf (x)在0,1R)上是一次函数，在1,4上是二次函数，且在 x=2 时函数取得最小值 . 5证明： ；求 的解析式；求 在4,9上的解析式.(1)40f(),1,4yfx()yf解：f (x) 是以 为周期的周期函数， ，5()(ff又 是奇函数
16、， ， 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j()yfx)(40f当 时，由题意可设 ，1,42(5 (0fax由 得 ， ，()0f2)4)2a 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j2)5(x 是奇函数， ，(1yf(0)f又知 y f (x)在0,1上是一次函数， 可设 ，而 ，1)kx2(1)53f ，当 时，f ( x)=-3x，3k0从而当 时， ，故 时，f ( x)= -3x，.)3当 时，有 ，0. 46x15当 时， ，9422(5)()5(7)5fx 23,6()7)59fx13设 （ ）是定义在 R 上的偶函数，其图象关于直线 对称 对任意 ， ，都
17、有21 （ ） （ ） （ ） ，且 f(1)= ()求 ；)41(,2f()证明 （ ）是周期函数；（）记 （ ） ，求 nanna()解：因为对 ， ， ，都有 （ ） （ ） （ x ）,21所以2)41()41()212,0)()2() ffff xfxxff （） 0， 4121)(,)(aff()证明：依题设 （ ）关于直线 对称，故 （ ） （ ） ，即 （ ） （ ） ， R又由 （ ）是偶函数知 （ ） （ ） ， R， （ ） （ ） ， R，将上式中 以 代换，得 （ ） （ ） ， 这表明 （ ）是 R 上的周期函数，且 2 是它的一个周期. （）解：由()知 （ ），
18、 ， 1)()21() nfnff nffnff )21()()21( 21)(af nf21)( （ ）的一个周期是 2 （ ）= （ ）,因此 an=n121函数对称性与周期性几个重要结论赏析湖南 周友良 黄爱民【大 中 小】【关闭】对称性和周期性是函数的两个重要性质，下面总结这两个性质的几个重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。一、几个重要的结论（一）函数图象本身的对称性（自身对称）1、函数 满足 （T 为常数）的充要条件是 的图象关于直线 对称。2、函数 满足 （T 为常数）的充要条件是 的图象关于直线 对称。3、函数 满足 的充要条件是 图象关于直线对称。4、如果函数 满足 且
19、 ，（ 和 是不相等的常数），则 是以为 为周期的周期函数。5、如果奇函数 满足 （ ），则函数 是以 4T 为周期的周期性函数。6、如果偶函数 满足 （ ），则函数 是以 2T 为周期的周期性函数。（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、曲线 与 关于 X 轴对称。2、曲线 与 关于 Y 轴对称。3、曲线 与 关于直线 对称。4、曲线 关于直线 对称曲线为 。5、曲线 关于直线 对称曲线为 。6、曲线 关于直线 对称曲线为 。7、曲线 关于点 对称曲线为 。二、试试看，练练笔1、定义在实数集上的奇函数 恒满足 ，且 时,则 _。2、已知函数 满足 ，
20、则 图象关于_对称。3、函数 与函数 的图象关于关于_对称。4、设函数 的定义域为 R，且满足 ，则 的图象关于_对称。5、设函数 的定义域为 R，且满足 ，则 的图象关于_对称。 图象关于_对称。6、设 的定义域为 R，且对任意 ，有 ，则 图象关于_对称， 关于_对称。7、已知函数 对一切实数 x 满足 ，且方程 有 5 个实根，则这 5 个实根之和为（ ）A、5 B、10 C、15 D、188、设函数 的定义域为 R，则下列命题中，若 是偶函数，则图象关于 y 轴对称；若 是偶函数，则 图象关于直线对称；若 ，则函数 图象关于直线 对称； 与 图象关于直线 对称，其中正确命题序号为_。9、函数 定义域为 R，且恒满足 和 ，当时， ，求 解析式。
