“多次相遇问题”解题技巧.doc

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1、 “多次相遇问题”解题技巧“多次相遇”问题有直线型和环型两种模型。相对来讲,直线型更加复杂。环型只是单纯的周期问题。一、直线型直线型多次相遇问题宏观上分“两岸型”和“单岸型”两种。“两岸型”是指甲、乙两人从路的两端同时出发相向而行;“单岸型”是指甲、乙两人从路的一端同时出发同向而行。(一)两岸型两岸型甲、乙两人相遇分两种情况,可以是迎面碰头相遇,也可以是背面追及相遇。题意如果没有明确说明是哪种相遇,对两种情况均应做出思考。1、迎面碰头相遇:如下图,甲、乙两人从 A、B 两地同时相向而行,第一次迎面相遇在 a 处,(为清楚表示两人走的路程,将两人的路线分开画出)则共走了 1 个全程,到达对岸 b

2、 后两人转向第二次迎面相遇在 c 处,共走了 3 个全程,则从第一次相遇到第二次相遇走过的路程是第一次相遇的 2 倍。之后的每次相遇都多走了 2 个全程。所以第三次相遇共走了 5 个全程,依次类推得出:第 n 次相遇两人走的路程和为(2n-1)S,S 为全程。而第二次相遇多走的路程是第一次相遇的 2 倍,分开看每个人都是 2 倍关系,经常可以用这个 2 倍关系解题。即对于甲和乙而言从 a 到 c 走过的路程是从起点到 a 的 2 倍。相遇次数 全程个数 再走全程数1 1 12 3 23 5 24 7 2 n 2n-1 22、背面追及相遇与迎面相遇类似,背面相遇同样是甲、乙两人从 A、B 两地同

3、时出发,如下图,此时可假设全程为 4 份,甲 1 分钟走 1 份,乙 1 分钟走 5 份。则第一次背面追及相遇在 a 处,再经过 1 分钟,两人在 b 处迎面相遇,到第 3 分钟,甲走 3 份,乙走 15 份,两人在 c 处相遇。我们可以观察,第一次背面相遇时,两人的路程差是 1 个全程,第二次背面相遇时,两人的路程差为 3 个全程。同样第二次相遇多走的路程是第一次相遇的 2 倍,单看每个人多走的路程也是第一次的 2 倍。依次类推,得:第 n 次背面追及相遇两人的路程差为(2n-1)S。(二)单岸型单岸型是两人同时从一端出发,与两岸型相似,单岸型也有迎面碰头相遇和背面追及相遇两种情况。 1、迎

4、面碰头相遇:如下图,假设甲、乙两人同时从 A 端出发,假设全程为 3 份,甲每分钟走 2 份,乙每分钟走 4 份,则甲乙第一次迎面相遇在 a 处,此时甲走了 2 份,乙走了 4 份,再过 1 分钟,甲共走了 4 份,乙共走了 8 份,在 b 处迎面相遇,则第二次相遇多走的跟第一次相遇相同,依次类推,可得出:当第 n 次碰头相遇时,两人的路程和为 2ns。2、背面追及相遇与迎面相遇相似,假设全程为 3 份,甲每分钟走 1 份,乙每分钟走 7 份,则第一次背面相遇在 a 处,2 分钟后甲走了 2 份,乙走了 14 份,两人在 b 处相遇。第一次相遇,两人走的路程差为 2S,第二次相遇两人走的路程差

5、为 4S,依次类推,可以得出:当第 n 次追及相遇时,两人的路程差为 2ns。“直线型”总结(熟记)两岸型:第 n 次迎面碰头相遇,两人的路程和是(2n-1)S。第 n 次背面追及相遇,两人的路程差是(2n-1)S。单岸型:第 n 次迎面碰头相遇,两人的路程和为 2ns。第 n 次背面追及相遇,两人的路程差为 2ns。下面列出几种今后可能会考到的直线型多次相遇问题常见的模型:模型一:根据 2 倍关系求 AB 两地的距离。【例 1】甲、乙两人在 A、B 两地间往返散步,甲从 A,乙从 B 同时出发,第一次相遇点距B60 米,当乙从 A 处返回时走了 10 米第二次与甲相遇。A、B 相距多少米?A

6、、150 B、170 C、180 D、200【答案及解析】B。如下图,第一次相遇在 a 处,第二次相遇在 b 处,aB 的距离为 60,Ab的距离为 10。以乙为研究对象,根据 2 倍关系,乙从 a 到 A,再到 b 共走了第一次相遇的2 倍,即为 602=120 米,Ab 为 10,则 Aa 的距离为 120-10=110 米,则 AB 距离为110+60=170 米。模型二:告诉两人的速度和给定时间,求相遇次数。【例 2】甲、乙两人在长 30 米的泳池内游泳,甲每分钟游 37.5 米,乙每分钟游 52.5 米。两人同时分别从泳池的两端出发,触壁后原路返回,如是往返。如果不计转向的时间,则从

7、出发开始计算的 1 分 50 秒内两人共相遇多少次?A、2 B、3 C、4 D、5【答案及解析】B。题目没说是迎面还是背面,所以两种相遇的次数都应该计算。分开讨论,如是是迎面相遇,则走的全程的个数为 个,根据迎面相遇 n 次,走的全程为 2n-1=5,求得 n=3;如果是背面相遇,则走的全程数为,故在 1 分 50 秒内,不能背面相遇。所以共相遇 3 次。模型三:告诉两人的速度和任意两次迎面相遇的距离,求 AB 两地的距离。【例 3】甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发,在 A、B 间不断往返行驶。甲车每小时行20 千米,乙车每小时行 50 千米,已知两车第 10 次与第 18 次迎面相遇的

8、地点相距 60 千米,则 A、B 相距多少千米?A、95 B、100 C、105 D、110【答案及解析】C。走相同时间内,甲乙走的路程比为 20:50=2:5。将全程看成 7 份,则第一次相遇走 1 个全程时,甲走 2 份,乙走 5 份。以甲为研究对象(也可以以乙),第 10次迎面相遇走的全程数为 210-1=19 个,甲走 1 个全程走 2 份,则走 19 个全程可走192=38 份。7 份是一个全程,则 38 份共有 387=53 份(当商是偶数时从甲的一端数,0 也是偶数;当商是奇数时从乙的一端数,比如第 1 个全程在乙的一端,第 2 个全程在甲的一端)从乙端数 3 份。同理当第 18

9、 次相遇,甲走的份数为(218-1)2=70 份。共有707=10 个全程,10 为偶数在甲的端点。如下图:则第 10 次相遇与第 18 次相遇共有 4 份为 60 千米,所以 AB 长为 千米。 点评:对于给定任意两次的距离,主要是根据速度转化为全程的份数,找一个为研究对象,看在相遇次数内走的全程数,从而转化为份数,然后根据一个全程的份数,将研究对象走的总份数去掉全程的个数看剩余的份数,注意由全程的个数决定剩余的份数从哪一端数。【例 4】甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发,在 A、B 间不断往返行驶。甲车每小时行45 千米,乙车每小时行 36 千米,已知两车第 2 次与第 3 次迎面相遇

10、的地点相距 40 千米,则 A、B 相距多少千米?A、90 B、180 C、270 D、110【答案及解析】A。法一:同上题。相同时间,甲、乙路程比为 45:36=5:4,则将全程分成 9 份。则一个全程时甲走 5 份,乙走 4 份。以甲为研究对象,第 2 次相遇,走的全程数为 22-1=3 个,则甲走的份数为 35=15 份,一个全程为 9 份,则第 2 次相遇甲走的份数转化为全程的个数为 159=16 份,则从乙端数 6 份。第 3 次相遇走的份数为(23-1)5=25 份,转化为全程的个数为 259=27,则从甲端数 7 份。如下图:由图第 2 次和第 3 次相遇之间共有 4 份为 40

11、 千米,则 AB 相距 =90 千米。法二:在此引入“沙漏模型”。利用沙漏模型解题的前提是题干中已知两人的速度。将速度转化为相同路程的条件下两人的时间比,则以时间为刻度,画出两人到达对岸的路线图,两人走的路线图相交的点即为两人相遇的地点。s-t 图中的路线因像古代记时间的沙漏故称为“沙漏模型”。本题中,甲、乙走到端点用的时间比为 36:45=4:5。如下图:根据路线图看出甲乙第 2 次相遇和第 3 次相遇的交点 E 和 O,根据三角形相似,可得CE:EG=3:6=1:2,则求得第 2 次相遇距 A 地的比例为 S/3,同理 DO:ON=7:2,则第 3 次相遇距 A 地的比例为 7S/9,则两

12、次相遇比例为 为 40 千米,则 S=90 千米。 点评:考生如果能掌握“沙漏”模型,则会直观快速的提高解题速度。用交点判断是迎面相遇还是背面相遇的技巧:看相交的两条线是由同一岸引出还是两岸,同一岸则说明是背面相遇,不同岸则说明是迎面相遇。用时注意:一般题干涉及到的相遇次数较少时可画,相遇次数太多,则会花费大量时间,不利于提高速度;画时的单位刻度要看时间比,如果时间比中的数据较大可把刻度画大。模型四:告诉两人的速度,相遇次数较少时,利用 s-t 图形成“沙漏”模型速解。【例 5】A、B 两地相距 950 米。甲、乙两人同时由 A 地出发往返锻炼半小时。甲步行,每分钟走 40 米;乙跑步,每分钟

13、行 150 米。则甲、乙二人第几次迎面相遇时距 B 地最近。A、1 B、2 C、3 D、4【答案及解析】B。利用“沙漏模型”。甲乙走到端点用的时间比为 150:40=15:4,半小时两人共走的全程数为 个。对于单岸型,相遇 6 个全程,则是迎面第三次相遇(由前边公式推出)画出 s-t 图:观察上图可知,可第 3 次迎面相遇的过程中,甲乙有一次背面相遇(交点由同一点引出)。而在三次迎面相遇中第 2 次相遇离 B 地最近,并且可根据三角形相似求出离 B 地的距离。【例 6】河道赛道长 120 米,水流速度为 2 米/秒,甲船静水速度为 6 米/秒,乙船静水速度 为 4 米/秒。比赛进行两次往返,甲

14、、乙同时从起点出发,先顺水航行,问多少秒后甲、乙船第二次迎面相遇?A、48 B、50 C、52 D、54【答案及解析】C。由题知,得出如下关系:顺流 逆流甲 8(15) 4(30)乙 6(20) 2(60)注:( )中为走完全程的时间。假设 A 到 B 是顺流,由上表可知甲、乙两人第 2 次迎面相遇共有 4 个全程。由于甲的速度快,则第 2 次相遇前甲已走了 2 个全程。共 15+30=45 秒。当第 45 秒时乙走了一个顺流全程 20 秒和 25 秒的逆流,走的路程为 252=50 米,则在剩余的 70 米内,甲乙分别以顺流和逆流相遇时间为 t,则有 70=(8+2)t,求得 t=7 秒,则

15、共用时间 45+7=52 秒。本题同样可用“沙漏模型”解决。根据上表中的速度关系,可得出一个全程时的时间关系如下:顺流 逆流甲 3 6乙 4 12根据时间的关系,得出 s-t 图像,如下:观察上图,可看出第二次迎面相遇在 P 点,以甲为研究对象计算时间,此时甲走了一个顺流,一个逆流,另外 EP 段为顺流,根据三角形相似可求出走 EP 用的时间EP:PN=EF:MN=7:8,由上表,求出走 EP 用的时间为 ,则甲共走的时间为15+30+7=52。二、环型环型主要分两种情况,一种是甲、乙两人同地同时反向迎面相遇(不可能背面相遇),一种是甲、乙两人同地同时同向背面追及相遇(不可能迎面相遇)。分开讨论如下:(一)甲、乙两人从 A 地同时反向出发:如下图,一个周长分成 4 份,假设甲是顺时针每分钟走 1 份到 B,乙是逆时针每分钟走 3 份到 B,则第一次相遇两人走了 1 个周长,则再过 1 分仲,甲再走 1 份到 C,同样乙走3 份也到 C,则第二次相遇共走了 2 个周长,依次类推,可得出:第 n 次迎面相遇共走了 n圈。

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