1、1课题 浅谈数列中 an与 Sn的递推公式的应用对于任意一个数列，当定义数列的前 n 项和通常用 Sn 表示时，记作 Sna 1a 2a n，此时通项公式 anError!而对于不同的题目中的 an 与 Sn 的递推关系，在解题时又应该从哪些方向去灵活应用anS nS n1 (n2)去解决不同类型的问题呢？我们将从下面三个角度去探索在各类考试中出现的 an 与 Sn 相关的问题：归纳起来常见的角度有：角度一：直观运用已知的 Sn，求 an；角度二：客观运用 anS nS n1 (n2)，求与 an，S n 有关的结论；角度三：a n 与 Sn 的延伸应用角度一：直观运用已知的 Sn，求 an方
2、法：已知 Sn求 an的三个步骤(此时 Sn为关于 n 的代数式 )：(1)先利用 a1S 1 求出 a1；(2)用 n1 替换 Sn 中的 n 得到一个新的关系，利用 anS nS n1 (n2)便可求出当 n2 时 an 的表达式；(3)对 n1 时的结果进行检验，看是否符合 n2 时 an 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分 n1 与 n2 两段来写同时，在部分题目中需要深刻理解“数列的前 n 项和”的实际意义，对“和的式子”有本质的认识，这样才能更好的运用 Sn 求解如：a 12a 23a 3na n2n1，其中 a12a 23a 3na n 表示数列
3、nan的前 n 项和1已知数列a n的前 n 项和 Snn 22n2，则数列a n的通项公式为( )Aa n2n3 Ba n2n3Ca nError! Da nError!【解析】当 n2 时，a nS nS n1 2n3当 n1 时，a 1S 11，不满足上式【答案】C2(2015河北石家庄一中月考) 数列a n满足：a 13a 25a 3(2 n1)a n(n1) 3n+13(nN*) ，则数列的通项公式 an 【解析】当 n2 时，a 13a 25a 3(2n3) an1 (n2) 3 n3；则用已知等式减去上式得2(2n1) an(2n1)3 n，得 an3 n；当 n1 时，a 13
4、，满足上式；故 an3 n【答案】a n3 n3(2015天津一中月考)已知 an的前 n 项和为 Sn，且满足 log2(Sn1) n1，则 an 【解析】由已知得 Sn12 n1 ，则 Sn2 n1 1；当 n2 时，a nS nS n1 2 n1 12 n12 n；当 n1 时，a 1S 13，不满足上式；故 anError!【答案】a nError!4(2015四川成都树德期中) 已知a n是一个公差大于 0 的等差数列，且满足 a3a545，a 2a 614(1)求a n的通项公式；(2)若数列b n满足： a n1( nN *)，求b n的前 n 项和b12 b222 bn2n【解
5、】(1)设等差数列a n的公差为 d，则 d0，由 a2a 614，可得 a47由 a3a545，得(7d)(7 d)45，解得 d2 或 d2(舍)ana 4(n4) d72(n4)，即 an2n1(2)令 cn ，则 c1c 2c 3c na n12n bn2n当 n2 时，c 1c 2c 3c n1 2(n1) 由得，c n2，当 n1 时，c 12，满足上式；则 cn2( nN*)，即 2，b n2 n1 ，bn2n故数列b n是首项为 4，公比为 2 得等比数列，数列b n的前 n 项和 Sn 2 n2 44(1 2n)1 2角度二：客观运用 anS nS n1 (n2)，求与 an
6、，S n有关的结论此类题目中，已知条件往往是一个关于 an 与 Sn 的等式，问题则是求解与 an，S n 有关联的结论那么我们需要通过对所求问题进行客观分析后，判定最后的结果中是保留 an，还是 Sn那么，主要从两个方向利用 anS nS n1 (n2)：方向一：若所求问题是与 an 相关的结论，那么用 SnS n1 a n (n2) 消去等式中所有 Sn 与 Sn1 ，保留项数 an，在进行整理求解；31(2015广州潮州月考)数列 an的前 n 项和记为 Sn，a 11，a n1 2S n1( n1，nN*)，则数列的通项公式是 【解析】当 n2 时，a n2S n1 1，两式相减得 a
7、n1 a n2(S nS n1 )，即 an1 a n2a n，得an1 3a n；当 n1 时，a 23，则 a23a 1，满足上式；故 an是首项为 1，公比为 3 得等比数列，an3 n1 【答案】a n3 n12数列a n的前 n 项和为 Sn，若 an1 4S n1，a 11 (1)求数列a n的通项公式；(2)设 bnna n，求数列b n的前 n 项和 Tn【解】(1)当 n2 时，a n4S n1 1，又 an1 4S n1，an 1 an4a n，即 3( n2)，an 1an又 a24a 113，a 11，数列 an是首项为 a11，公比为 q3 的等比数列，a n(3)
8、n1 (2)由(1)可得 bnn( 3) n1 ，Tn1(3) 02(3) 13(3) 2( n1)( 3) n2 n( 3) n1 ，3T n1(3) 12(3) 2(n2)(3) n2 (n1)(3) n1 n(3) n，4T n1( 3)1(3) 2(3) n1 n(3) n，所以，T n 1 (4n 1)( 3)n16方向二：若所求问题是与 Sn 相关的结论，那么用 anS nS n1 (n2) 消去等式中所有项数 an，保留Sn 与 Sn1 ，在进行整理求解1已知数列a n的前 n 项和为 Sn 且满足 an2S nSn1 0(n2)，a 1 12(1)求证： 是等差数列；1Sn(2
9、)求 an 的表达式【解】(1)证明：a nS nS n1 (n2)，又 an2S nSn1 ，S n1 S n2S nSn1 ，S n0 因此 2(n2)1Sn 1Sn 14故由等差数列的定义知 是以 2 为首项，2 为公差的等差数列1Sn 1S1 1a1(2)由(1)知 (n1)d 2( n1)22n，即 Sn 1Sn 1S1 12n当 n2 时，a n 2SnSn1 ，12n(n 1)又 a1 ，不适合上式12anError!2(2015江西名校联盟调考) 已知正项数列a n的前 n 项和为 Sn，且 a 2S nan102n(1)求数列S n的通项公式；(2)求证： 2( Sn+11)
10、(提示： )1S1 1S2 1Sn 1n 2n 1 n1S1【解】(1)a nS nS n1 (n 2)，由 a 2S nan10，2n得(S nS n1 )22S n(SnS n1 )10，整理得 S S 12n 2n 1当 n1 时，a 2S 1a110，且 a10，解得 a11，21故由等差数列的定义知S 是以 1 为首项，1 为公差的等差数列2nS n，则 Sn 2n n(2)由(1)知 2( )，1Sn 1n 22n 2n 1 n n 1 n 2( 1) 2( )2( )2( 1)1S1 1S2 1Sn 2 3 2 n 1 n n 1即 2(S n 11) 1S1 1S2 1Sn【总
11、结】此类题目往往伴随着等差、等比数列的判定，所以需要对数列的判定方法熟练掌握角度三：a n与 Sn的延伸应用解此类题目中不仅需要深刻理解“数列的前 n 项和”的实际意义，还需要对 anError!关系式的形式结构很熟练的掌握，这样才能在题目中对已知等式灵活地变换当然在解决问题的时候仍然需要从求谁的角度出发分析，确定等式的变换方向方向一：关于双重前 n 项和此类题目中一般出现“数列a n的前 n 项和为 Sn，数列S n的前 n 项和为 Tn”的条件，在解答时需要确定清楚求的是与 an，S n，T n 中谁相关的问题，确定已知等式的运用方向但一般是求解最底层的 an51(2015湖北武汉质检)设
12、数列 an的前 n 现和为 Sn，数列 Sn的前 n 项和为 Tn，满足Tn2S nn 2，n N*(1)求 a1 的值；(2)求数列a n的通项公式【解】(1)当 n1 时，T 12S 11，且 T1S 1a 1，解得 a11，(2)当 n2 时，S nT nT n1 2S nn 22S n1 ( n1) 22S n2S n1 2n1S n2S n1 2n1 则 Sn1 2S n2n1 由，得 an1 2a n2，a n1 22(a n 2)，即 2(n2) ，an 1 2an 2易求得，a 123，a 226，则 2，a2 2a1 2数列 an2是首项为 3，公比为 2 的等比数列，a n
13、232 n1 ， 则 an32 n1 2(nN*)2(2015安徽滁州期末联考) 设数列a n的前 n 项和为 Sn，数列 Sn的前 n 项和为 Tn，且2Tn4S n(n 2 n)，nN*(1)证明：数列a n1为等比数列；(2)设 bn ，证明：b 1b 2b n3n 1an 1【解】(1)当 n1 时，2T 14 S12，且 T1S 1a 1，解得 a11，当 n2 时，2T 22(a 1a 1a 2)4(a 1a 2)6，解得 a23，当 n2 时，2T n1 4S n1 (n1) 2( n1)2S n2T n2T n1 4S n(n 2n)4S n1 ( n1) 2(n1)整理得 S
14、n2S n1 n 则 Sn1 2S nn1 由，得 an1 2a n1，a n1 12(a n 1)，即 2(n2) ，an 1 1an 1显然 2，a2 1a1 1数列 an1是首项为 2，公比为 2 的等比数列，6(2)由(1)知，a n12 n，则 bn n 12n则 b1b 2b n ，22 322 423 n 12n令 Tn ，22 322 423 n 12n则 Tn ，12 222 323 424 n2n n 12n 1由，得 Tn1 12 122 123 124 12n n 12n 11 122(1 f(1,2n 1)1 12 n 12n 1 32 n 32n 1 32则 Tn3
15、，即 b1b 2b n3方向二：已知等式在整理过程中需要因式分解此类问题大多数时候会伴随“各项均为正数的数列a n”这样的条件，运用在因式分解后对因式进行符号的判定，对因式进行的取舍1(2015山东青岛一模)各项均为正数的数列 an满足 a 4S n2a n1( nN*)，其中 Sn 为a n的前2nn 项和(1)求 a1，a 2 的值；(2)求数列a n的通项公式【解】(1)当 n1 时，T 12S 11；又 T1S 1a 1，则 a12a 11，解得 a11；(2)当 n2 时，S nT nT n1 (2S nn 2)2S n1 ( n1) 22S n2S n1 2n1，整理得 Sn2S
16、n1 2n1 S n1 2S n2n1 由，得 an1 2a n2a n1 22(a n2)，即 2(n 2)an 1 2an 2又 T22S 24；得 a24当 n1 时，a 123，a 226，则 2，a1 2a2 27数列 an2是以 3 为首项，2 为公比的等比数列则 an232 n1 ，所以 an 32n1 22已知数列a n的各项均为正数，前 n 项和为 Sn，且 Sn ，nN *an(an 1)2(1)求证：数列a n是等差数列；(2)设 bn ，T nb 1b 2 b n，求 Tn12Sn【解】(1)由已知得，当 n1 时，a 1S 1 (an0)， a11a1(a1 1)2当
17、 n2 时，由Error!得 2ana a na a n1 即(a na n1 )(ana n1 1)0，2n 2n 1an an1 0，a na n1 1(n2)所以数列a n是以 1 为首项，1 为公差的等差数列(2)由(1)可得 ann，S n ，b n n(n 1)2 12Sn 1n(n 1) 1n 1n 1T nb 1b 2b 3b n1 1 12 12 13 1n 1n 1 1n 1 nn 1方向三：需对已知等式变形后，再求解1(2015江西五校联考)已知正项数列 an中，其前 n 项和为 Sn，且 an2 1Sn(1)求数列a n的通项公式；(2)设 bn ，T n = b1b
18、2b 3b n，求 Tn1anan+1【解】(1)由已知得，4S n(a n1) 2当 n2 时，4S n1 (a n1 1) 2，则 4Sn4S n1 (a n1) 2( an1 1) 2，整理得 (an1) 2(a n1 1) 20，(ana n1 2)(a na n1 )0又 an0，则 ana n1 2，当 n1 时，4S 1(a 11) 2，得 a11；故数列a n是首项为 1，公差为 2 的等差数列；8an2n1(2)由(1)可得 bn ，1anan+1 12n 1 12n 1 12( 12n 1 12n 1)Tn 1b1 1b2 1b3 1bn12(1 13) (13 15) (
19、 12n 1 12n 1) 12(1 12n 1) n2n 12(2015浙江温州中学月考) 设数列a n的前 n 项和为 Sn，已知a12，a 28，S n1 4S n1 5S n(n2) ，T n 是数列log 2an的前 n 项和(1)求数列a n的通项公式；(2)求 Tn【解】(1)当 n2 时，S n1 4S n1 5S n，Sn1 S n4(S nS n1 )，即 an1 4a n，当 n1 时，a 24a 1；故数列a n是以 2 为首项，4 为公比的等比数列a n24 n1 2 2n1 (2)由(1)可知 log2anlog 222n1 2n1，Tnlog 2a1log 2a2
20、log 2a3log 2an1352n1 n 2n(1 2n 1)23(2015江西三县联考)已知数列 an的各项均为正数，记 A(n)a 1a 2a n，B(n)a 2a 3a n1 ，C(n)=a 3a 4a n2 ，其中 nN*(1)若 a11，a 25，且对任意 nN *，三个数 A(n)，B( n)，C(n)依次组成等差数列，求数列 an的通项公式；(2) a11，对任意 nN*，三个数 A(n)，B( n)，C(n) 依次组成公比为 q 的等比数列，求数列 an的前n 项和 An【解】(1)任意 nN*，三个数 A(n)，B( n)，C(n) 依次组成等差数列，9B(n)A(n)
21、C(n)B(n)，则 an1 a 1a n2 a 2，即 an2 a n1 a 2a 14，故数列a n是首项为 1，公差为 4 的等差数列；an1( n1)44n3(2)若对任意 nN*，三个数 A(n)，B( n)，C(n) 依次组成公比为 q 的等比数列，B(n)qA(n) ， C(n)qB(n)，则 C(n)B (n)qB(n) A(n)，得 an2 a 2q(a n1 a 1)，即 an2 qa n1 a 2qa 1，当 n1 时，由 B(1)qA(1)，可得 a2qa 1；则 an2 qa n1 a 2qa 10，又 an0，则 q，an 2an 1 a2a1故数列a n是以 1
22、为首项，q 为公比的等比数列A nError!4(2015辽宁沈阳诊断考试) 设数列a n的前 n 项和为 Sn，a 110，a n1 9S n10(1)求证：lg a n是等差数列；(2)设 Tn 是数列 的前 n 项和，求 Tn；3(lg an)(lg an 1)(3)求使 Tn (m25m) 对所有的 nN *恒成立的整数 m 的取值集合14【解】(1)证明：当 n2 时，a n9S n1 10，a n1 a n9(S nS n1 )，则 an1 10a n，即 10，an 1an当 n1 时，a 29a 110100，则 10，a2a1故数列a n是以 10 为首项，10 为公比的等比
23、数列a n10 n，则 lg ann，lg a n1 lg a nn1n1，故数列lg a n是首项为 1，公差为 1 的等差数列(2)解：由(1)知 3 ，3(lg an)(lg an 1) 3nn 1 (1n 1n 1)10T n3 3 (1 12 12 13 1n 1n 1) (1 1n 1) 3nn 1(3)T n 3 ，3nn 1 3n 1当 n1 时，T n取最小值 32依题意有 (m25m)，解得1m 6，32 14故整数 m 的取值集合为 0,1,2,3,4,51(2015江苏扬州外国语中学模拟) 已知数列a n的前 n 项和 Sn2 n3，则数列 an的通项公式为 【解析】当
24、 n2 时，a nS nS n1 2 n32 n1 32 n1 当 n1 时，a 1S 11，不满足上式【答案】a nError!2(2015辽宁沈阳二中月考) 已知数列a n满足 a1 a 2n1，求数列 an的通项公式a22 ann【解】当 n2 时，a 1 a 2n2 1a22 an 1n 1由已知等式减去上式，得 a 2n1a 2n2 1(a 21) a2n2 ，anna nn(a 21)a 2n2 ，当 n1 时，a 1a 21，满足上式；a nn(a 21)a 2n2 3(2015安徽江淮十校联考) 已知函数 f(x)是定义在(0， )上的单调函数，且对任意的正数 x，y 都有 f(xy)= f(x)f(y )，若数列 an的前 n 项和为 Sn，且满足 f(Sn2)f(a n)= f(3)(nN*)，则 an 为( )A2 n1 BnC2n 1 D n1(32)【解析】由 f(xy)= f(x)f(y )，f (Sn2)f(a n)= f(3)，得 Sn23a n，S n1 23a n1 (n2) ，两式相减得 2an3a n1 ；当 n1 时，S 123a 1a 12，则 a11所以数列a n是首项为 1，公比为 的等比数32列【答案】a n n1(32)
