1、6-1-2.还原问题（一）.题库 教师版 page 1 of 156-1-2.还原问题（一）教学目标本讲主要学习还原问题通过本节课的学习，可以使学生掌握倒推法的解题思路以及方法，并会运用倒推法解决问题1. 掌握用倒推法解单个变量的还原问题2. 了解用倒推法解多个变量的还原问题3. 培养学生“倒推” 的思想知识点拨一、还原问题已知一个数，经过某些运算之后，得到了一个新数，求原来的数是多少的应用问题，它的解法常常是以新数为基础，按运算顺序倒推回去，解出原数，这种方法叫做逆推法或还原法，这种问题就是还原问题还原问题又叫做逆推运算问题解这类问题利用加减互为逆运算和乘除互为逆运算的道理，根据题意的叙述顺
2、序由后向前逆推计算在计算过程中采用相反的运算，逐步逆推二、解还原问题的方法在解题过程中注意两个相反：一是运算次序与原来相反；二是运算方法与原来相反方法：倒推法。口诀：加减互逆，乘除互逆，要求原数，逆推新数关键：从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘列式时还要注意运算顺序，正确使用括号.例题精讲模块一、计算中的还原问题【例 1】 一个数的四分之一减去 5，结果等于 5，则这个数等于_。【考点】计算中的还原问题 【难度】1 星 【题型】填空6-1-2.还原问题（一）.题库 教师版 page 2 of 15【关键词】希望杯，五年
3、级，二试，第 3 题【解析】 方法一：倒推计算知道，一个数的四分之一是 ，所以这个数是 。10104=方法二：令这个数为 ,则 ，所以 。x1544x【答案】 40【例 2】 某数先加上 3，再乘以 3，然后除以 2，最后减去 2，结果是 10，问：原数是多少？【考点】计算中的还原问题 【难度】1 星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】 分析时可以从最后的结果是 10 逐步倒着推。这个数没减去 2 时应该是多少？没除以 2 时应该是多少？没乘以 3 时应该是多少？没加上 3 时应该是多少？这样依次逆推，就可以推出某数。如果没减去 2，此数是： 102，如果没除以 2，此数是： 14，如
4、果没乘以 3，此数是：48，如果没加上 3，此数是： 85，综合算式 05，原数是 5.【答案】 5【巩固】 (2008 年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛)有一个数，如果用它加上 ，然后乘以 ，再减去 ，66最后除以 ，所得的商还是 ，那么这个数是 。66【考点】计算中的还原问题 【难度】1 星 【题型】填空【关键词】可逆思想方法【解析】 将最终结果进行逆推，得： 61（ ） 【答案】 1【巩固】 一个数减 16 加上 24，再除以 7 得 36，求这个数你知道这个数是几吗?【考点】计算中的还原问题 【难度】1 星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】 .36724【答案】【巩固】 少
5、先队员采集树种子，采得的个数是一个有趣的数把这个数除以 5，再减去 25，还剩 25，你算一算，共采集了多少个树种子?【考点】计算中的还原问题 【难度】1 星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】 (个) ，即共采集了 250 个树种子.25250（ ） 【答案】 0【例 3】 学学做了这样一道题：某数加上 10，乘以 10，减去 10，除以 10，其结果等于 10，求这个数小朋友，你知道答案吗？【考点】计算中的还原问题 【难度】1 星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】 根据题意，一个数，经过加法、乘法、减法、除法的变化，得到结果 10，应用逆推法，由结果10，根据加、减法与乘
6、、除法的互逆运算，倒着往前计算， ， ， 综合算式为：101010106-1-2.还原问题（一）.题库 教师版 page 3 of 15所以这个数为 1.1010101010（ ） （ ）解这种还原问题的关键是从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘列式时还要注意运算顺序，正确使用括号，这种逆向思维的方法是数学中常用的思维方法【答案】 1【巩固】 学学做了这样一道题：一个数加上 3，减去 5，乘以 4，除以 6 得 16，求这个数小朋友，你知道答案吗？【考点】计算中的还原问题 【难度】1 星 【题型】解答【关键词】可逆思想方
7、法【解析】 根据题意，一个数，经过加法、减法、乘法、除法的变化，得到结果 16，应用逆推法，由结果10，根据加、减法与乘、除法的互逆运算，倒着往前计算16 64-5+3 综合算式为： 164964325932【答案】 26【巩固】 一次数学竞赛颁奖会上，小刚问老师：“我得了多少分？”老师说：“你的得分减去 后，缩小 倍，62再加上 后，扩大 倍，恰好是 分”小刚这次竞赛得了多少分？10210【考点】计算中的还原问题 【难度】1 星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】 从最后一个条件“ 恰好是 分” 向前推算扩大 倍是 分，没有扩大 倍之前应是 21021025(分 )，加上 后是 分，
8、没有加上 前应是 (分) ，缩小 倍是 分，那么没有缩小0510544倍前应是 (分) ，减去 后是 分，没有减去 前应是 (分)综合列式为：242868686(分) ，所以，小刚这次竞赛得了 分1)6【答案】 86【例 4】 牛老师带着 37 名同学到野外春游休息时，小强问：“牛老师您今年多少岁啦? ”牛老师有趣地回答：“我的年龄乘以 2，减去 16 后，再除以 2，加上 8，结果恰好是我们今天参加活动的总人数 ”小朋友们，你知道牛老师今年多少岁吗?【考点】计算中的还原问题 【难度】2 星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】 采用倒推法，我们可以从最后的结果“参加活动的总人数 ”即
9、38 倒着往前推这个数没加上 8 时应是多少？没除以 2 时应是多少？ 没减去 16 时应是多少？没乘以 2 时应是多少？这样依次逆推，就可以求出牛老师今年的岁数没加上 8 时应是： ；没除以 2 时应是：380；没减去 16 时应是： ；没乘以 2 时应是： ，即306601776(岁).81 38（ ） 【答案】 岁【巩固】 小智问小康：“你今年几岁？”小康回答说：“用我的年龄数减去 8，乘以 7，加上 6，除以 5，正好等于 4. 请你算一算，我今年几岁？” 【考点】计算中的还原问题 【难度】2 星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法6-1-2.还原问题（一）.题库 教师版 page 4
10、 of 15【解析】 分析时可以从最后的结果是 4 逐步倒着推。这个数没除以 5 时应该是多少？没没加上 6 时应该是多少？没乘以 7 时应该是多少？没减去 8 时应该是多少？这样依次逆推，就可以推出某数。如果没除以 5，此数是： 520 如果没加上 6，此数是： 61如果没乘以 7，此数是： 47如果没减去 8，此数是： 8综合算式： 50（岁）答：小康今年 10 岁。【答案】 岁10【巩固】 在小新爷爷今年的年龄数减去 15 后,除以 4,再减去 6 之后,乘以 10,恰好是 100,问: 小新爷爷今年多少岁数?【考点】计算中的还原问题 【难度】2 星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【
11、解析】 采用倒推法， （岁）.(106)41579【答案】 岁79【巩固】 学学和思思在游玩时，遇到一位小神仙，他们问这位神仙：“你一定不到 100 岁吧！”谁知这位神仙摇摇头说：“你们算算吧！把我的年龄加上 75，再除以 5，然后减去 15，再乘以 10，恰好是2000 岁 ”小朋友，你知道这位神仙现在有多少岁吗？【考点】计算中的还原问题 【难度】2 星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】 这就是一个还原问题，可以用倒推法解决从结果“2000” 逐步倒着推，没乘 10 时是多少？没减去15 时是多少？没除以 时是多少？没加 75 时是多少？这样依次倒推，就可以知道神仙的年龄了51 “
12、乘以 10，恰好是 2000”，不乘 10 时，应该是： 2012 “减去 15”是 200，不减 15 时，应该是： 53 “除以 5”是 215，不除以 5，应该是： 174 现在的年龄加上 75 是 1075，如果不加 75，这个数是： 750也就是神仙现在的年龄是 1000 岁验算：按原题顺序进行列式计算，看最后是否等于 2000，如果等于 2000，则解题正确， ， ， 107510752152012【答案】 岁2【例 5】 在电脑里先输入一个数，它会按给定的指令进行如下运算：如果输入的数是偶数，就把它除以 2；如果输入的数是奇数，就把它加上 3同样的运算这样进行了 3 次，得出结果
13、为27原来输入的数可能是 【考点】计算中的还原问题 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】可逆思想方法，第七届，小数报【解析】 本题用倒推法解最后结果是 27，上一步的结果是 54，再上一步的结果是 108 或 51，原来输入的数是 216，105，102思路如下：6-1-2.还原问题（一）.题库 教师版 page 5 of 1521608547(2)不 合 意不 合 意A【答案】 或 或 ，答案不唯一1605【例 6】 假设有一种计算器，它由 A、B 、C、D 四种装置组成，将一个数输入一种装置后会自动输出另一个数。各装置的运算程序如下： 装置 A：将输入的数加上 6 之后输出；装置 B：将
14、输入的数除以 2 之后输出；装置 C：将输入的数减去 5 之后输出；装置 D：将输入的数乘以 3 之后输出。这些装置可以连接，如在装置 A 后连接装置 B，就记作： AB。例如：输人 1 后，经过 AB，输出 35。(1) 若经过 ABC D，输出 120，则输入的数是多少?(2)若经过BD AC，输出 13，则输入的数是多少 ?【考点】计算中的还原问题 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，二试，第 16 题，可逆思想方法【解析】 方法一：逆向考虑。 （1）输入到 D 的数为 1203=40，输入到 C 的数为 40+5=45，输入到 B 的数为452=90，所以输入到 A
15、的数是 90-6=84。 （2）输入到 C 的数是 13+5=18，输入到 A 的数是 18-6=12，输入到 D 的数是 123=4，所以输入到 B 的数是 42=8。方法二：(1)设输入的数是 x，则( 解得，x=84。(2) 设输入的数是 y，则653=10，解得 y=8365=12y【答案】（1） ；（2）84【例 7】 哪吒是个小马虎，他在做一道减法题时，把被减数十位上的 6 错写成 9，减数个位上的 9 错写成6，最后所得的差是 577，那么这道题的正确答案应该是多少呢？【考点】计算中的还原问题 【难度】2 星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】 被减数十位上的 6 变成
16、9，使被减数增加 ，差也增加了 30；减数个位上的 9 错写成 6，9063使减数减少了 ，这样又使差增加了 3，这道题可以说成：正确的差加上 30 后又加上 3 得3577，求正确的差所以列式得： 这题的正确答案应该是 5445754（ ） （ ）【答案】 54【巩固】 小马虎在做一道加法题时，把一个加数个位上的 看作 ，十位上的 看作 ，结果和是 ，那9669174么正确的结果应该是多少呢？【考点】计算中的还原问题 【难度】2 星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】 我们可以这样理解这道题的意思：一个数(正确答案)，由于小马虎两次错误的计算，变成了另一个数( 错误结果)，我们知道引
17、起这种变化的原因是：把个位上的 看作 ，这就相当于把正确答案减少了96963把十位上的 看作 ，这就相当于把正确答案增加了： 100（ ）这样原题就变成了“一个数减去 ，再加上 ，所得结果是 ，求这个数 ”我们只要把少加的加上，3074多加的减去，就可以求出正确的结果： 174147（ ） （ ）【答案】 1476-1-2.还原问题（一）.题库 教师版 page 6 of 15【巩固】 淘气在做一道减法时，把减数个位上的 9 看成了 3，把十位上的 4 看成了 7，得到的结果是 164，请你帮淘气算算正确的答案应该是多少呢?【考点】计算中的还原问题 【难度】2 星 【题型】解答【关键词】可逆思
18、想方法【解析】 或 .164(739) 18643018【答案】 8【巩固】 小新在做一道加法题，由于粗心，将个位上的 5 看作 9，把十位上的 8 看作 3，结果所得的和是123正确的答案是多少？【考点】计算中的还原问题 【难度】2 星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】 倒推法，把个位上的 5 看作 9，相当于把正确的和多算了 4，求正确的和，应把 4 减去；把十位上的 8 看作 3，相当于把正确的和少算了 50，求正确的和，应把 50 加上去所以正确的和是：.即： .1250 41623(80)(5169【答案】 69模块二、单个变量的还原问题【例 8】 一只猴吃 63 只桃，第
19、一天吃了一半加半只，以后每天吃前一天剩下的一半再加半只，则 _ 天后桃子被吃完。【考点】单个变量的还原问题 【难度】2 星 【题型】填空【关键词】希望杯，4 年级，1 试【解析】 通过画表格的方式,可知答案是 6.【答案】 天6【例 9】 乒乓球从高空落下，到达地面后弹起的高度是落下高度的一半，如果乒乓球从 8 米的高度落下，那么弹起后再落下，则弹起第_次时它的弹起高度不足 1 米。【考点】单个变量的还原问题 【难度】2 星 【题型】填空【关键词】走美杯，三年级，初赛，可逆思想方法【解析】 弹起第一次时变为 4 米，弹起第二次时变为 2 米，弹起第三次时变化为 1 米，第 4 次弹起时不足 1
20、米，所以弹起第 4 次时不足 1 米。【答案】 次4【例 10】 李奶奶卖一筐鸡蛋，第一位客人买走了一半少 2 个，第二位客人又买走了剩下的一半多 2 个，第三位客人把剩下的 5 个鸡蛋全部买走了老婆婆的篮子里原来有 个鸡蛋【考点】单个变量的还原问题 【难度】2 星 【题型】填空【关键词】学而思杯，1 年级，第 12 题，可逆思想方法【解析】 用倒堆的方法，第二位客人没有买走之前共有 （个） ，第一位客人没买走之前就是714（个） ， （个） 42114数学方法倒退法【答案】 个【巩固】 小红看一本故事书，第一天看了这本书的一半又 10 页，第二天看了余下的一半又 10 页，第三天6-1-2.
21、还原问题（一）.题库 教师版 page 7 of 15看了 10 页正好看完。这本故事书共有 页。【考点】单个变量的还原问题 【难度】2 星 【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，一试，第 13 题，可逆思想方法【解析】 第三天看的 10 页等于第一天看了余下的一半少 10 页，所以第一天看了余下了（10+10）2=40 页，所以原来有（40+10）2=100 页.【答案】 页10【例 11】 学学看到太上老君正在用一根绳子拴宝葫芦，第一次用去全长的一半还多 2 米，第二次用去余下的一半少 10 米，第三次用去 15 米，最后还剩 9 米，那么这根绳子原来有多少米呢？【考点】单个变量的还原问题
22、 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】 根据题意，画图倒推分析： (米)15924(米)2408（ ） (米) 260（ ） 所以，这根绳子全长 60 米【答案】 米60【巩固】 一个人沿着公园马路走了全长的一半后，又走了剩下路程的一班，还剩下 1 千米，问：公园马路全长多少千米？【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】 如图：采取倒推的方法，1 千米是第一次剩下的路程的一半，所以第一次剩下路程就是 12（千米） 。而第一次剩下的路程 2 千米又是全程长的一半，所以全程长为 24（千米） 。答：公园马路全长为 4 千米。【答案
23、】 千米4【巩固】 一捆电线，第一次用去全长的一半多 3 米，第二次用去余下的一半少 10 米，第三次用去 15 米，最后还剩 7 米。这捆电线原来有多少米？【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】 为了帮助同学们分析数量关系，可依照题意画出右图。从线段图上可以看出：6-1-2.还原问题（一）.题库 教师版 page 8 of 15（1） 75012（米） ，就是第一次用去后余下的一半。（2） 4（米） ，就是余下的电线长度。（3） （米） ，就是全长的一半。（4） （米） ，就是原来电线的长度。综合列式计算： 54（米）715023(123)27
24、答：这捆电线原来有 54 米。【答案】 米54【巩固】 甲在加工一堆零件，第一天加工了这堆零件的一半又 10 个，第二天又加工了剩下的一半又 10 个，还剩下 25 个没有加工，问：这批零件有多少个？【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】 如右图所示，按照图与题目的条件，可以有如下算式： 25103（个） ， 5270（个） ， 108（个） ，80216（个）列综合算式： ，答：这批零件共有 160 个。(1)6【答案】 个【巩固】 食堂买进一批大米，第一天吃了全部的一半少 千克，第二天吃了余下的一半少 千克，最后剩288下 千克这批大米共有多
25、少千克？12【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】 列式为： (千克)82024（ ） 【答案】 千克40【巩固】 山顶上有棵桃数，一只猴子偷吃桃子，第一天偷吃了总数的一半多 2 个，第二天又偷吃了剩下的一半多 2 个，这时还剩 1 个，问：树上原来有多少个桃子？【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答6-1-2.还原问题（一）.题库 教师版 page 9 of 15【关键词】可逆思想方法【解析】 (个).21216（ ）【答案】 个6【例 12】 盒子里有若干个球。小明每次拿出盒中的一半再放回一个球。这样共操作了 次，袋中还有
26、个球。73袋中原有（ ）个球。【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】走美杯，3 年级，初赛【解析】 倒退法：如，第 7 次操作前，还剩 个球。124 106341810643 次1次次2次次3次次4次次5次次6次次7次【答案】 个球【例 13】 有一个培养某种微生物的容器，这个容器的特点是：往里面放入微生物，再把容器封住，每过一个夜晚，容器里的微生物就会增加一倍，但是，若在白天揭开盖子，容器内的微生物就会正好减少 16 个。小丽在实验的当天往容器里放入一些微生物，心急的她在第二、三、四天斗开封看了看，到第五天，当她又启封查看时，惊讶地发现微生物都没了。请问：小丽开始
27、往容器里放了 个微生物？【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，二试，第 15 题【解析】 还原倒推：0168241228143015 所以原来容器内放了 15 个微生物.【答案】 个15【例 14】 小丽用 4 元买了一本童话大王 ，又用剩下的钱的一半买了一本儿童时代 ，买钢笔又用去第二次剩下的钱的一半多 1 元，最后还剩 4 元，问：小丽原有多少钱？【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】 用倒推法，第二次剩下的一半是 415（元） ，第二次剩下 5210（元） ，第一次剩下102（元） ，原来有 20
28、（元） 。列综合算式： 442答：小丽原有 24 元。【答案】 元4【巩固】 有一筐苹果，甲取出一半又 1 个；乙取出余下的一半又 1 个；丙取出再余下的一半又 1 个，这时筐里只剩下 1 个苹果。这筐苹果共值 6 元 6 角，问每个苹果平均值多少钱？【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】6-1-2.还原问题（一）.题库 教师版 page 10 of 15从上面的线段图可以看出：最后剩下的 1 个再加上丙取出的 1 个就是再余下的一半，即 2 个是再余下的一半，因此，再余下的就是 24（个） ；4 个再加上乙取出的 1 个就是余下的一半，所以，甲
29、取出后余下的就是50（个） ；10 个再加上甲取出的 1 个就是全筐的一半，所以，全筐苹果的总数是（个） 。22 个苹果共值 6 元 6 角，于是可求出每个苹果平均值多少钱？先求有多少个苹果： （个）再求每个苹果平均值多少钱： 623（角） ，每个苹果21（ 1+） 平均值 3 角钱。【答案】 角【例 15】 思思看到织女在织布，她把一段五彩布第一次剪去一半，第二次又剪去余下的一半，这时还剩下8 米，你知道这段五彩布原来长多少米吗？【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】 根据题意，画出线段图，倒推分析(米)8216(米)23所以这段五彩布原来长
30、米32【答案】 米32【巩固】 一群蚂蚁搬家，原存一堆食物第一天运出总数的一半少 12 克第二天运出剩下的一半少 12 克，结果窝里还剩下 43 克问蚂蚁家原有食物多少克?【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】 采用倒推法，教师可画线段图帮助学生理解.如果第二天再多运出 12 克，就是剩下的一半，所以第一天运出后，剩下的一半重量是 (克)；这样，第一天运出后剩下的重 (克).那41233126么同理，一半的重量是 (克) ，原有食物 (克).即62505021(克 ).43121（ ） 【答案】 克0【巩固】 一捆电线，第一次用去全长的一半多 3 米，第二次用去余下的一半少 10 米，第三次用去 15 米，最后还剩 7 米，这捆电线原有多少米？【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】 由逆推法知，第二次用完还剩下 (米) ，第一次用完还剩下 (米)，原来电线15+72(210)24长 (米) ， (米).(243)50)354
