1、2017 年高考复习数学神马修罗 ZJY 1函数 对称性与周期性关系【知识梳理】一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、 周期性：对于函数 ，如果存在一个不为零的常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有)(xfy都成立，那么就把函数 叫做周期函数，不为零的常数 T 叫做这个函数的周期。)(fTxf)(xfy如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。2、 对称性定义（略），请用图形来理解。3、 对称性：我们知道：偶函数关于 y（即 x=0）轴对称，偶函数有关系式 )(xff奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式 0)x上述关系式是否可以进行拓
2、展？答案是肯定的探讨：（1）函数 关于 对称)(xfya)()(xaff也可以写成 或 )(af2)x )2(xaf简证：设点 在 上，通过 可知， ，即),(1yx(f )()xff )2(11xafy点 上，而点 与点 关于 x=a 对称。得证。)2也 在 ,(1y,1a若写成： ，函数 关于直线 对称()(xbfaf)xf22)()(bx（2）函数 关于点 对称fy),abxaff)(或 bxf2)2(上 述 关 系 也 可 以 写 成 f)(简证：设点 在 上，即 ，通过 可知，),(1yx)(1fy bxf22，所以 ，所以点 也bfaf2 11)( ybxaf ),(1ya在 上，
3、而点 与 关于 对称。得证。2,(1x,1,(a2017 年高考复习数学神马修罗 ZJY 2若写成： ，函数 关于点 对称cxbfaf)()( )(xfy)2,(cba（3）函数 关于点 对称:假设函数关于 对称，即关于任一个 值，都有两个 yfyyx值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于 对称。但在曲线 c(x,y)by=0，则有可能会出现关于 对称，比如圆 它会关于 y=0 对称。b04),(2xyc4、 周期性：（1）函数 满足如下关系系，则)(xfyTxf2)(的 周 期 为A、 B、fTf )(1)()(1xfxffTf 或C、 或 （等式右边加负号亦成立）)(1)
4、2(xfxf)(12xffD、其他情形（2）函数 满足 且 ，则可推出)(xfy)()(xaff)()(xbff即可以得到)(222)( aabbaf 的周期为 2(b-a)，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于 x 轴两条直线对称，则函数一定是周期函数”（3）如果奇函数满足 则可以推出其周期是 2T，且可以推出对称轴为)()(xfTxf，根据 可以找出其对称中心为 （以上kTx2z2T)0(kT，z）。如果偶函数满足 则亦可以推出周期是 2T，且可以推出对称中心为0)()(ff，根据 可以推出对称轴为 （以上),(zxx2)(z）T（4）如果奇函数 )(xfy满足 )()(Tff（ 0）
5、，则函数 )(xfy是以 4T 为周期的周期性函数。如果偶函数 满足 )(xf（ T），则函数 )(f是以 2T 为周期的周期性函数。二、 两个函数的图象对称性2017 年高考复习数学神马修罗 ZJY 31、 )(xfy与 )(xfy关于 X 轴对称。换种说法： 与 若满足 ，即它们关于 对称。)(g)(xgf0y2、 )(xfy与 )(xfy关于 Y 轴对称。换种说法： 与 若满足 ，即它们关于 对称。)(g)(xgf 0x3、 )(xfy与 2(xafy关于直线 a对称。换种说法： 与 若满足 ，即它们关于 对称。)()2()xxfax4、 与 关于直线 对称。)(xfyxfy换种说法：
6、与 若满足 ，即它们关于 对称。)()(gyaxgf)(y5、 关于点(a,b)对称。2)(xafbxfy与换种说法： 与 若满足 ，即它们关于点(a,b)对称。)(gy bxagf2)()6、 与 关于直线 对称。)(xafyb【典型例题】1. 定义在 R 上的函数 ，若总有 成立，则函数 的图象是关于直线成轴对称图形。反之，若函数 的图象关于直线 成轴对称图形，则必有推论，对于定义在 R 上的函数，若有 ，则 图象关于直线 成轴对称图形，反之亦真。2017 年高考复习数学神马修罗 ZJY 4证明：若对 ，总有 ，设点 ，在 的图象上，点关于 的对称点 ，由，则点 在函数 的图象上，由 的任
7、意性知的图象关于直线 对称，反之证明略。推论，由 显然例 1 已知 ，满足 且 ，当 时，比较 与的大小。解：由 知 关于 对称，故 ，又由 知 ，则在 递减，在 上递增。当 时， 即当 时， ，即例 2 函数 的图象关于直线 对称，且 时 ，则当 时，的解析式为 。解：依条件 ，设 ，则 ，2017 年高考复习数学神马修罗 ZJY 5故例 3 若 的图象关于直线 对称，则 。A. B. C. D. 解：由得即 2017 年高考复习数学神马修罗 ZJY 6例 4 设 对任意 ，满足 且方程 恰有 6 个不同的实根，则此六个实根之和为 。A. 18 B. 12 C. 9 D. 0解：依条件知 图
8、象关于直线 对称，方程六个根必分布在对称轴 两侧，且两两对应以（3 ，0 ）点为对称中心，故 ，所以，选 A。例 5 设 满足（1） ，（2 ）当 时， 是增函数，定义域 ，则下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D. 解：由条件知 图象关于直线 成轴对称，2017 年高考复习数学神马修罗 ZJY 7又 及 时 递增 ，故选 C2. 对称性与周期性的关系（1）若函数 在 R 上的图象关于两条直线 与 对称，则 为 R 上的周期函数。（2）若函数 在 R 上的图象关于直线 与点 对称，则 为 R 上的周期函数。证：（1）因 图象关于 及 对称，则 ， ，故得证（2）由 图象关于 对称，有 又
9、由 图象关于点 对称，有 ， ， ，即以 代 有 由和 以 代 有又由式 得证特别地，图象关于直线 对称的偶函数必是周期函数2017 年高考复习数学神马修罗 ZJY 8推论，定义在 R 上的函数 满足（1）当 为偶函数时， 是以 为一个周期的周期函数。（2）当 为奇函数时， 是以 为一个周期的周期函数。证：（1）（2）例 1 已知定义在实数集 R 上的函数 满足：（1 ） ；（2） ；（3 ）当 时， ，求 时， 的解析式。解：由（1）（2 ）知 ，对任则 ， ，例 2 已知定义在实数集 R 上的函数 满足：（1 ） ；（2） ；（3）当 时解析式 ，求 上的解析式。解：设2017 年高考复习
10、数学神马修罗 ZJY 9当 时， ，则当 时， ，则又 为偶函数，知从而另法：当 时， ，当 时， ，例 3 函数 定义在 R 上，且对一切 满足 ， ，设，问方程 在区间 中至少有几个实根。解：依条件 为函数 的周期， ， 均为 的根，因此在区间上至少有二个根 由周期性可知 也为 的根所以方程 在区间 中至少有2017 年高考复习数学神马修罗 ZJY 10例 4 若偶函数 ， 满足（1）图象关于直线 对称 ，（2 ）在区间 上是减函数，求证 以 为最小正周期。证：依条件知 为函数 的周期，假设函数 还存在比 更小的周期 2 ，且令 ，则（1）若 ，则 与 在 上是减函数矛盾（2）若 ，即 时， 与 在 上是减函数矛盾，所以 是 的最小正周期。例 5 已知 是定义在实数集 R 上的偶函数， 是 R 上的奇函数，又知（1） （ 是常数）；（2） 试求 的值。分析：条件（2）即 ，即 关于点 对称又由 是偶函数，故 是以 为周期的周期函数解：由条件（2）知 ，令 ，则，故 ，即 为以 4 为周期的周期函数，又由 ，所以
